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joas
Gast
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 joas Verfasst am: 11. Jul 2005 19:44 Titel: Überschlagschaukel |
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Hallo,
folgende Aufgabe bereitet mir (zuviel) Kopfzerbrechen.
Modell einer Überschlagschaukel:
Ein Stab (Masse m = 15kg, Länge l = 4,3m) bewegt sich um eine Achse im Abstand 0,2l vom oberen Stabende. Am unteren Stabende ist eine zusätzliche Punktmasse P mit m = 75kg angebracht.
Welche Mindestgeschwindigkeit muss P am tiefstliegenden Punkt haben, damit es zum Überschlag kommt.
Ansatz muss wohl über die Energieerhaltung gemacht werden. Aber wie berücksichtige ich die anderen Angaben der Aufgabe??
Gruß joas |
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Schrödingers Katze
Anmeldungsdatum: 10.07.2005
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| Schrödingers Katze Verfasst am: 11. Jul 2005 20:38 Titel: |
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Beträgt der Abstand 0,2 "Liter"? Eher "m", oder?
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Masse: m=4kg
Trägheitsmoment: J=  |
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Passepartout
Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 172
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| Passepartout Verfasst am: 11. Jul 2005 20:54 Titel: |
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Hallo,
@Schrödi: schätze mal, es war damit gemeint, dass es 0,2 mal die Länge des Stabes rüberragt.
finde die Aufgabe eigentlich ganz gut, zumindest könnte sie mir viel bringen, denn wir hatten das grad so irgendwie gemacht 
Ich schätze mal, Du wirst zuerst einen Massenschwerpunkt errechnen müssen (Summenkonvention, wirst beim ersten wohl integrieren müssen, CM: Massenschwerpunkt, Mp: Massenpunkt [der am Ende]):
Und damit dann insgesamt. (Massenschwerpunkt des obigen Massenschwerpunkts und des Massenpunkts am Ende)
)
An diesem greift dann die Schwerkraft auf die Stange an und verursacht ein Drehmoment gemäß:
Nun kannst Du aber auch das Drehmoment noch wie folgt beschreiben (I: Trägheitsmoment:
Da musst halt nun das Trägheitsmoment errechnen und dann die Bewegungsgleichung aufstellen und kannst dann schauen, was für größe Winkel passiert.
Kann natürlich auch sein, dass ich nun ein wenig zu herb an die Aufgabe rangegangen bin, aber das wäre so mein Ansatz  .
Gruß  ,
Michael
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 , oder nicht  |
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Schrödingers Katze
Anmeldungsdatum: 10.07.2005
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| Schrödingers Katze Verfasst am: 11. Jul 2005 20:57 Titel: |
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Also, ich weiß nicht ob's stimmt, weil wir sowas noch nicht hatten. Ich denk mal laut:
Energieerhaltung klingt logisch, also
Siehe da, m kürzt sich (passt gut, ich wüsste nämlich nicht, wie man den Stab behandeln sollte, und eben da hab ich meine Bedenken)
Umstellen ergibt
} )
und dann kan man lösen.
EDIT: kan mit nn. Das über mir sieht aber schöner aus, mit "Trägheitsmoment" und so...
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Masse: m=4kg
Trägheitsmoment: J= |
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Passepartout
Anmeldungsdatum: 02.06.2005
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| Passepartout Verfasst am: 11. Jul 2005 21:00 Titel: |
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Ich glaube, ganz so einfach kann es es sich hier nicht machen.
Damit würdest Du die Massen des Stabes bei der Rotation um die Achse vernachlässigen.
Fraglich wäre auch noch, ob das beim mathematischen Pendel drin wäre
Der Ansatz passt eigentlcih am ehesten auf die Aufgaben mit den Looping-Bahnen, wo eine Punktmasse einen Abhang herunterrollt und gerade noch so den Looping schaffen soll.
Gruß ,
Michael
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Schrödingers Katze
Anmeldungsdatum: 10.07.2005
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| Schrödingers Katze Verfasst am: 11. Jul 2005 21:02 Titel: |
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Mmh, OK, werd's mir merken für 12/1.
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
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| sax Verfasst am: 12. Jul 2005 04:37 Titel: |
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Also ich habe jetzt keine List zu rechnen, aber es müßte ungefähr so funktionieren:
1. Tragheitsmoment J von Stab+Punktmasse um die Rotationsachse bestimmen.
2. Rotationsenergie ist 
3. Potentielle Energie ist 
4. Energieerhaltung
@MichaelReinke
Über die Energierhaltung geht es wohl einfacher als über deine Dgl. , bzw. würde ich wetten das bei der Dgl. am Schluß iregendwelche eliptischen Integrale stehen(wie beim Fadenpendel, wenn man große Auslenkungen betrachtet), die nicht so einfach wie die Energierhaltung Auswertbar sind. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 12. Jul 2005 08:33 Titel: |
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Jo, magst recht haben, mit der Energieerhaltung ist wohl tatsächlich einfacher.
