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Gewinntention
Anmeldungsdatum: 02.10.2011
Beiträge: 1
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 Gewinntention Verfasst am: 02. Okt 2011 13:39 Titel: Magnus-Entwicklung bei normalverteiltem Zufallsprozess |
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Hallo,
ich mache gerade einige Berechnungen an einem durch einen RF-Puls kontrollierten Spin-1/2 System, das von einem als normalverteilte Zufallsvariable ) repräsentierten Rauschen beeinflusst wird (was, so glaube ich, ein sog. gaußscher stochastischer Prozess ist, da eine gaußsch verteilte Zufallsvariable für alle Zeiten  ist).
Mit der Magnus-Entwicklung ergibt sich
}-\frac{i}{2}\mu^{\left(2\right)}+\dots\right)\right]
<br />
)
aus dem zeitgeordneten Zeitentwicklungsoperator. Für einen Kontrollpuls entlang der  -Richtung und Rausch-Kopplung in  -Richtung ergibt sich so beispielsweise für die ersten zwei Terme
}= \int\limits_{0}^{\tau_{p}} f \left( t \right) n \left( t \right) \mathrm{dt}\cdot\sigma_z + \int\limits_{0}^{\tau_{p}} g \left( t \right) n \left( t \right) \mathrm{dt}\cdot\sigma_x
<br />
)
und
}= \int \limits_{0}^{\tau_{p}}\int\limits_{0}^{t_1} h \left(t_{1},t_{2}\right) n\left(t_{1}\right)n\left(t_{2}\right)\mathrm{dt_{2}}\mathrm{dt_{1}}\cdot\sigma_y
<br />
) ,
wo ) , ) und ) trigonometrische Funktionen sind.
Jetzt würde ich gerne wissen, wie man diese Ergebnisse (und solche für Terme höherer Ordnung) mit bekannten Eigenschaften der normalverteilten Zufallsvariable , wie der (Auto-)Korrelationsfunktion und dem Erwartungswert  = \lambda \neq 0) zusammenbringt.
Durch eine Suche habe ich bisher
} & = \int\limits_{0}^{\tau_{p}} f \left( t \right) n \left( t \right) \mathrm{dt}\cdot\sigma_z + \int\limits_{0}^{\tau_{p}} g \left( t \right) n \left( t \right) \mathrm{dt}\cdot\sigma_x\\
<br />
& = \lambda\int\limits_{0}^{\tau_{p}} f \left( t \right) \mathrm{dt}\cdot\sigma_z + \lambda\int\limits_{0}^{\tau_{p}} g \left( t \right) \mathrm{dt}\cdot\sigma_x
<br />
) gefunden.
Das überzeugt mich allerdings nicht endgültig, da ich bisher keine mathematische Erklärung dafür finden konnte. Gibt es da etwas Handfestes, oder ist das einfach als naheliegendes Argument zu akzeptieren?
Wie dem auch sei, kann mir hier vielleicht jemand weiterhelfen? Ich denke es ist klar geworden, dass ich unerfahren im Umgang mit stochastischen Prozessen bin, eine Empfehlung wo ich sowas am besten mit physikalischem Kontext auflesen kann würde mir vermutlich auch schon helfen.
Vielen Dank
-Gewinntention |
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