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1P-Term bei np² Konfiguration
 
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golbi



Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 77

Beitrag golbi Verfasst am: 05. Jun 2009 19:02    Titel: 1P-Term bei np² Konfiguration Antworten mit Zitat

hi,

ich hab jetzt in verschiedenen Lehrbüchern gelesen, dass der 1P-Term bei der np²-Konfiguration auf Grund des Pauliprinzips nicht auftreten kann. Hab damit aber Verständnisprobleme.

Das Pauliprinzip besagt ja, dass sich mindestens eine Quantenzahl unterschieden muss. Wenn ich mir jetzt folgende Anordnung anschau:


_________ ______s=-0,5____ _____s=0,5____

ml= -1 ml = 0 ml = -1

Dann ist das doch genau ne 1P-Konfiguration, oder? und die Quanzenzahlen unterscheiden sich auch (sogar 2 Stück)

Wo liegt hier mein Denkfehler?
Dr.Blech
Gast





Beitrag Dr.Blech Verfasst am: 20. Jun 2009 11:37    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

ich nehme jetzt mal an, dass du dich auf die Standardbezeichnung der Energieniveaus der Elektronen beziehst. Dabei ist ja die Zahl in der Bezeichnung die Hauptquantenzahl n, welche die Energie angibt. Die Energie ist ja laut Quantenmechanik gequantelt und daher kann n nur ganze Zahlen annehmen. Der Buchstabe (s,p,d,f,...) repräsentiert ja die Drehimpulsquantenzahl l. Die darf aber nur von 0 bis n-1 gehen. Das kommt glaub ich aus den Eigenwerten, die man bei der Lösung der Schrödingergleichung für den Drehimpulsanteil des Wasserstoffproblems erhält (da bin ich mir aber nicht ganz sicher).

wenn also n=1, dann kann es für die Drehimpulsquantenzahl nur l=0 geben. Also gibt es nur einen 1s-Zustand. Eine p-Zustand gibt es erst für n=2 weil l da die Werte 0 (s) und 1 (p) annehmen kann.

Wieviele Zustände es in den einzelnen Niveaus gibt hängt übrigens mit der dritten Quantenzahl, der Magnetquantenzahl m zusammen. Die darf nämlich nur werte von -l bis +l annehmen, also 2l+1. Jeder Zustand hat dann 2 Besetzungsmöglichkeiten (Spin up und Spin down).

Der 2p-Zustand hat dann also (n=2, l=1) m=2*2+1=3 Zustände. Die können mit 6 Elektronen besetzt sein und zwar drei mit spin up und drei mit spin down. Erst da kommt das Pauli-Prinzip zum tragen.

Ich hoffe, ich konnte etwas helfen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 20. Jun 2009 17:01    Titel: Antworten mit Zitat

Also um es kurz zu machen:

Das hat nichts mit dem Pauli-Prinzi zu tun, denn in der einfachsten Version der SG für das H-Atom werden ausschließlich spinlose Elektronen betrachtet.

Betrachet man die Lösungen der SG, so stellt man fest, dass die Quantenzahlen folgende Werte annehmen können:

n = 1, 2, 3, ...
l = 0, 1, 2, ..., n-1
m = -l, -l+1, ..., 0, ..., l-1, l

D.h. der 1p-Term entspräche (n,l,m) = (1,1,m) und dieser Zustand ist nicht existent.

Eine einfache, physikalische Begründung existiert nicht. Es folgt zunächst aus dem Spektrum der SG, d.h. den Eigenwerten einer DGL. (die Wertebereiche für l und m folgt dagegen direkt aus der Darstellungstheorie der SO(3) Gruppe = der Rotationsymmetrie).

Es gibt allerdings eine verborgene dynamische Symmetrie im H-Atom. Zugrunde liegt der sogenannte Lenz-Runge-Vektor (siehe auch Wikipedia). Dieser führt dazu, dass die volle Symmetrie des Problems der SO(4) entspricht. Aus dieser Symmetrie folgt dann das Spektrum des H-Atoms rein algebraisch d.h. ohne Lösung einer einzigen Differentialgleichung.

