Unbestimmtheitsrelation

daniel2005 · Anmeldungsdatum: 10.12.2005 Beiträge: 24

Hallo Leute,

ich habe ein paar Fragen zur Unbestimmtheitsrelation:
1. Wir haben im Unterricht gesagt, dass der Impuls p= m *v auch für Elektronen gilt. Dann haben wir irgendwie den Begriff IMPULSUNSCHÄRFE, UNBESTIMMTHEIT und ÜBERLAGERUNG. Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Begriffen ist mir überhaupt nicht klar ??
2. Was heißt das den UNBESTIMMTHEIT EINES ORTES ?

Gruß

daniel2005

physstud · Anmeldungsdatum: 07.02.2009 Beiträge: 50 Wohnort: Schweiz

du kannst es dir so vorstellen: wenn du ein teilchen hast (möglichst ein kleines, denn desto grösser sind die unschärfen - salopp gesagt), dann kannst du nicht genau bestimmen wo es ist - erst wenn du es misst, siehst du es an einem bestimmten ort. solange du nicht misst, befindet es sich irgendwo rund um diesen ort mit einer bestimmten aufenthaltswahrscheinlichkeit, aber du kannst nicht exakt sagen, WO genau es ist. das nennt man ortsunschärfe. dazu kommt eine unschärfe im impuls, du kannst nicht genau sagen, wie schnell / mit welchem impuls sich das teilchen bewegt.
die heisenbergsche unschärferelation sagt genau dies aus:

je schärfer das eine, desto unschärfer das andere.

http://de.wikipedia.org/wiki/Unsch%C3%A4rferelation

schau dir mal diesen artikel näher an. es ist ein krasser gegensatz zur klassischen mechanik und nicht ganz einfach zu verstehen, teilchen sind plötzlich nicht mehr genau vorhersagbar bis in alle zeit, an welchem ort sie sein werden, sondern sie "verschmieren", sie sind "irgendwo dortherum" mit einer bestimmten wahrscheinlichkeit anzutreffen.

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Wichtig zu erwähnen ist glaube ich noch, dass es durchaus Größen (jaja Observable heißen die Zunge

) gibt, die zusammen scharf (also ohne Unschärfe = genau) gemessen werden können, z. B. Ort (in x-Richtung) und Impuls in y-Richtung oder beim Bahndrehimpuls eine Komponente und der quadrierte Betrag. Es ist eben nicht so, dass alles immer unscharf ist, sondern immer nur bestimmte (man nennt sie nicht-kommutierende) Größen. Zudem ist dieses Verhalten allgemeiner Natur, auch wenn es immer wieder speziell an irgednwelchen seltsamen Experimenten demonstriert wird.

Grüße, Wasilij

http://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle#Other_uncertainty_principles

daniel2005 · Anmeldungsdatum: 10.12.2005 Beiträge: 24

vielen dank.

und was hat das mit Überlagerungen zu tun ?

Wir haben gesagt, um einen gewissen Raum mit einer begrenzten Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bekommen, muss man mehere Wellen mit unterschiedlichen Impulsen überlagern.

=> WARUM ?

Gruß

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Hallo,

leider weiß ich nciht genau was euer Lehrer da macht (manchmal weiß ich nich mal was mein Lehrer da macht Big Laugh

)
Wenn es aber um Überlagerung (Superposition heißt das auf fachmännisch) ghet, dann kann man das hübsch am Doppelspalt erzählen: solange das Elektron auf den Doppelspalt zufliegt, befindet es sich in einer superposition aus den beiden zuständen

und

(Übrigens auch danach). Wenn man aber misst, durch welchen es denn tatsächlich geht, bricht dieser Zustand zusammen und er entscheidet sich (mit gewissen Wahrscheinlichkeiten, aber eben trotzdem unvorhersagbar) für einen der Zustände und damit für einen der Spalte. (Anschließend kann man zeigen, dass dann auch das Interferenzbild verschwindet Augenzwinkern

)
Meintest du das mit Überlagerung?
Grüße, Wasilij

daniel2005 · Anmeldungsdatum: 10.12.2005 Beiträge: 24

ok, also ich hab das so verstanden:

Der Auftreffort eines Elektrons ist ja im Universum völlig unbestimmt. Also man weis nie wo es auftrifft, wenn man es aus der ELektronenkanone rausschießt.
Nun , wenn man den Raum wo es Auftreffen könnte aber eingrenzen will, sodass man ungefähr vorhersagen kann, wo es landen wird, muss man mehrere Elektronen gleichzeitiglosschicken. Aber warum mit unterschiednlichen Impulsen ?

