Konvergenztoleranz

DaPhil · Anmeldungsdatum: 24.07.2008 Beiträge: 23

Hallo,
habe die Aufgabe bekommen, ein kleines Programm in Octave zu schreiben, welches mir den Wert einer Reihe berechnet. Es ist die Zeta-Funktion:

Ich habe gezeigt dass die Reihe konvergiert, aber nicht wogegen (sonst müsste ich ja auch kein Programm dafür schreiben...). Ich soll nun mit einer Toleranz von

den Wert der Reihe bestimmen, weiß aber nicht wie ich das machen soll, da ich ja gar keinen Grenzwert kenne! Mein erster Ansatz, den Abstand zweier aufeinander folgender Werte (also Partialsummen) kleiner als die Toleranz zu machen ist offensichtlich falsch. Hat jemand einen Tip für mich?

Herbststurm · Anmeldungsdatum: 05.09.2008 Beiträge: 412 Wohnort: Freiburg i. Brsg.

Hi,

die Riemannsche Zeta Funktion ist starker Tobak. Leibniz, die Jakob Brüder und Bernoulli sind daran gescheitert. Erst Euler schaffte den Durchbruch. Deswegen ist das auch das Verfahren, (nach ihm bennant) was du hier brauchen würdest.

Wie lautet denn die Eulersche Produktdarstellung für die Zeta Funktion?

Man kann das Pferd auch von der anderen Seite besatteln und die Aufgabe anders lösen. Wie lautet die Parseval'sche Gleichung und die Fourierkoeffizienten der Sägezahnfunktion? Das führt auch zum Ziel.

Mit der Zeta Funktion kann man die Verteilung von Primzahlen untersuchen smile

Noch als Anmerkung: Bei soetwas sollte man immer dazu angeben wovon man redet. Hier wäre Nennenswert in welchem Körper du dich begibst und das Wort Vergleichskriterium sollte mindestens einmal gefallen sein. Solche Kleinigkeiten rauben einem dann die Punkte auf den Übungen unglücklich

Gruß

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Da würde ich erst mal einfach vorschlagen, das Programm verschiedene solche Summen ausrechnen zu lassen und die Ergebnisse, die dabei herauskommen, anzuschauen, um ein Gefühl für den jeweiligen Restfehler zu bekommen.

Also zum Beispiel mal die Summe für die ersten 10 Glieder, die ersten 100, die ersten 1000, die ersten 10000, ... und mal sehen, was passiert.

Hagbard · Anmeldungsdatum: 07.02.2006 Beiträge: 320 Wohnort: Augsburg

Was ich machen würde wäre:

So oder so ähnlich sollte man doch in die Größenordnung des

kommen bis zu dem man aufsummieren muss, oder? Muss ich mir nacher nochmal überlegen.

Gruß

DaPhil · Anmeldungsdatum: 24.07.2008 Beiträge: 23

Also das ist eine Aufgabe eines Computational Physics Kurs, also keine Strenge Mathematik gefordert. Die ersten 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 Glieder habe ich schon berechnen lassen, damit ich sehe wogegen das ungefähr konvergieren könnte. Sind so ungefähr 2,6104. Aber das hilft mir ja auch nicht. So habe ich nur bemerkt, das mein anfänglicher Weg falsch war...

Hagbard · Anmeldungsdatum: 07.02.2006 Beiträge: 320 Wohnort: Augsburg

Also nach meiner Berechnung müsstest du 6,x * 10^10 Glieder aufsummieren. Das schafft der beste Rechenschieber nicht *g.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Magst du einfach noch ein bisschen weitermachen, um noch genauer zu sehen, wogegen das ungefähr konvergieren könnte?

Ich bin einverstanden, dass die Methode, die Summe dann abzubrechen, wenn der nächste Summand kleiner als 10^-5 geworden ist, noch eine deutlich zu kleine und zu ungenaue Zahl liefert. Aber damit weißt du schonmal, wie weit du allermindestest schon mal summieren musst. (Bei welchem n ist das bei dir der Fall?)

Magst du mal eine Tabelle machen, die deine Summen für n bis 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000, 1000000000, ... zeigt? Ab wann ist die hinzukommende Differenz durch den SChritt zur jeweils nächsten Zehnerpotenz kleiner als 10^-5 ? Das liefert dir eine Information, die sicher schon einmal eine viel, viel bessere Näherung für das wirkliche Ergebnis darstellt. Bis zu wievielen Zehnerpotenzen kannst du dabei mit noch machbaren Rechenzeiten gehen, und wie genau wird damit dein Gefühl für das wirkliche Ergebnis und seinen Restfehler?

DaPhil · Anmeldungsdatum: 24.07.2008 Beiträge: 23

Ok, die Aufgabe war wohl so gemeint das ich mir einen Literaturwert heraussuche (auf zirka 15 Nachkommastellen genau) und die Iterationen zähle, die ich brauche um auf 10^-5 ranzukommen. Leider finde ich nicht mal einen solch genauen Literaturwert. Hat da noch jemand einen Tip? In der Vorlesung war von einem Buch die Rede von Abramovich und Stegun, gibts bei uns aber leider nicht in der Bib und Online hab ich auch nichts gefunden...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Naja, Literaturwerte mit einer Genauigkeit wie

findest du ja vielleicht noch relativ leicht, und das gibt dir schonmal zumindest eine sinnvoll gerundete Möglichkeit, ein vorläufiges n zu bestimmen, bis du in deiner Unibibliothek ein passendes Buch findest, in dem die Zetafunktion genauer tabelliert ist.