Eine gute Darstellung findest du unter http://www.phys.upb.de/~rauls/GT-seminar/M.Paluga_GruppeSO4.pdf

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Rani



Anmeldungsdatum: 26.11.2008
Beiträge: 17

Beitrag Rani Verfasst am: 19. Jul 2010 12:57    Titel: Antworten mit Zitat

hallo Zusammen,
ich stehe vor genau der gleichen Schwierigkeit wie der Threaderöffner damals. Ich denke aber, dass Dr.Blech und TomS die Frage falsch verstanden haben. Und zwar geht es gar nicht um einen Zustand mit n=1 und l=1 im H-Atom, sondern bei einem Mehrelektronenatom um zwei Elektronen mit beliebigem aber gleichem n, Gesamtspin S=1 und Gesamtbahndrehimpuls L=1 also n1P (Die 1 gehört eigentlich hochgestellt vor das P). Nun steht in der Tat z.B. im Demtröder Band 3 S.206, dass ein solcher Zustand nicht erlaubt ist aufgrund des Pauliprinzips. Aber der von golbi angegebene Zustand widerspricht ja gar nicht dem Pauli-Prinzip, da sich 2 Quantenzahlen unterscheiden und es ein n1P-Zustand ist. Wäre nett, wenn da noch jemand Licht ins Dunkel bringen könnte. Vielen Dank im Voraus,
Gruß Rani
Quantenmechaniker
Gast





Beitrag Quantenmechaniker Verfasst am: 19. Jul 2010 14:30    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn man zwei Elektronen mit s = 1/2 zu S = 1 koppeln möchte, so ergibt dies den Produktzustand



Damit wären die Elektronen im selben Zustand und das ist verboten. D.h. sie müssen sich bzgl. einer anderen Quantenzahl n,l,m unterscheiden
Rani



Anmeldungsdatum: 26.11.2008
Beiträge: 17

Beitrag Rani Verfasst am: 19. Jul 2010 16:11    Titel: Antworten mit Zitat

ja mist da hast du recht. Aber n1P heißt ja auch gar nicht S=1, sondern S=0 (die 1 heißt ja Singulett-Zustand), habe mich oben nur vertippt. Und da sind die Spins ja antiparallel...
Dr. von Rosenstein



Anmeldungsdatum: 12.08.2010
Beiträge: 1

Beitrag Dr. von Rosenstein Verfasst am: 12. Aug 2010 19:30    Titel: Antworten mit Zitat

schönen guten abend!

ich hab haargenau das gleiche problem, aber ich machs mal etwas konkreter, aber eins vorweg: die beiden ersten antworter haben wohl leider wirklich die frage falsch verstanden. um jetzt alles klar zu machen, es geht um folgende schreibweise:
http://de.wikipedia.org/wiki/Termsymbol

ich verzweifel gerade. ich bereite mich auf die diplomprüfung in ex vor und schau mir gerade das termschema von kohlenstoff an. im prinzip ist alles klar, nur scheinen ein paar zustände verboten zu sein und ich versteh nicht warum. was ich meine ist hier in dem bild unten zu sehen und in den 4 zeilen text darüber erklärt:

siehe bild unten oder hier:
http://books.google.de/books?id=xCif8kBEXp0C&lpg=PA359&ots=gmtclcqMR1&dq=termschema%20kohlenstoff&pg=PA359#v=onepage&q&f=false

also:
warum ist 1P1 nach pauli verboten? ich mein die ms werte sind doch bei dem einen elektron +1/2 und beim anderen -1/2. singulett eben. also verschiedene quantenzahlen und sollte doch damit erlaubt sein? oder ist das "oder" in der letzten zeile ein "exklusiv-oder"? also wenn ms verschieden ist MUSS ml gleich sein? stimmt das so? dann ginge der zustand tatsächlich nicht denn dann würde man nicht auf P kommen. logisch wäre das ja, denn dann wäre der ortszustand symmetrisch und spinzustand antisym. insgesamt also antisym wie es sein soll. denk ich so richtig?

