Diffusionsbestimmte Reaktionskinetik

diddy19855 · Anmeldungsdatum: 12.05.2011 Beiträge: 2

Meine Frage:
hallo,
ich habe folgendes problem, bei dem ich derzeit einfach nicht weiter komme:
in einer veröffentlichung wird die lösung einer inhomogenen linearen dgl 2. ordnung vom typ

y'' - ay = -ak

mit

y = k - A{e^[sqrt(a)*x]-1}

angegeben. die dgl soll dabei den partialdruck eines gasförmigen reaktionsproduktes über die längenausdehnung x eines festkörpers, in dem die reaktion statt findet, beschreiben. leider kann ich die lösung nicht nachvollziehen.

Meine Ideen:
meine lösung der dgl lautet wie folgt:

y = y(hom) + y(part)

y(homogen) ist lösung der homogenen gleichung y'' - ay = 0

aufstellen der charak. gleichung:

r^2 - a = 0, r1 = sqrt(a) und r2 = -sqrt(a)

daraus folgt:

y(homogen) = C1*e^[sqrt(a)*x] + C2*e^[-sqrt(a)*x]

parikuläre lösung der dgl

y'' - ay = f(x)

da f(x) = -a*k = const. gilt y(part) = -ak/(-a) = k,

somit ergibt sich die allgemeine lösung der dgl zu:

y = y(hom) + y(part)
= C1*e^[sqrt(a)*x] + C2*e^[-sqrt(a)*x] + k

vorausgesetzt meine lösung der dgl stimmt, hier der knackpunkt: wie bekomme ich diesen ausdruck auf den obigen

y = k - A{e^[sqrt(a)*x]-1} ?

benötige ich dafür randbedingungen? oder schafft man das durch termumformung?
den entsprechenden ausschnitt aus der veröffentlichung findet man hier:
http://imagespread.com/viewer.php?file=images/3pm9tq7yx64kc04n6ndu.jpg

die genannte dgl entspricht Gl. 4i, die Lösung soll Gl. 6 sein.

vielen dank schon mal für eure hilfe!
gruß, diddy

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Das ist keine Lösung dieser DGL. Prüf das einfach durch einsetzen der Lösung in die DGL.

diddy19855 · Anmeldungsdatum: 12.05.2011 Beiträge: 2

welche der beiden lösungen meinst du?

und, falls jmd mal einen blick in den link geworfen hat, handelt es sich bei gl. 4i tatsächlich formal um eine lineare, inhom. dgk 2. ordnung?

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473