Spiegelladungs-Prinzip

Simon4 · Anmeldungsdatum: 18.06.2006 Beiträge: 139

Hallo

folgende Aufgabe: gegeben sei eine Linienladung mit gegebener Ladung pro Fläche (insgesamt Ladung +Q) und eine Punktladung im Abstand d mit Ladung -Q. Dazwischen wird nun eine ideal leitende, unendlich ausgedehnte, dünne Metallplatte geschoben (nicht genau in der Mitte, Position ist ebenfalls gegeben).

Nun soll man die Kraft auf die Punktladung berechnen. In der mir vorliegenden Lösung wird irgendwie argumentiert, dass die Punktladung eine Ladung +Q auf der Metalloberfläche bedingt, was durch eine gespiegelte Punktladung auf der anderen Seite modelliert werden kann, da dann auf -Q das gleiche Feld wirkt.

Doch wieso muss man hier nicht die Wirkung der Linienladung betrachten? Würde dies nicht ebenfalls eine Ladung auf der Metalloberfläche bedingen und so eine Kraft auf -Q ausüben? Oder allgemeiner zum Spiegelladungs-Prinzip: Wirkt das gedachte Feld zwischen eigentlicher und gespiegelter Ladung auch tatsächlich auf der Seite der gespiegelten Ladung?

Danke.

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Ich habe noch einige Schwierigkeiten mit den Details der beschriebenen Situation.

Ist die Linienladung unendlich dünn (Linie <-> Ladung pro Fläche?) und endlich lang (endliche Gesamtladung)?
Schneidet das Lot von der Punktladung auf die (endlich lange) Linienladung diese in ihrer Mitte?
Sind Linienladung und Metallfläche zueinander parallel ausgerichtet?

Simon4 · Anmeldungsdatum: 18.06.2006 Beiträge: 139

Oh, sorry, da habe ich etwas ungenau beschrieben.

1) Es sollte Ladung pro Länge heissen, d.h. sie ist unendlich dünn. Sie ist aber nicht unendlich lang.

2) Ja.

3) Ja.

Simon4 · Anmeldungsdatum: 18.06.2006 Beiträge: 139

Weiss vielleicht sonst noch jemand Bescheid?

StudentT · Anmeldungsdatum: 02.03.2009 Beiträge: 148

Hallo!

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Ja, sorry. Bei genaueren Hinsehen waren die von mit nachgefragten Faktoren eigentlich auch nicht essentiell für deine Frage.

Ich kann StudentT nur zustimmen.

In welchem Zusammenhang wurde die Aufgabe gestellt? In der Experimentalphysik würde man vielleicht am direktesten argumentieren, dass die Metallplatte die beiden Halbräume mit Punkt- und Linienladung trennt, und daher wie ein Faradayscher Käfig beide voneinander "abschirmt". Man kann in dem einen Halbraum beliebig Ladungen unterbringen, ohne dass die Punktladung auf der anderen Seite davon etwas merkt. Man kann sie also genauso gut entfernen, und sich daher auf die Betrachtung der Punktladung beschränken.

Theoretisch steckt dahinter natürlich ein elektrostatisches Randwertproblem, und die Spiegelladungen sind ein Trick bei solchen besonders symmetrischen Problemen an das Potential zu kommen.
Man hat eine Ladungsverteilung vorgegeben, und sucht das Potential im (Halb-)Raum. Demnach muss man die Poisson-Gleichung

lösen. Als Randbedingung hat man dann z.B. das Potential auf der geerdeten Metallplatte vorgegeben.

Angenommen es wäre erst einmal nur die Punktladung vorhanden. Man möchte dann das Potential in dem Halbraum mit der Punktladung bestimmen.

Die Lösung der Poisson-Gleichung ist dafür schnell gefunden (bzw. bekannt), und liefert das Potential einer Punktladung.

Nur erfüllt dieses die Randbedingungen noch nicht, da dabei die Metallfläche keine Äquipotentialfläche wäre (oder anders: die Feldlinien nicht senkrecht auf der Metallfläche stünden). Man kann nun aber versuchen, zu dem Potential ein weiteres zu addieren, dass die Randbedingungen realisiert aber im gesamten Volumen für das man das Potential sucht Laplace = 0 liefert. Anschaulich erfüllen diese Bedinung z.B. Potentiale von Ladungen außerhalb des Halbraumes.
Wegen der Linearität des Laplace-Operators wird unsere Poisson-Gleichung im betrachteten Volumen dadurch nicht gestört. Aber es zeigt sich, dass in unserem Fall damit die Randbedingungen erfüllt werden können, wenn man gedanklich die entsprechende Spiegelladung platziert.

Vorhanden sind sie deshalb in dem anderen Halbraum nicht. Wir haben uns ja nur bemüht, das Potential in dem einen Halbraum zu finden, und uns das gedanklich mit Hilfe hypothetischer Spiegelladungen erleichtert.

Dass das gefundene Potential tatsächlich die (einzige) Lösung ist, garantiert - wie auch schon von StudentT gesagt - die Eindeutigkeit solcher Arten von Randwertproblemen.

Simon4 · Anmeldungsdatum: 18.06.2006 Beiträge: 139

Danke vielmals für die Antworten, das ganze leuchtet mir ein.

PS: Es war eine Aufgabe (bzw. Teil einer Aufgabe) im Zusammenhang mit einer Vorlesung, welche in die EM-Feldtheorie einführen soll (Studiengang E-Tech).