Energieerhaltungssatz -> Feder-Schwere-Pendel

Ultima · Anmeldungsdatum: 15.04.2005 Beiträge: 151

Hallo,

kann mir jemand von euch erklären, wie man beim Feder Schwere Pendel, die Lageenergie und Spannenergie zusammenfassen kann, so dass man die Elongationsenergie erhält und ebenfalls auf die Formel:

E = 1/2*D*A²

Wäre super von euch. Vielen Dank

Außerdem verstehe ich nicht ganz, warum man der Lageenergie überhaupt Bedeutung schenken muss, da man dies doch alles mit der Elongationsenergie E=1/2Ds² ausdrücken kann oder?[/latex]

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Der Ausdruck für die potentielle Energie des Feder-Masse-Systems
im homogenen Schwerefeld an der Erdoberfläche lautet:

Die Auslenkung s bezieht sich hier auf die Gleichgewichtslänge der Feder
ohne Masse m. Diese quadratische Form in s kann auch so

geschrieben werden, wenn man

setzt. Und was ist s_eq=mg/D? Das ist die Verlängerung der Feder, für die
die Gewichtskraft der angehängten Masse m von der Feder kompensiert wird.
s_eq ist also die natürliche Gleichgewichtslage des Systems, d.h. für die
Auslenkung s=s_eq wird die potentielle Energie minimal. Im Fall des hier
betrachteten Systems nimmt der Ausdruck für die potentielle Energie die
einfachste Form an, wenn man die Auslenkung der Feder auf s_eq bezieht,
also als Auslenkung S=s-s_eq wählt. Außerdem ist der Nullpunkt der poten-
tiellen Energie für die Physik eines Systems unwesentlich, deswegen kann
dieser stets dorthin gelegt werden, wo es für die konkrete Rechnung am
bequemsten ist. Deswegen wird die potentielle Energie des Feder-Masse-
Systems in physikalisch gleichwertiger Weise durch die Funktion

mit S=s-s_eq beschrieben.

Fazit: Man gelangt von der ersten zur letzten Form für die potentielle
Energie durch eine einfache Verschiebung des Koordinatensystems. Der
Ursprung des s-Epot-Koordinatensystems wird einfach in das Minimum der
Epot-Parabel gelegt

Gruß von Bruce

Ultima · Anmeldungsdatum: 15.04.2005 Beiträge: 151

@Brue
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, wenn ich das richtig verstehe, sind auch beim Feder Schwere Pendel nur zwei Energieformen direkt beteiligt, nämlich die kinetische Energie und die Energie der Elastizität der Feder. Mir geht es im speziellen um folgende Herleitung die biespielsweise für eine horizontales Federpendel gilt:

Für die kinetische Energie:
Ekin=1/2*m*v² = 1/2*m*[A*w*cos(w*t+phi)]²=1/2*m*A²*w²*cos²(w*t*phi)

Für die Energie der Elastizität:
Epot=1/2*D*s²=1/2*D*[A*sin(w*t*phi)]²=1/2*D*A²*sin²(w*t*phi)

für die Gesamtenergie gilt:
Eges=Epot+ Ekin mit sin²+ cos²=1 ergibt sich Eges=1/2*m*A²w²+1/2*D*A²

da die beziehung gilt: m*w²=D ergibt sich Eges=1/2*D*A²

Kann man diese Herleitung 1:1 für das Feder-Schwere-Pendel hernehmen wenn man angibt, dass die Nulllage dementsprechend verschoben wird oder muss man zusätlich mit der Formel: Epot=mgh arbeiten?[/latex]

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Die von dir angegebene Formel

für die Gesamtenergie gilt für jeden Massepunkt m, dessen potentielle
Energie quadratisch von einer Lagekoordinate q (Abstand, Winkel oder
sonstwas) gemäß

abhängt. Dieses Potential wird in der Physik als das Potential des
harmonischen Oszillators bezeichnet. Die von dir angedeutete Herleitung
ist plausibel, aber ein wenig umständlich. Da das Potential des von dir
betrachteten Systems (egal ob Feder im Schwerefeld oder horizontale Feder)
das Potential des harmonischen Oszillators ist, muß die Summe aus potentiel-
ler und kinetische Energie zeitunabhängig sein, denn der harmonische Oszillator
gehört zur Klasse der konservativen Systeme.

Wenn Du also die oben angegebene Formel für die Gesamtenergie als Funktion
der Amplitude des Oszillators begründen willst, dann mußt Du lediglich zeigen,
daß das von dir betrachtete System durch den harmonischen Oszillator
beschrieben wird. Das zeigst Du, indem Du nachweist, daß die potentielle
Energie proportional zum Quadrat einer geeignet gewählten Auslenkung aus
einer Gleichgewichtslage ist. Es kommt also nur auf den mathematischen Ausdruck
für die potentielle Energie an, denn aus mathematische Sicht sind alle
harmonischen Oszillatoren gleich. Wie man den Nachweis für das von dir
beschriebene Problem führt, habe ich schon in meinem ersten Beitrag zu diesem
Thread erklärt.

Gruß von Bruce

Ultima · Anmeldungsdatum: 15.04.2005 Beiträge: 151

Hallo nochmal,

ich würde gerne noch wissen welche besondere Stellung dem Energieerhaltungssatz der Mechanik noch zu kommt, jetzt nicht nur bezogen auf harmonische Schwingungen!

Kann man ihn als zentralen Hauptsatz der Mechanik bezeichnen? Wo sind noch seine Anwendungsmöglichkeiten? Mir fallen spontan noch Wurfbewegungen ein oder auch die schiefe Ebene! Gibts aber noch mehr oder?

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Der Energieerhaltungssatz ist kein zentraler Hauptsatz der Mechanik
und hat nicht den fundamentalen Stellenwert wie in der Thermodynamik.

Wenn für ein mechanisches Problem ein Erhaltungssatz gilt, dann ist
dieser recht nützlich, weil jeder Erhaltungssatz eine Einschränkung
der dynamischen Variablen (Orte und Impulse von Massenpunkten) des
Problems bedeutet. Neben der Energieerhaltung findet man häufig die
Erhaltung des Impulses sowie die Erhaltung des Drehimpulses. Jeder
dieser drei Erhaltungssätze ist mit einer speziellen Symmetrie des
untersuchten mechanischen Systems verknüpft:

Invarianz gegen zeitliche Translation => Energieerhaltung
Invarianz gegen räumliche Translation => Impulserhaltung
Invarianz gegen räumliche Drehung => Drehimpulserhaltung.

Ein Energierhaltungssatz tritt zwar in vielen mechanische Problemen
auf, aber nicht in jedem!

Allerdings kann der sogenannten Hamiltonfunktion eines mechanischen
Systems eine ausgezeichnete Rolle zugesprochen werden. Diese Hamilton-
funktion stimmt in vielen Fällen mit der Gesamtenergie (Summe aus
kinetischer und potentieller Energie) überein und enthält die wesent-
liche Information über die Dynamik des Systems. Aus der Hamilton-
funktion können Erhaltungssätze und Bewegungsgleichungen mit Hilfe
sehr allgemeiner mathematischer Verfahren gewonnen. Die totale Zeit-
ableitung jeder Systemgröße kann formal in allgemeiner Weise mit Hilfe
der sogennanten Poissonklammer aus der Hamiltonfunktion berechnet werden.
In diesem Sinne kann man die Hamiltonfunktion auch als Operator der zeit-
lichen Veränderung und damit als dynamische Fundamentalgröße auffassen.

Gruß von Bruce