3D ist klar warum der verboten ist: ms=+1/2 bei beiden und ml=+1. bzw beides minus.

aber was is mit 3S1? da ist ms gleich weil triplett. mit beiden ml=0 würde man zwar auf S kommen, aber nach pauli verboten. aber das eine ml könnte doch +1 und das andere -1 sein, dann ginge es. oder darf man +1 und -1 nicht besetzen ohne das ml=0 besetzt ist? wenn das so stimmt, dann versteh ich nicht warum sauerstoff einen 1S grundzustand hat. da is +1 doppelt besetzt und -1 auch doppelt aber 0 garnicht. oder?

narf, seit stunden rätsel ich rum und find keine lösung. hoffentlich kann mich wer von euch aufklären!

danke schonmal...



Kohlenstoff1.jpg
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Karmuk
Gast





Beitrag Karmuk Verfasst am: 21. Nov 2010 22:44    Titel: Antworten mit Zitat

Das Pauliprinzip verlangt das die Wellenfunktion von Fermion total antisymmetrisch ist. Das es keine 2 Fermionen gibt die in allen Quantenzahlen übereinstimmen ist eine Folgerung daraus, aber nur eine schwächere Forderung.

Der Term ist dann verboten weil:
S=0 führt auf eine antisymmetrische Spinwellenfunktion
L=1 führt auf eine antisymmetrische Ortswellenfunktion
ist symmetrisch, aber das Pauliprinzip verlangt für Elektronen eine antisymmetrische WeFu.

Zusatz: um die Symmetrie von Systemen gekoppelter Drehimpulse zu bestimmen hilft die Faustformel, das Wellenfunktionen zum maximalen Gesamtdrehimpuls symmetrisch ist und sich die Symmetrie mit abnehmenden Gesamtdrehimpuls immer abwechselt.
Beispiele:


für die ganzen anderen Verbotenen Terme funktioniert das genauso (wenn des schwache Pauliprinzip mit den übereinstimmenden Quantenzahlen erfüllt ist kann man sich die Symmetriebetrachtungen natürlich sparen)
SpinDoctor
Gast





Beitrag SpinDoctor Verfasst am: 11. Apr 2012 14:26    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für die Erklärung! Was mir noch unklar ist: Man kann also aus S ersehen, welche Symmetrie die Spinwellenfunktion hat? Ist also (symmetrisch) als Spinfunktion zu S=0 verboten, (asym.) aber erlaubt? Wieso?
SpinDoctor
Gast





Beitrag SpinDoctor Verfasst am: 11. Apr 2012 14:32    Titel: Antworten mit Zitat

Weil der symmetrische Zustand gar nicht zum Eigenwert S=0 gehört, sondern zum Eigenwert S=1?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 11. Apr 2012 15:10    Titel: Antworten mit Zitat

SpinDoctor hat Folgendes geschrieben:
Ist also



(symmetrisch) als Spinfunktion zu S=0 verboten,



(asym.) aber erlaubt?

Wieso?


Das ist nun genau das Spin-Statistik-Theorem, aus dem das Pauliprinzip folgt. Die Notation ist etwas trickreich, denn eigtl. sagt die Quantenstatistik, dass zwei verschiedene Elektronen eben gerade nicht getrennt betrachtet werden dürfen. Man kann also nicht sagen "das erste Elektron hat den Spin +1/2, das zweite Elektron hat den Spin -1/2", sondern nur "ein Elektron hat Spin +1/2, das andere den Spin -1/2". Daraus folgt die Notwendigkeit, die Zustände komplett zu symmetrisieren oder komplett antizusymmetrisieren. Damit verschwindet sozusagen die getrennte Identität der Elektronen, man hat einen verschränkten Zustand vorliegen.

Das Spin-Statistik-Theorem besagt, das Fermionensysteme (Bosonensysteme) komplett antisymmetrische (komplett symmetrische) Zustände sein müssen. Der symmetrisierte Zustand ist also für Fermionen verboten.