Man könnte jedoch, nachdem man die Bewegungsgleichung aufgestellt hat, auswerten, ab wann genau der Grenzübgergang von der Elipse zur Schwingung im Phasenraum geschieht und hätte dann die Geschwindigkeit den man braucht.
Aber wie gesagt, vermutlich doch mit Deinem Ansatz leichter 
Gruß ,
Michael |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
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| sax Verfasst am: 12. Jul 2005 12:32 Titel: |
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Eliptische Integrale haben nicht viel mit elipsen zu tun. |
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Passepartout
Anmeldungsdatum: 02.06.2005
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| Passepartout Verfasst am: 12. Jul 2005 17:19 Titel: |
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Hallo,
Wenn Du aber die Pendelbewegung im (r,p) Phasenraum betrachtest, wirst Du sicherlich nicht absprechen können, dass für große Auslenkungen, die noch nicht zum Überschlag führen die Trajektorie eine Ellipse darstellt und das ist es, was ich ausdrücken wollte.
Gruß ,
Michael
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
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| sax Verfasst am: 12. Jul 2005 23:26 Titel: |
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Naja, das möchte ich doch bezweifeln, das Phasendiagramm bekommt man auch am einfachsten aus dem Energiesatz:
Beim Fadenpendel:
 )
l- Drehimpuls, J Trägheitsmoment, wenn man p nimmt ändert sich beim Fadenpendel nur ein Faktor. R ist die Länge des Pendels,  der Auslenkwinkel, der Nullpunkt der Potentiellen Energie liegt bei der stabilen Gleichgewichtsposition des Pendels.
Das ist eine implizite Gleichung für r und phi, nimmt man kleine Winkel an, kann man den cos bis zur zweiten Ordnung um Null herum entwickel:
 = 1-\frac{1}{2} \phi^2 + O(\phi^4) )
Eingesetzt in die Energieerhaltung:
\right) )
 )
Das ist tatsächlich eine Elipsengleichung der Form  , diese gilt aber nur für kleine Winkel. Für große Auslenkwinkel sind es keine Ellipsen mehr, zugegebener maßen sehen die Kurven aber auch nicht sehr viel anders als Elipsen aus. |
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Passepartout
Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 172
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| Passepartout Verfasst am: 12. Jul 2005 23:48 Titel: |
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| sax hat Folgendes geschrieben: | Naja, das möchte ich doch bezweifeln, das Phasendiagramm bekommt man auch am einfachsten aus dem Energiesatz:
Beim Fadenpendel:
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Hallo,
bin selber nicht ganz so firm, aber wir hatten das in der Vorlesung, den letzten Summenanden könntest Du nun mit dem Additionstheorem vereinfachen, sodass ein Quadrat der Sinusfunktion entsteht und die Entwicklung nicht mehr notwendig wird:
 = \frac{I^2}{2\cdot J}~+~mgR~2\cdot\sin^2\frac{\phi}{2})
Damit kommen wir wieder auf eine Form  und zwar für beliebige Winkel. Und diese Funktion für kleine  ergibt faktisch eine Kreisbahn, für nahe dem Übergang eine gute Elipse und für größere dann eine "Welle".
Edit: Ich habe nochmal nachgedacht und bemerkt, dass Sinus ja eine periodische Funktion ist  Insofern muss die Energie wohl betrachtet werden...
Bitte korrigiere mich, wenn ich falsch liege, wie gesagt, der Stoff ist noch jung im Hirn, vielleicht hat sich was verzogen 
Lieben Gruß ,
Michael
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
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| sax Verfasst am: 13. Jul 2005 01:02 Titel: |
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Ja, ich schätze du liegst etwas falsch, also hier meine korrektur (Und dabei haben die Semesterferien gerade begonnen und ich war froh, dass ich 3 Monate keine Übungsaufgaben kontrollieren muß )
Deine Gleichung ist keine Form:
 , sondern
 = konst ) , also wenn du l und  ) aufträgtst, wär es immer eine Elipse, ansonten nur dann, wenn immer klein ist. Das ist dann der Fall, wenn die Gesamtenergie klein ist.
Ein Kreis kommt mit Sicherheit nur dann herraus, wenn
 gilt, und auch dann nur für kleine Amplituden.
| Zitat: |
bin selber nicht ganz so firm, aber wir hatten das in der Vorlesung, den letzten Summenanden könntest Du nun mit dem Additionstheorem vereinfachen, sodass ein Quadrat der Sinusfunktion entsteht und die Entwicklung nicht mehr notwendig wird:
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wenn du wissen willst was für kleine Amplituden rauskommt, mußt du auch hier Entwickeln:
 = \phi + O(\phi^3) ) , gut, okay, dass ist vielen geläufiger als die Entwicklung des Kosinus, aber "Taylern" kann man im ersten Semester ja schon oder ?
