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R2-D2
Anmeldungsdatum: 05.01.2011
Beiträge: 17
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 R2-D2 Verfasst am: 29. März 2011 16:37 Titel: Sonnensturz |
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Es geht bei meiner Frage um einen Sonnensturz, dabei sind gegeben:
}=1,99\cdot 10^{30}kg \\ r_0=1,5\cdot 10^{11}m \\ \gamma=6,67\cdot 10^{-11} m^3/kg s^2\\ v_0=0 m/s )
Die Frage dabei ist, wie lange ein Körper der Masse m (punktförmig) braucht, um bei dem Abstand r0 mit der Anfangsgeschwindigkeit v0, um auf der Sonne einzuschlagen, wenn man jegliche andere Massen in diesem System vernachlässigt.
Der Ansatz über das 3. Kepler-Gesetz ist klar und leicht nachvollziehbar.
Ich hab jetzt noch zwei weitere Ansätze, bei denen von Bedeutung wird, dass sich G der Sonne abhängig von der Entfernung r ändert, da ja  gilt.
1. a(r):
Kraftansatz:
Womit a nur noch abhängig von r ist, und damit ergibt sich die Funktion a(r), was ja in Standardbezeichung s ist und somit a(s) und kann man über die Beziehung  auf eine Zeit kommen?
1. v(r):
Energieansatz:
}r=\frac12 v^2 \\
<br />
G=\gamma\frac{M}{r^2}\\
<br />
\gamma\frac{M}{r}=\frac12 v^2 \\
<br />
v=\sqrt{2\gamma\frac{M}{r}}=\sqrt{2\gamma M}\cdot\sqrt{\frac{1}{r}}
<br />
)
Womit v nur noch abhängig von r ist, womit sich hier v(r) ergibt und kann man hier über die Beziehung  auf eine Zeit kommen? |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 29. März 2011 19:23 Titel: Re: Sonnensturz |
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| R2-D2 hat Folgendes geschrieben: | [...]
G_{(Sonne)}r=\frac12 v^2 \\
G=\gamma\frac{M}{r^2}\\
\gamma\frac{M}{r}=\frac12 v^2 \\
[...] |
Hier ist dein Fehler. Du hast nämlich für ein beliebiges Potential V zur konservativen Kraft F folgende Beziehung, die du einfach integrieren kannst:
-dV/dr=F
Was den Rest angeht. Ja das dürfte mit Trennung der Variablen funktionieren. |
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R2-D2
Anmeldungsdatum: 05.01.2011
Beiträge: 17
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| R2-D2 Verfasst am: 29. März 2011 21:43 Titel: Re: Sonnensturz |
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| Chillosaurus hat Folgendes geschrieben: |
beliebiges Potential V (...) konservativen Kraft F |
Was meinst du mit beliebigem Potential und konservativer Kraft? Nie gehört...
und die eigentliche Fragestellung ist ja, wie ich von dem funktionalen Zusammenhang a(r) oder v(r) auf die benötigte Zeit im Intervall von  komme und da komme ich mit deiner Aussage nicht viel weiter... |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 29. März 2011 22:05 Titel: Re: Sonnensturz |
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| R2-D2 hat Folgendes geschrieben: |  |
Nö. Die Energieerhaltung sieht so aus:
Das ergibt
)
Für die Lösung dieser Differentialgleichung hat Chillosaurus schon das Stichwort gegeben: Trennung der Variablen. Dabei ist allerdings das Vorzeichen von v zu beachten. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 30. März 2011 01:41 Titel: |
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Ergänzend vielleicht, daß mit v_0 = 0 ja nur die radiale Geschwindigkeit  bleibt, so daß sich der Hinweis zum Vorzeichen dann auf das dr beim Sturz bezieht. [Vielleicht darf man zusätzlich verraten, daß hier vermutlich die Erde in die Sonne stürzt.] |
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R2-D2
Anmeldungsdatum: 05.01.2011
Beiträge: 17
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| R2-D2 Verfasst am: 30. März 2011 09:40 Titel: |
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Radial?
Es wird ja davon ausgegangen, dass jegliche andere Massen in diesem System außer Acht gelassen werden und damit stürzt der Körper ja "linear" in die Sonne, damit gibt es ja an sich gar keine "radialen" Geschwindigkeiten, oder?
und inwiefern bezieht sich die Lösung der Differentialgleichung auf die Beziehung von v und r in Verbindung mit der Zeit? |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 30. März 2011 11:27 Titel: Re: Sonnensturz |
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| R2-D2 hat Folgendes geschrieben: | | Chillosaurus hat Folgendes geschrieben: |
beliebiges Potential V (...) konservativen Kraft F |
Was meinst du mit beliebigem Potential und konservativer Kraft? [...] |
Eine konservative Kraft ist eine Kraft bezüglich eines Potentiales. Die notwendige Arbeit hängt nur von den Endpunkten und nicht vom Weg ab.
Ein beliebiges Potential heißt hier, das Potential ist bis auf eine beliebig wählbare Integrationskonstante exakt bestimmbar. Du benötigst blos Energie vorher= Energie nachher. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 30. März 2011 12:50 Titel: |
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| R2-D2 hat Folgendes geschrieben: | gar keine "radialen" Geschwindigkeiten, oder?
und inwiefern bezieht sich die Lösung der Differentialgleichung auf die Beziehung von v und r in Verbindung mit der Zeit? |
Wenn Dir der Begriff "radial" (svw. auf den Radius bezogen) ungewohnt ist, laß es bei der Zeitableitung des Radius (Betrag des Ortsvektors Sonne - Erde).
Durch Drehimpuls = null erfolgt, wie Du selber feststellst ein direkter Sturz zur Sonne. Es ändert sich nur r(t) und die Gleichung dafür [vielleicht besser t(r)] ergibt sich aus dem Energiesatz, mit Trennung der Variablen r und t.
Übrigens kommt man so zum Zeitpunkt des "Aufpralls" t(R) auf die Sonne. Es gibt auch, wenn ich mich recht erinnere, eine viel einfachere Abschätzung für die Ankunft im Mittelpunkt t(0) mittels KEPLER und bei angenommen punktförmiger Sonne. Paar Minuten Differenz wohl. |
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