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The Observer
Anmeldungsdatum: 17.11.2013
Beiträge: 22
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 The Observer Verfasst am: 17. Nov 2013 14:03 Titel: Randwertproblem |
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Hallo allerseits! 
Folgende Aufgabe:
 http://s1.directupload.net/images/131117/7h28x7rr.png
Statt  ist im Text sicherlich  gemeint, wie man aus der Zeichnung entnehmen kann.
Davon aber mal abgesehen habe ich eine Verständnisfrage bei der Aufgabenstellung. Ist der Punkt am Ende des Zeigers eine Punktladung?! Im Text steht davon nichts, also habe ich eigentlich gedacht das ist nur der Zeiger in Polarkoordinaten und es ist keine Ladung vorhanden. Damit wird die Poisson-Gleichung zur Laplace-Gleichung. Oder ist die Aufgabe so gemeint, dass ich das Potential ) berechnen soll, wenn bei ) eine Punktladung säße? Wie würde die Aufgabe denn mehr Sinn ergeben? Wie würdet ihr das interpretieren? Da im gesamten Text nichts von Punktladung steht (also auch keine Angabe ob positiv oder negativ), kann das doch eigentlich nicht als Punktladung gemeint sein, oder?
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 17. Nov 2013 14:07 Titel: |
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Bezweifle sehr, dass das eine Punktladung sein soll.
Wird im Text nicht erwähnt (ala "Ladung Q"), daher gehe von der Poissongleichung aus!
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 17. Nov 2013 14:08 Titel: |
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| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | Bezweifle sehr, dass das eine Punktladung sein soll.
Wird im Text nicht erwähnt (ala "Ladung Q"), daher gehe von der Poissongleichung aus! |
Meine natürlich Laplacegleichung! 
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The Observer
Anmeldungsdatum: 17.11.2013
Beiträge: 22
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| The Observer Verfasst am: 17. Nov 2013 15:12 Titel: |
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Alles klar, wenn das so gemeint ist, komme ich auf folgende 2 DGLen:
}{\partial r} + r^2 \frac{\partial^2 R(r)}{\partial r^2} - k^2 R(r) = 0)
}{\partial \varphi^2} + k^2 \Psi(\varphi) =0)
Als Tipp ist gegeben, bei der DGL für ) die Substitution  durchzuführen, um die DGL in eine "bekannte Form" zu bringen.
}{\partial r} + e^{2\nu} \frac{\partial^2 R(r)}{\partial r^2} - k^2 R(r) = 0)
Bekannte Form? 
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 17. Nov 2013 15:33 Titel: |
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R(r) hat auch ein r dabei 
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The Observer
Anmeldungsdatum: 17.11.2013
Beiträge: 22
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| The Observer Verfasst am: 17. Nov 2013 15:43 Titel: |
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Also dann eher so?
 = R(\nu))
Mit 
=>
Also:
}{\partial \nu} + \frac{\partial^2 R(\nu)}{\partial {\nu}^2} - k^2 R(\nu) = 0)
Die Umformung mit dem Differential kommt mir etwas unmathematisch vor. Ist das so richtig?
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 17. Nov 2013 15:47 Titel: |
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d/dv R(r(v)) = dR/dr * dr/dv
Daraus folgt dR/dr
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The Observer
Anmeldungsdatum: 17.11.2013
Beiträge: 22
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| The Observer Verfasst am: 17. Nov 2013 16:03 Titel: |
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| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | d/dv R(r(v)) = dR/dr * dr/dv
Daraus folgt dR/dr |
Ah ja, klar. Die gute alte Kettenregel. 
Das nehme ich jetzt aber als "saubere" Bestätigung und nicht als Einwand.
Mit dr/dv = e^v kommt man nämlich tatsächlich auf:
dR/dv = e^v dR/dr
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 17. Nov 2013 16:05 Titel: |
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Wie ein Profi! 
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The Observer
Anmeldungsdatum: 17.11.2013
Beiträge: 22
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| The Observer Verfasst am: 17. Nov 2013 16:44 Titel: |
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Bevor ich was übersehe, frage ich lieber nochmal nach, auch wenn's trivial erscheint. Ich habe jetzt für die 1. DGL die Lösung:
 = c_1 e^{-\frac{1}{2}(\sqrt{4k^2 +1} +1)\nu} + c_2 e^{\frac{1}{2}(\sqrt{4k^2 +1} -1)\nu})
Wenn ich das wieder in umformen will, mache ich einfach aus:  = \nu) und substituiere das in das Ergebnis? Muss ich evtl. noch etwas beachten?
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 17. Nov 2013 16:47 Titel: |
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Nö, das ist alles!
Du könntest wenn du Lust hast anschließend nochmal die Lösung in die Ausgangsgleichung (vor der Substitution) einsetzen und gucken ob das richtige rauskommt (als Probe)
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The Observer
Anmeldungsdatum: 17.11.2013
Beiträge: 22
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| The Observer Verfasst am: 17. Nov 2013 17:14 Titel: |
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Alles klar (dafür bin ich aber zu faul  ). Dann geht's ja jetzt nur noch darum, die Randbedingungen zu erfüllen. 2 davon sind ja offensichtlich:
 = \Phi(r, \alpha) = 0)
Damit kriege ich die Konstanten k und  raus. Aber woher kriege ich die anderen Konstanten?
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The Observer
Anmeldungsdatum: 17.11.2013
Beiträge: 22
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