Aber warum erhöht sich die Auftreffwahrscheinlichkeit, wenn man die Wellen überlagern lässt ? Ist das einfachso festgestellt worden ohne Grund ?

Gruß

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich denke, was hier mit Überlagerung gemeint ist, hat erstmal nichts mit mehreren Elektronen zu tun.
Das Problem ist, dass z. B. ein einzelnes Elektron durch eine Welle beschrieben werden kann. Der Impuls hängt dabei direkt mit der Wellenlänge (bzw. dem Wellenvektor) zusammen. Wenn man jetzt eine Welle mathematisch hinschreiben würde, die überall nur einen bestimmten Wellenvektor hätte, dann wäre diese Welle unendlich weit ausgedehnt. Die hätte dann zwar einen scharfen Impuls, aber wäre auf keinen bestimmten Ort beschränkt. Allerdings wäre es eine Lösung der Schrödingergleichung, wenn auch ein Problem mit der Normierbarkeit einer solchen unendlichen ebenen Welle besteht, aber das ist noch ein anderes Thema.

Im Allgemeinen ist aber der Ort eines Elektrons ja nicht gänzlich unbestimmt. Z. B. sind manche ja in Atomen gebunden, etc. Als einfaches (eindimensionales) Modell schaut man sich dann erstmal ein sog. Wellenpaket an. Du kannst Dir das wie einen einzelnen Wellenberg vorstellen, der sich z. B. auf einem Seil bewegt, das Du nur einmal kurz ausgelenkt hast, oder vielleicht auch im Wasser. Da ist der Ort zwar auch nicht ganz genau bestimmt, weil so ein einzelner Wellenberg ja auch eine Länge hat, aber immerhin schon auf einen bestimmten Bereich beschränkt.
Wie kommt man aber auf so ein Wellenpaket? Wenn man sich mit Fourier-Transformation auskennt kann man feststellen, dass, wenn man unendlich viele ebene Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen überlagert, dass man dann so ein Wellenpaket bekommen kann. Das hat aber nichts mit mehreren Elektronen zu tun. Ein einzelnes Elektron wird dann durch eine Welle beschrieben, die eigentlich aus vielen unterschiedlichen ebenen Wellen besteht mit unterschiedlichen Wellenlängen und damit Impulsen.

Die Unschärferelation sagt in diesem Zusammenhang nur das aus, was man eigentlich auch schon aus der Fourier-Transformation kennt: Will man einen einzelnen Wellenberg haben, der in seiner Länge ("Ortsunschärfe") beschränkt ist, dann muss man viele ebene Wellen überlagern mit unterschiedlichen Wellenlängern (Impulsunschärfe). Wenn der Ort schärfer bestimmt sein soll, benötigt man Wellen mit einem größeren Bereich von unterschiedlichen Wellenlängen, also mit größeren unterschieden beim Impuls. Will man den Impuls schärfer haben, dann werden die Wellen automatisch eine längere räumliche Ausbreitung haben.

Das ist alles eigentlich erstmal sehr mathematisch und man kann es auch schon bei allen möglichen Wellen beobachten, z. B. Wasserwellen, etc. Die eigentliche Quantenmechanik kommt da nur rein, weil sie aussagt, dass ein einzelnes Teilchen als eine Wahrscheinlichkeitswelle beschrieben werden kann, dass das Teilchen erstmal also sich so verhält wie so eine Welle, bei einer Messung dann aber entsprechend der Welle eine bestimmte Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis hat. Wenn ich also bei so einem einzelnen Wellenberg auf dem Wasser eine Messung des Ortes durchführen würde, dann würde ich einen bestimmten Ort messen, der irgendwo in diesem Wellenberg liegt. Genauso kann ich den Impuls messen, der aber genau so unscharf ist, wie der Ort.