Und noch ne kleine Klugscheißerei: Du benutzt nicht die Additionstheoreme (=\sin\alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta ) usw.), sondern das  ist, was im Grunde der Satz des Pythagoras ist.
Aber weiter so, nur dadurch das man Probleme selber durchdenkt, versteht man sie auch irgendwann. |
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Passepartout
Anmeldungsdatum: 02.06.2005
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| Passepartout Verfasst am: 13. Jul 2005 08:47 Titel: |
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Vielen Dank für Deine Hinweise, trotz der Ferien 
Warum muss man denn für kleine Winkel entwickeln... Man könnte doch auch einfach den kleinen Winkel in  einsetzen.
Oder geht es hier gleich um eine qualitative Analyse?
Ich habe auch noch mal die Umformung des letzten Terms nachvollzogen (hat im Übrigen recht lange gedauert bis ich drauf kam) und denke, dass man doch ein Additiontheorem anwenden muss, damit der Pythagoras greift, (Es fehlt ja noch das  ...) nämlich mit diesem Ansatz:
)
puuh, dieser ganze Phasenraumkram ist ja mehr oder minder abstrakt, hoffe, dass das mit der Zeit ein wenig mehr in Fleisch und Blut übergeht
Gruß ,
Michael
P.S.: Klar können wir entwickeln: die Taylor Entwicklung wurde uns sozusagen bereits in den Semesterunterlagen mitgereicht
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
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| sax Verfasst am: 13. Jul 2005 14:25 Titel: |
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| Zitat: |
puuh, dieser ganze Phasenraumkram ist ja mehr oder minder abstrakt, hoffe, dass das mit der Zeit ein wenig mehr in Fleisch und Blut übergeht |
Klar wirds machen.
| Zitat: |
Ich habe auch noch mal die Umformung des letzten Terms nachvollzogen (hat im Übrigen recht lange gedauert bis ich drauf kam) und denke, dass man doch ein Additiontheorem anwenden muss, damit der Pythagoras greift,
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Hmm, okay, klar da habe ich es mir dann zu einfach gemacht, du brauchst wirklich die Additionstheoreme.
| Zitat: |
Warum muss man denn für kleine Winkel entwickeln... Man könnte doch auch einfach den kleinen Winkel in einsetzen.
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Klar, aber dann sieht man dem nicht an das Elipsen rauskommen, wenn ich sagen will für kleine Winkel kommen Elipsen raus, muß ich das ja irgendwie begründen. Mann kann die Kurve natürlich Plotten, aber dann weiß man nur für bestimmte Parameter, wie die Kurve aussieht. Also ja, es geht um eine qualitative Analyse. |
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Passepartout
Anmeldungsdatum: 02.06.2005
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| Passepartout Verfasst am: 13. Jul 2005 14:55 Titel: |
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| sax hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Warum muss man denn für kleine Winkel entwickeln... Man könnte doch auch einfach den kleinen Winkel in einsetzen.
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Klar, aber dann sieht man dem nicht an das Elipsen rauskommen, wenn ich sagen will für kleine Winkel kommen Elipsen raus, muß ich das ja irgendwie begründen. Mann kann die Kurve natürlich Plotten, aber dann weiß man nur für bestimmte Parameter, wie die Kurve aussieht. Also ja, es geht um eine qualitative Analyse. |
Oki, also, wie ich es mir dachte
Habe ganz vielen Dank, hast mir sehr weitergeholfen.
Liebe Grüße aus dem warmen Norden ,
Michael
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Gast
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| Gast Verfasst am: 15. Jul 2005 19:32 Titel: |
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hallo,
ich habe die bin auch dabei die aufgabe zu lösen und zwar nach dem ansatz von sax.
dazu habe ich das trägheitsmoment bzgl. der achse mit dem satz von steiner bestimmt(22/75ml^2=Is). Leider hab ich keine idee wie ich die 75kg punktmasse berücksichtige.  kann mir da einer nen tipp geben?!
Danke!
Bimmel |
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Passepartout
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| Passepartout Verfasst am: 15. Jul 2005 20:45 Titel: |
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Hallo,
da habe ich auch drüber gegrübelt und hatte mir folgendes Überlegt.
Eigentlich ist das Trägheitsmoment ja folgendermaßen definiert:
Dementsprechend würde ich einfach meinen, dass man hier folgendes macht:
(PM=Punktmasse)
 + \int \vec{r}^2 dm)
Müsste eigentlich hinhauen, wäre aber für ein Statement von irgendeinem Erfahrenerem dankbar.
Gruß,
Michael
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Bimmel
Anmeldungsdatum: 11.07.2005
Beiträge: 5
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| Bimmel Verfasst am: 16. Jul 2005 11:59 Titel: |
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hi,
ist denn der abstand massepunkt-drehachse, dann 0,8*l ?
greetz bimmel |
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Passepartout
Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 172
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| Passepartout Verfasst am: 16. Jul 2005 12:31 Titel: |
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Hallo,
Jo würde schon meinen.
Gruß ,
Michael
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