Beide Zustände wären übrigens Zustände zu S³=0, da die beiden Einzelspins ja antiparallel sind.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 11. Apr 2012 23:45, insgesamt einmal bearbeitet
SpinDoctor
Gast





Beitrag SpinDoctor Verfasst am: 11. Apr 2012 20:51    Titel: Antworten mit Zitat

Laut Demtröder 3 (und Schwabl QM1) ist der Betrag der Spins nur bei der oben zitierten asymmetrischen Spin-Funktion 0, bei der symmetrischen dagegen . Es handelt sich also nur bei der asymmetrischen um ein Singulett mit Gesamtspin 0. Und genau dieser Betrag des Gesamtspins wird ja durch den Eigenwert S beschrieben. Die z-Komponente des Spins (beschrieben durch die andere Quantenzahl ) ist natürlich in beiden Fällen 0. Der Professor hat bei uns in der Vorlesung großen Wert darauf gelegt, dass entgegengesetzte Spin-Komponenten entlang der z-Achse nicht bedeuten, dass der Gesamtspin vom Betrag her verschwindet.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 11. Apr 2012 23:49    Titel: Antworten mit Zitat

SpinDoctor hat Folgendes geschrieben:
Der Professor hat bei uns in der Vorlesung großen Wert darauf gelegt, dass entgegengesetzte Spin-Komponenten entlang der z-Achse nicht bedeuten, dass der Gesamtspin vom Betrag her verschwindet.

Ja, da hat der Professor recht - und ich habe den Fehler in meinem Nachsatz korrigiert.

Nochmal zum Spin-Statistik-Theorem: es hat im Kern nichts mit den Spins an sich zu tun. Die symmetrischen Zustände sind auch für Fermionen erlaubt, vorausgesetzt dass sie sich durch andere Eigenschaften als den Spin unterscheiden. Z.B. sind vollständig symmetrische Spinzustände im Wasserstoffatom bzgl. der zwei Spins für Elektron und Proton durchaus erlabut (da ja eben zwei verschiedene Teilchen vorliegen).

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SpinDoctor
Gast





Beitrag SpinDoctor Verfasst am: 12. Apr 2012 19:45    Titel: Antworten mit Zitat

Das Pauli-Prinzip für Fermionen gilt (in der Formulierung mit der asymmetrischen Gesamtwellenfunktion) für das System aus Proton und Elektron dann also nicht mehr, und auch symmetrische Gesamtwellenfunktionen sind erlaubt? Oder symmetrische Spinfunktionen?

Ich frage auch deshalb, weil sich in dem hier betrachteten Zustand (siehe Titel) ja durchaus zwei Quantenzahlen der einzelnen Elektronen unterscheiden, der Zustand aber trotzdem verboten ist, weil die Gesamtwellenfunktion notgedrungen symmetrisch anstatt antisymmetrisch wird.

Das Beispiel mit dem System aus Proton und Elektron wäre dann mit zwei "nichtäquivalenten" Elektronen vergleichbar, die sich in der Hauptquantenzahl n unterscheiden? Für die ist der Zustand ja erlaubt.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 12. Apr 2012 21:20    Titel: Antworten mit Zitat

Das Prinzip der Symmetrisierung sowie der Antisymmetrisierung gilt nur für identische Teilchen. Bei unterscheidbaren Teilchen (und Proton und Elektron sind unterscheidbar) gilt es nicht.

Konkret ist ja



wobei sich die Indizes 1 und 2 auf den ersten bzw. zweiten Hilbertraum für das erste bzw. zweite Teilchen beziehen. Aber das funktioniert für Proton und Elektron ja nicht, da diese in unterschiedlichen Hilberträumen leben; es ist sinnlos, das Elektron in den Protonen-Hilbertraum zu setzen.

In diesem Fall ist der Zustand



natürlich erlaubt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Ununterscheidbare_Teilchen

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SpinDoctor
Gast





Beitrag SpinDoctor Verfasst am: 12. Apr 2012 21:58    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, danke.
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