Diese mathematische Überlagerung von vielen ebenen Wellen (also die unendlich ausgedehnten) ist das, ist was er mit Überlagerung hier meint, denke ich. Allerdings ist das Konzept mit der Überlagerung in der Quantenmechanik noch deutlich allgemeiner. Das ist nur ein Beispiel, bei dem das Phänomen auch auftritt. Mit mehreren Elektronen wird das aber alles noch viel komplizierter, so mit Fermionen und Bosonen. Das ist also wieder ein anderes Thema.

Gruß
Marco

daniel2005 · Anmeldungsdatum: 10.12.2005 Beiträge: 24

ok super dank. Also Quantenphysik ist es, weil man dieses Wellenphänomen nur für ein Teilchen beobachtet hat ?

Gruß

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich verstehe Deinen Satz nicht so ganz.
Ich würde eher sagen: Quantenmechanik löst den Welle-Teilchen-Dualismus dadurch, dass es alle Teilchen, sowohl Photonen, als auch Elektronen, etc., als eine Wahrscheinlichkeitswelle beschreibt, die verschiedene Bedingungen erfüllen muss (z. B. bei der nicht-relativistischen Quantenmechanik die Schrödinger-Gleichung). So gesehen entstehen neue Objekte, die man als Quanten bezeichnen kann (oder dann halt wieder einfach Teilchen nennt), die alle beobachteten Phänomene zusammen erfüllen, also sowohl die Interferenzerscheinungen von massebehafteten Teilchen wie Elektronen erklären kann, wie auch die Teilcheneigenschaften des Lichts.
Und diese Beschreibung als Wahrscheinlichkeitswelle führt dann direkt auch zur Orts-Impuls-Unschärfe, was ein Spezialfall der Heisenbergschen Unschärferelation ist.

Gruß
Marco

daniel2005 · Anmeldungsdatum: 10.12.2005 Beiträge: 24

Hallo,

was ich noch nicht verstehe: wenn man bei dem Doppelspalt-Versuch mit Elektronen eine Messung durchführt, durch welchen Spalt das Elektron geht, dann tritt kein Interfernzmuster auf, sondern ein ganz normales Muster ( Summer der beiden Einzelspaltmuster).

ABER WARUM IST DAS SO ?

Gruß

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Also es gibt da ne Antwort, wo man n bissle rechnet, aber dann könntest du wieder fragen, warum rechnet man das so und ncih anders. In der Physik kannst du so für jede Theorie unbegründbare Grundannahmen finden.

Gerechnet wird so: Zustand unbekannten Spalt:

(

) sorgen dann für eine beliebig gewichtete Superposition der beiden Zustände (

), ihre genauen werte sind jezz egal)

Wahrscheinlichkeit, dass es am Ort x ankommt, ist der quadrierte Betrag des Zustands, das ist dann:

Ausgerechnet kriegt man dann Terme mit dem Quadrat der einzelnn Terme und ncoh so Mischterme.

Wenn man weiß, dass es z. B. Spalt 1 war, dann sieht der Zustand schon nur noch so aus:

. Das quadrirt ist dann nur noch son Quadratterm. Diese Mischterme treten nur bei der Summe auf (is ja mathematish klar), und diese werden eben als Interferenz interpretiert, und die Quadratterme als die Häufchen wie wenn mit klassischen Billardkugeln auf die Spalte ballern würde.

Wie gesagt, hier die Rechnung, ob du damit zufrieden bist, wage ich trotzdem zu bezweifeln (unter der hoffnungsvollen Voraussetzung, dass ich nirgednwo was vergessen hab Augenzwinkern

)

Grüße, Wasilij