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RickDeckard
Anmeldungsdatum: 04.12.2010
Beiträge: 3
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 RickDeckard Verfasst am: 08. Jan 2011 11:37 Titel: Hadamard-Lemma |
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Meine Frage:
Hallo miteinander,
Bei der Herleitung zur Baker-Campbell-Hausdorff-Formel stößt man zunächst auf das sogenannte Hadamardsche Lemma.
}
<br />
)
mit }=[B,[B,A]_{(n-1)}]
<br />
) und }=A )
Als Voraussetzung ist gegeben: A,B beliebige lineare Operatoren und  ist ein komplexer Parameter.  ist der Kommutator.
Es ist nun die Aufgabe die Gültigkeit dieser Aussage zu zeigen.
Meine Ideen:
Meine Idee war jetzt den Ausdruck  mit einer Taylorreihe bei  zu entwickeln.
Das sieht dann so aus:
\bigg|_{\lambda=0})
Für n=0,1,2 habe ich das überprüft und es stimmt. Aber meine ursprüngliche Idee, dann mit vollständiger Induktion auf eine Gültigkeit für n zu schließen funktioniert nicht, da die Ableitung ja an der Stelle  ausgewertet wird.
Bin für jeden Hinweise dankbar.
lG RickDeckard |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2011 13:52 Titel: |
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Du kannst die beiden Taylorreihe der e-Funktionen in B einfach formal hinschreiben und musst sie nicht mittels der Ableitungen konstruieren. Dann musst du "nur" noch die Terme geeignet umsortieren.
Da nur Potenzen in B vorkommen, hast du kein Problem mit der Vertauschbarkeit; im endlichdimensionalen Fall (Matrizen) hast du außerdem kein Problem mit der Konvergenz.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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RickDeckard
Anmeldungsdatum: 04.12.2010
Beiträge: 3
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| RickDeckard Verfasst am: 08. Jan 2011 14:27 Titel: |
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Danke für deine Antwort TomS.
Meinst du das so?
^n}{n!}\cdot A \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-\lambda B)^n}{n!}
<br />
)
Mit der Cauchy-Produktformel wird das zu
^k}{k!}\cdot A\cdot\frac{(-\lambda B)^{n-k}}{(n-k)!}
<br />
)
Nun gut, aber A und B vertauschen nicht. Ab hier weiß ich nicht weiter. |
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RickDeckard
Anmeldungsdatum: 04.12.2010
Beiträge: 3
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| RickDeckard Verfasst am: 09. Jan 2011 12:04 Titel: |
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Irgendwie sehe ich es immer noch nicht.... ?( |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 09. Jan 2011 19:46 Titel: |
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Versuche doch mal, Terme mit insgs. gleichvielen Potenzen von B zusammenzufassen und die Gleichheit mit [,], [,[,]] usw. zu zeigen.
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Franzi31415
Anmeldungsdatum: 22.07.2012
Beiträge: 5
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| Franzi31415 Verfasst am: 26. Mai 2014 13:01 Titel: |
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Danke für deine Frage und deine Idee, RickDeckard!
Sie funktioniert, auch mit vollst. Induktion, wenn man es richtig macht. Wollte die Formel auch gerade beweisen und bin nicht weiter gekommen, aber deine Idee hat mir sehr weitergeholfen.
Leider ist es wohl ein bisschen zu spät.
Viele Grüße,
Franzi |
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