Rohrpost

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Hi,

eine Rohrpostanlage mitten durch die Erde wäre sicherlich eine recht praktische Angelegenheit. Das Innere der Röhre (aus einer Speziallegierung zum Schutz gegen die Hitze im Erdinneren) könnte man evakuieren, so dass eine Kapsel, die man z.B. in Madrid fallen lässt, reibungsfrei und ohne Antrieb in Wellington/ Neuseeland ankommt. Für die folgenden Aufgabenteile können Sie annehmen, dass die auf eine Masse m wirkende Kraft F(r) innerhalb einer Kugel mit homogener Massendichte sich nach

berechnet. Dabei ist G die Gravitationskonstante, M die Masse der Kugel und R der Radius der Kugel.

(a) Geben Sie die auf eine solche Kugel wirkende Beschleunigung als Funktion des Abstandesm vom Erdmittelpunkt unter der Annahme an, dass die Erde eine Kugel mit homogener Dichte sei.

(b) Wie lang ist die Reisedauer der Kapsel von Madrid nach Wellington.

(c) Wie lang wäre die Reisedauer von Madrid nach Wellington mit einem Satelliten, der sich knapp oberhalb der Erdoberfläche bewegt(Luftwiderstand ist zu vernachlässigen)?

Meine Ideen:

Ich denke, dass es was mit Schwingungen zu tun hat.?

Ood · Anmeldungsdatum: 03.01.2014 Beiträge: 80

Hat es!

Vergleiche einfach mal die Differentialgleichung für die Bewegung der Kapsel, die sich aus dem angegebenen Kraftgesetz ergibt, mit der Schwingungs-DGl eine harmonischen Schwingung.

Oder du kannst auch das Kraftgesetz direkt mit der Rückstell-Kraft bei einem Federpendel vergleichen, da sieht man die Analogie genauso gut.

Und analoge Differentialgleichungen haben analoge Lösungen.

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Teilaufgabe (a):

Da die Kraft ja schon gegeben ist und ich die Beschleunigung als Funktion des Abstandes vom Erdmittelpunkt angeben soll, setze ich die Gleichung mit dem zweiten Newtonschen Gesetz gleich.

Nun kann man noch die Masse M ersetzen:

Und das Volumen V kann noch durch den folgenden Ausdruck ersetzt werden:

Somit folgt für die Beschleunigung:

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5796 Wohnort: Heidelberg

Hallo,

muss man da nicht auch die Rotation der Erde mit berücksichtigen?

Gruß
Marco

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Dazu steht in der Aufgabe jetzt nichts expliziet. Ich denke mal, dass die Rotation der Erde hier nicht mit in die Betrachtungen mit einbezogen werden soll.

Ood · Anmeldungsdatum: 03.01.2014 Beiträge: 80

Mit

meinst du die Dichte

, oder? Wenn die Gesamtmasse M gegeben ist (so hatte ich die Aufgabe verstanden), dann brauchst du M ja nicht zu ersetzen.

Der Einfluss der Erdrotation würde ja davon abhängen, auf welcher geographischen Breite sich Anfang und Ende des Tunnels befinden. Da diese Angabe in der Aufgabenstellung fehlt, würde ich auch vermuten, dass man die Erdrotation vernachlässigen soll.

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Jop, mit p meine ich die Dichte.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5796 Wohnort: Heidelberg

Hallo,

ich weiß jetzt nicht genau, ob das eine Übungsaufgabe ist oder so. Aber ich würde das als kleines "Gimmick" mit bedenken, einfach nur zum Spaß...
Der Witz hier ist, dass die Kraft in eine bestimmte Raumrichtung nur vom Abstand vom Mittelpunkt in dieser selben bestimmten Raumrichtung abhängt. Das lässt sich leicht sehen, wenn man mal in der gegebenen F(r) Gleichung das er durch

ersetzt. Dann kürzt sich nämlich r raus und man hat nur noch Vektor-r da stehen.
Man hat deshalb in jeder Raumrichtung unabhängig eine harmonische Schwingung und kann dann die Schwingung in Richtung Mittelpunkt (was ja sicherlich in der Aufgabe auf jeden Fall gefragt ist) unabhängig von der Schwingung senkrecht dazu betrachten. Die eine startet mit maximaler Auslenkung und Geschwindigkeit = 0, die andere startet mit maximaler Geschwindigkeit (in Rotationsrichtung der Erde), aber mit Auslenkung = 0.

So könntest Du das, was in der Aufgabe sicher verlangt ist, nämlich die Pendelbewegung in Richtung Erdmittelpunkt, komplett lösen und nur noch zusätzlich die Sache mit der zweiten Raumdimension betrachten.

Ich fände das irgendwie lustig, besonders wenn es jemand korrigieren muss, der daran noch gar nicht gedacht hatte... Big Laugh

Außerdem steht in der Aufgabe ja eigentlich nichts davon drin, dass man das außer Acht lassen soll. Allerdings muss man dann eventuell mit dem Satelliten-Vergleich im letzten Teil vorsichtig sein. Ich weiß gar nicht, in welche Richtung man den Satelliten genau abschießen müsste, damit der genau gegenüberliegende Punkt der Erde erreicht wird, obwohl sich die Erde in der Zwischenzeit weiter gedreht hat... Könnte eventuell dann etwas komplizierter werden, könnte ich mir zumindest vorstellen.

Gruß
Marco

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5796 Wohnort: Heidelberg

Wenn ich mich so an meine alten Studiums-Tage zurück erinnere (Theo I... da war ich noch jung... smile

)
Wir haben mal irgendwann bewiesen, dass nur die beiden Potentiale 1/r und r^2 (also z. B. das Gravitationspotential und das harmonische Potential) zu geschlossenen (elliptischen) Bahnen führen. Die eine um den Ellipsen-Brennpunkt, die andere um ihren Mittelpunkt.

Ja, das waren noch Zeiten... *träum*

Gruß
Marco

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Für die Bewegungsgleichung gilt:

Die Lösung der homogenen Dgl 2. Ordnung ist:

bzw.

Um nun die Reisedauer zu bestimmen gilt:

Daraus folgt für k:

Da innerhalb der Erde ein lineares Kraftgesetz gilt, gilt: