| Autor |
Nachricht |
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
 TruEnemy Verfasst am: 31. Okt 2012 12:45 Titel: Ausdehnungskoeffizienten aus dem 1. HS der TD |
 |
|
Hallo!
Meine Frage:
Der isobare (Index p) und adiabatische (Index S) Ausdehnungskoeffizient ist definiert als
_{p} , \alpha_S = \frac{1}{V} \left(\frac{\partial}{\partial T} V \right)_{S})
Nun soll der erste Hauptsatz der TD dazu verwendet werden, um den Quotienten 
durch die spezifischen Wärmekapazitäten  und  auszudrücken.
Mein Ansatz:
Der erste Hauptsatz der TD lautet in differentieller Form bekanntermaßen wie folgt:
Die spezifischen Wärmekapazitäten lauten nach meinem Aufschriebn zufolge:
_p = T \left(\frac{\partial}{\partial T} S \right)_p , c_V = \left(\frac{\Delta Q}{\Delta T} \right)_V = T \left(\frac{\partial}{\partial T} S \right)_V )
Wie fummel ich das nun zusammen? Könnte mir jemand einen Tipp geben? Einen Initial-Stoß 
Gruß!
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
 |
jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
|
| jmd Verfasst am: 31. Okt 2012 22:52 Titel: |
|
|
Hallo
Ich habe zwar nicht allzuviel Ahnung
aber vielleicht reicht es ja für "Einen Initial-Stoß" 
cvdT=cpdT-pdV und (ap)VdT=dV
zusammen 1.cv=cp-pV(ap)
cvdT=-pdV und (as)VdT=dV
zusammen 2.cv=-pV(as)
1. und 2. zusammen 1-cp/cv=(ap)/(as)
Die Lösung würde mich interessieren
Grüße |
|
|
Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
|
| Chillosaurus Verfasst am: 31. Okt 2012 23:30 Titel: |
|
|
Folgende Schreibweise könnte Hilfreich sein, falls dir bekannt:
[latex] \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{z}=\frac{\partial(y,z)}{\partial(x,z)} [\latex]
Dann Beziehungen aus den Totalen Differentialen nutzen.
PS: weiß jemand, wie ich HTML anstellen kann? |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 01. Nov 2012 12:33 Titel: |
|
|
Tut mir Leid, sehe nun erst, dass Antworten kamen  Zunächst danke ich
Euch  Und nun versuche ich zu versuchen, zu verstehen, was ihr meint
jmd
Zunächst zum ersten Absatz: bei  hast Du anscheinend nur
umgeformt?! Aber wie kommst Du auf  ? Vielleicht über ...
Chillosaurus
_{z}=\frac{\partial(y,z)}{\partial(x,z)} )
Die Relation ist mir aus der Vorlesung bekannt, aber was bedeutet sie denn?
Die Schreibweise ist mir irgendwie suspekt: man hat einfach die festgehaltene
Variable in das Differential hineingezogen, hier z. Aber was bedeutet das nun
mathematisch? Wie führe ich diese Operation aus? Fragen über Fragen, sorry.
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 02. Nov 2012 14:09 Titel: |
|
|
Was los? Haben alle noch 'nen Kater nach dem 01.11., der noch anhält?
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
|
| pressure Verfasst am: 02. Nov 2012 15:18 Titel: |
|
|
Das ist eine abkürzende Schreibweise für die Jacobi-Determinate
}{\partial(x,y)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{vmatrix} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial g}{\partial y} - \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial g}{\partial x})
,die u.A. verwendet um mit partiellen Ableitungen schnell rechnen können.
Hier findest du das wichtigste dazu:
http://www.fsmpi.uni-bayreuth.de/thermo/jacobidet.html
Und damit kannst du nun los rechnen:
}{\partial(T,p)}}{\dfrac{\partial(V,S)}{\partial(T,S)}} = \dfrac{\partial(V,p)}{\partial(T,p)} \dfrac{\partial(T,S)}{\partial(V,S)} = \dots)
Jetzt musst du so "erweitern" und "kürzen" bis du die partiellen Ableitungen bekommst, welche du für die Wärmekapazität benötigst. |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 02. Nov 2012 16:52 Titel: |
|
|
Du hilfst mir wirklich weiter! Danke! Jacobi-Matrix und -Determinante sind
Begriffe aus der Analysis II, sind mir mehr oder minder noch geläufig
Klasse! Ich setz' mich heute Abend nach'm Jobben dran ... sollte klappen!
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
|
| jmd Verfasst am: 02. Nov 2012 21:46 Titel: |
|
|
Klasse! Ich setz' mich heute Abend nach'm Jobben dran ... sollte klappen!
Also dann brauche ich ja nichts mehr zu sagen.Danke |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 02. Nov 2012 21:57 Titel: |
|
|
Ich wollte keine Antwort in Ihrer Helfenskraft schmälern, tut mir Leid, wenn's so rüber-
kam. Bin nun erst nach Hause gekommen, kannst mir gern meine Frage beantworten ...
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
|
| jmd Verfasst am: 02. Nov 2012 22:20 Titel: |
|
|
Hallo
Nee hab mich nicht geärgert
Ich war froh,daß ich aus dem Thema raus bin
Aber ich schreib noch was
VG |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 02. Nov 2012 22:48 Titel: |
|
|
| pressure hat Folgendes geschrieben: |
|
Wenn ich nicht allzu falsch liege, müsste ich ja beide Brüche folgendermaßen umschreiben können:
}{\partial(T,p)} \dfrac{\partial(T,S)}{\partial(V,S)} = \left(\frac{\partial V}{\partial T} \frac{\partial p}{\partial p} - \frac{\partial V}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial T}\right) \left( \frac{\partial T}{\partial V} \frac{\partial S}{\partial S} - \frac{\partial T}{\partial S} \frac{\partial S}{\partial V}\right))
Um die partiellen Ableitungen durchführen zu können, benötige ich doch dann nicht den 1. HS, sondern:
Wieso wird in der Aufgabenstellung verlangt, den 1. HS zu verwenden? Versteh' nicht, wo der rein-
spielt. Aber Du sagtest ja, ich solle erweitern und kürzen, bis ich auf die Definitionen von  komme:
_p = T \left(\frac{\partial}{\partial T} S \right)_p = T \left( \frac{\partial (S,p)}{\partial (T,p)} \right) = T \left( \frac{\partial S}{\partial T} \frac{\partial p}{\partial p} - \frac{\partial S}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial T}\right))
_V = T \left(\frac{\partial}{\partial T} S \right)_V = T \left( \frac{\partial (S,V)}{\partial (T,V)} \right) = T \left( \frac{\partial S}{\partial T} \frac{\partial V}{\partial V} - \frac{\partial S}{\partial V} \frac{\partial V}{\partial T}\right) )
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 03. Nov 2012 22:02 Titel: |
|
|
Hab' ich etwas Offensichtliches oder Triviales falsch gemacht, dass niemand antwortet? 
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 03. Nov 2012 22:14 Titel: |
|
|
OT
Es wird Dir nichts nützen, nur vielleicht etwas Trost geben, daß ich mich auch schon eine Weile erfolglos mit Deiner Frage herumgeschlagen habe. |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 03. Nov 2012 23:20 Titel: |
|
|
Es tröstet mich schon etwas, in der Tat ... denn ich komme auch nicht
wirklich weiter. Aber die bisheringen Umformungen sollten stimmen?
Vielleicht hat's jmd? Seine Lösung konnt' ich nur nicht nachvollziehen.
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
|
| jmd Verfasst am: 04. Nov 2012 11:53 Titel: |
|
|
Hallo
Zu der Jacobi-Determinate kann ich nichts sagen (das ist mir neu)
Das muß ich mir erst mal genauer anschauen
Mein Rechenweg
Den 1.HS hattest du ja bereits hingeschrieben
dE=dA+dQ (ich finde dU=dQ+dW schöner; aber egal)
(das mit d und delta lasse ich außer acht)
Es gilt immer dE=CvdT (oder de=cvdT; spezifisch wenn n=1mol oder m=1kg)
Auch wichtig dH=CpdT (Enthalpie)
Es gilt auch immer dA=dWv=-pdV (Volumenänderungarbeit)
Für dQ gilt (isobar dQ=CpdT;adiabatisch dQ=0;isochor dQ=CvdT)
Jetzt einfach alles einsetzen und dT wegkürzen
Ich glaube jetzt ist die Sache klar. Oder?
Schließlich kann man auch pV eliminieren
Diese Werte (p und V) sind zwar beliebig.Die ganze Aufgabe macht für mich aber nur Sinn,wenn diese Werte bei beiden Aufgaben gleich sind.
Was ich mir noch überlegen muß ist,ob p und V jeweils gleich sind oder ob nur das Produkt p*V gleich sein muß
dafür müßte man ein kleines Zahlenbeispiel durchrechnen oder es eben mathematisch begründen was ich wohl nicht kann
Jetzt noch ein Blick auf meine "Lösung"
1-cp/cv=(ap)/(as) da cp>cv ist (ap)/(as)<0
Macht das Sinn?
Ich habe hier schon mal die nächste Aufgabe
_{V} ; \beta_S = \frac{1}{p} \left(\frac{\partial}{\partial T} p \right)_{S})
Gesucht  (Hinweis H=E+pV)
Ich möchte darauf hinweisen,daß mir nur die Grundlagen klar sind
und ich bei der Aufgabe einfach drauf losgerechnet habe
Edit: Bei der neuen Aufgabe V anstelle von c (ich dachte an isochor)
VG
Zuletzt bearbeitet von jmd am 04. Nov 2012 17:19, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
|
| pressure Verfasst am: 04. Nov 2012 13:25 Titel: |
|
|
Vorweg die Rechnung von jmd ist nicht richtig, auch wenn (glücklicherweise) das korrekte Ergebnis herauskommt.
Das fängt bei den Differentialen an:
-----------------------------------------------
Wie man es aber rechnen kann:
und damit mit dem totalen Differential für E von oben
\dd V + V\, \dd p )
und deswegen
 \left.\frac{\partial V}{\partial T}\right|_{p} = C_V + \left(p + \left.\frac{\partial E}{\partial V}\right|_{T}\right) V\,\alpha_p) .
Wegen
gilt
und eingesetzt
 .
Nun teile ich beide Seiten durch  , benutze aber für den hinteren Teil  :
^{-1}\,\alpha_p)
Nun schreibe ich das Produkt der partiellen Ableitungen durch Jacobi-Determinaten und benutze die zugehörigen Rechenregel:
^{-1} = \dfrac{\partial(S,T)}{\partial(V,T)}\, \dfrac{\partial(T,V)}{\partial(S,V)} = - \dfrac{\partial(S,T)}{\partial(S,V)}\, \dfrac{\partial(T,V)}{\partial(T,V)} = - \dfrac{\partial(S,T)}{\partial(S,V)} = -\left( \left.\frac{\partial V}{\partial T}\right|_{S}\right)^{-1} = -\frac{1}{V\,\alpha_S})
und somit
 |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 04. Nov 2012 16:49 Titel: |
|
|
Zunächst gilt mein Dank an beide! Nun zur Rechnung von pressure:
im Moment kann ich da sehr wenig nachvollziehen. Hier die Fragen:
Woher kommen diese Definitionen? Diese sind mir nicht geläufig, in
der Vorlesung gab es nur andere (stehen in meinem letzten Beitrag).
E bezeichnet ja hier die innere Energie, und H die gesamte Energie,
auch Enthalpie genannt. Für beide kenne ich nur die folgenden Formeln:
 )
 = dE + V dp + p dV = T dS - p dV + V dp + p dV = T dS + V dp)
Nun hast Du also dH wie in der Formel oben nach dem zweiten Gleichheits-
zeichen belassen und für dE die mir unbekannte Formel mit C_V eingesetzt.
Da kommen mir schon die nächsten Probleme ... ist es so richtig verstanden?
 dV + V dp)
Aber nun, die Herleitung für C_p in Abhängigkeit von C_V versteh' ich nicht 
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
|
| pressure Verfasst am: 04. Nov 2012 17:08 Titel: |
|
|
Du bist sicherlich (nach kurzer Rechnung) einverstanden, dass gilt
Entsprechend sind die eingangs aufgestellten Gleichungen nur totale Differentiale. Angenommen man kann  als Funktion von  und  schreiben, also ) , dann gilt:
Der Rest ist so richtig verstanden und es wird ausgehend von dem geschrieben totalen Differential der Enthalpie die partielle Ableitung nach T bei konstantem Druck gebildet. |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 04. Nov 2012 18:04 Titel: |
|
|
| pressure hat Folgendes geschrieben: |
|
Das kann ich nachvollziehen. Wenn ich eine Funktion ) habe, dann gilt:
 = \left(\frac{\partial}{\partial x} F\right)_y\;dx + \left(\frac{\partial}{\partial y} F\right)_x\;dy )
Wenn ich nun  ) habe, dann kann ich also wegen oben schreiben:
 = \left(\frac{\partial}{\partial T} E\right)_V\;dT + \left(\frac{\partial}{\partial V} E\right)_T\;dV )
| pressure hat Folgendes geschrieben: |
|
Das kann ich leider noch nicht wirklich nachvollziehen, tut mir Leid. Das richtige
Stichwort lautet bestimmt Variablentransformation, also wieder Jacobi-Determi-
nante, aber ich habe da noch zu wenig Rechenerfahrung und Hintergrundwissen.
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe
Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 04. Nov 2012 18:08, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
|
| pressure Verfasst am: 04. Nov 2012 18:13 Titel: |
|
|
| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: | Wenn ich eine Funktion habe, dann gilt:
 = \frac{\partial}{\partial x} F\;dx + \frac{\partial}{\partial y} F\;dy )
Wenn ich nun habe, dann kann ich also wegen oben schreiben:
 = \frac{\partial}{\partial T} E\;dT + \frac{\partial}{\partial V} E\;dV )
|
Ja, nur ist es sinnvoll in der Thermodynamik oder auch sonst, wenn du mehr als zwei Variablen hast, dazu zu schreiben, welche Größen bei den partiellen Ableitungen konstant gehalten werden.
| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: | | Das kann ich leider noch nicht wirklich nachvollziehen, tut mir Leid. |
Schreib dir nach dem 1. HS das totale Differential der inneren Energie hin und bilde ausgehend davon die partielle Ableitung nach T bei konstantem V! |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 04. Nov 2012 18:28 Titel: |
|
|
| pressure hat Folgendes geschrieben: |
Ja, nur ist es sinnvoll in der Thermodynamik oder auch sonst, wenn du mehr als zwei Variablen hast, dazu zu schreiben, welche Größen bei den partiellen Ableitungen konstant gehalten werden.
|
Ich hab's oben noch geändert ... vielen Dank, schon besser so ^^
| pressure hat Folgendes geschrieben: | | Schreib dir nach dem 1. HS das totale Differential der inneren Energie hin |
So richtig?
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
|
| pressure Verfasst am: 04. Nov 2012 18:30 Titel: |
|
|
 |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 04. Nov 2012 18:43 Titel: |
|
|
Wieso ist eigentlich  ) und nicht  ) ? Es ist doch
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
|
| pressure Verfasst am: 04. Nov 2012 18:52 Titel: |
|
|
Weil Druck, Temperatur, Entropie und Volumen nicht unabhängig voneinander sind. Hast du z.B. S und V gegeben sind T und p festgelegt:
natürlich kannst du auch z.B. E(p,T) oder wie in meiner Rechnung E(T,V) annehmen, nur sind dann die partiellen Ableitungen nicht so "schön". Letztlich brauchst du aber nur zwei der vier Größen, bzw. mit N drei.
Zuletzt bearbeitet von pressure am 04. Nov 2012 18:57, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 04. Nov 2012 18:55 Titel: |
|
|
OK! Also, wir haben dann  , wie gewohnt. Nun differenzieren wir nach  bei konstantem  :
_V = T \left(\frac{\partial}{\partial T}S \right)_V - p \left(\frac{\partial}{\partial T}V \right)_V )
Da konstant ist, gibt der letzte Term Null und wir haben die Relation gefunden  Nun schau' ich mir den Rest an ...
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 04. Nov 2012 19:30 Titel: |
|
|
Konnte nun alles nachvollziehen! Vielsten Dank Ohne Eure und speziell
pressures Hilfe, hätte ich das auf keinen Fall hinbekommen. Sch ... Aufgabe!
Ich hab' nun alles mit zusätzlichen Zwischenschritten aufgeschrieben, so
dass es für mich nachvollziehbar ist. Bei Bedarf lade ich das gerne als
Bild hoch, zum Latexen ist es viel zu viel ... meldet Euch ... und Danke!!
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
kyra
Anmeldungsdatum: 04.11.2012
Beiträge: 1
|
| kyra Verfasst am: 04. Nov 2012 20:00 Titel: |
|
|
hey!
ich hab intresse an dem bild! würd gerne mal noch die zwischenschritte sehen
auch von mir ein Dankeschön an alle beteiligten, besonders pressure und truEnemy
grüße
Kyra
EDIT
Danke! |
|
|
jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
|
| jmd Verfasst am: 04. Nov 2012 23:28 Titel: |
|
|
Hallo
Ich möchte noch was sagen in der Hoffnung,daß es diesmal stimmt
| jmd hat Folgendes geschrieben: |
Jetzt noch ein Blick auf meine "Lösung"
1-cp/cv=(ap)/(as) da cp>cv ist (ap)/(as)<0
Macht das Sinn?
|
Ja das macht Sinn weil as<0 und ap>0 ist
Beim isobaren Vorgang gilt,daß eine Temperaturerhöhung zu einer Volumenvergrößerung führt
Bei der adiabatischen Änderung bedeutet eine Temperaturerhöhung, daß sich das Volumen verkleinert hat
VG |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen