Phasenvolumen

jentowncity · Anmeldungsdatum: 08.05.2005 Beiträge: 132 Wohnort: hamburg

Hallo an alle!
Habe folgendes Problem:
Ein Teilchen, das zwischen zwei reflektierenden Wänden

hin und her läuft hat im Phasenraum das Phasenvolumen (für klassische Mikrozustände)

Nun soll ich zeigen, dass V(E) konstant bleibt, wenn sich die Wand bei L langsam bewegt. grübelnd

Also irgendwie verstehe ich diese Aufgabe nicht so richtig. Was ist damit gemeint, dass sich die Wand langsam bewegt? Dass sie sich langsam hin und her bewegt? Oder, dass sie sich immer weiter bewegt? Dann würde aber das Phasenvolumen immer größer werden, da L immer größer wird...
Die Aufgabe muss ziemlich einfach sein, denn es gibt kaum Punkte dafür. Umso mehr ärgert mich das Hammer

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Hast du da vielleicht beim Überlegen das Phasenvolumen mit dem Volumen verwechselt?

Wenn sich die Wand zum Beispiel nach außen bewegt, dann wird dabei zwar das

und damit auch das Volumen größer, aber das heißt ja noch nicht, dass dabei auch das Phasenvolumen größer wird.

Denn ich würde erwarten, dass der Impuls des Teilchens kleiner wird, während sich die Wand nach außen bewegt.

Hilft das vielleicht schon etwas weiter?

jentowncity · Anmeldungsdatum: 08.05.2005 Beiträge: 132 Wohnort: hamburg

Es kann sehr gut sein, dass ich etwas übersehen hab...
Ich hab mir das folgendermaßen gedacht: es ist ja ein klassisches Teilchen, mit der Energie

.
Damit das Phasenvolumen konstant bleibt, muss sich der Impuls des Teilchens ändern, denn im Phasenraum ist die Fläche durch ein Rechteck gegeben, dessen eine Seitenlänge durch x gegben ist und die andere durch p. D.h. dass die Fläche nur konstant bleiben kann, wenn sich bei änderndem x auch p ändert. Bislang kann ich aber keinen qualitativen Zusammenhang zwischen diesen Größen herstellen...

Ich kann nichts mit dem Wort "langsam" anfangen. Sonst könnte man die Bewegung der Wand durch eine Geschwindigkeit ausdrücken. Dadurch bekommen meine Koordinaten x und p eine Zeitabhängigkeit, die sich aber letztenendes bezüglich des Phasenvolumens ausgleichen muss, was wiederum nach dem Louivillschen Satz klingt. Aber ich hab das alles noch nicht so ganz durchschaut...
Kann mir jemand noch einen Tip geben?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ein Vorschlag für eine mögliche Modellvorstellung für das Abnehmen des Impulses:

Wenn das Teilchen an der sich wegbewegenden Wand reflektiert wird, ist es nach jeder Reflexion etwas langsamer als vorher (Reflexion im Bezugssystem der bewegten Wand; etwas ganz ähnliches kennen wir ja auch vom Dopplereffekt).

Würde sich diese Wand ganz schnell bewegen, dann könnte man im Extremfall die Wand so schnell verschieben, dass das Teilchen die bewegte Wand während des Verschiebens gar nicht trifft, weil die Wand in der Zwischenzeit (nach weniger als einmal Hin- und Herfliegen) schon verschoben ist und wieder still steht. Deshalb muss die Wand langsam bewegt werden, damit das Teilchen dabei auch wirklich langsamer wird.

jentowncity · Anmeldungsdatum: 08.05.2005 Beiträge: 132 Wohnort: hamburg

Der Aufgabentext ist ziemlich kurz und uneindeutig:
"Ein Massepunkt bewegt sich längs der x-Achse zwischen zwei ideal reflektierenden Wänden bei x=0 und x=L.
a) Zeichnen Sie die Trajektorie

im Phasenraum.
b) Wie groß ist das Phasenvolumen V(E) für klassische Mikrozustände mit Energie kleiner (oder gleich) E?
c) Zeigen Sie, dass V(E) konstant bleibt, wenn sich die Wand bei L langsam bewegt.
d) Berechnen Sie quantenmechanisch die Anzahl der Zustände mit Energien kleiner oder gleich E."

Teilaufgabe d) ist einfach das Kastenpotential-Problem lösen. Es ergibt sich:

Wobei die Gleichheitszeichen jeweils als "Ungefähr-Zeichen" anzusehen sind wegen Unschärferelation...

Ich hab also (meiner Meinung nach) alles gelöst, außer c) Kotzen

Dank deiner Hilfe hab ich verstanden warum die Wand sich langsam bewegen muss.
Für die Berechnung des Phasenvolumens müsste ich bei einer sich bewegenden Wand die Grenzen im Integral ergänzen. Die Impulsänderung könnte ich, wie du gesagt hast, durch einen Doppler-Term ergänzen, aber wie komm ich auf die Ortsänderung? Da müsste ich doch eigentlich jeweils feste Zeitintervalle betrachten, damit ich dann die Ortsänderung durch die Geschwindigkeit mal Zeit berechnen kann.
Oder geht es irgendwie einfacher?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Okay, dann ist die Aufgabenstellung in der c) tatsächlich recht kurz formuliert. Ich würde empfehlen, sie so zu lesen, wie ich das bisher vorgeschlagen habe.

Magst du mal all die Variablen einführen, die du brauchst, um das zum Beispiel mit dem Modell der bewegten Wand und dem "Doppler-Term" für die Impulsänderung durchzurechnen?

Die Zusammenhänge, die du dann zum Rechnen brauchst, wie zum Beispiel die Beziehung zwischen Impulsänderung des Teilchens bei einer Reflexion und Geschwindigkeit der Wand, kannst du dir ja alle recht einfach aufstellen.

Wie weit kommst du damit schon in der c) ?

jentowncity · Anmeldungsdatum: 08.05.2005 Beiträge: 132 Wohnort: hamburg

Also die Impulsänderung bei einer Reflexion ist gegeben durch

, wenn die Wand sich nach rechts bewegt.
Aber irgendwie hab ich immer noch ein Brett vorm Kopf. Ich denke die ganze Zeit, dass das Ergebnis nach der Integration so aussehen muss:

und da V(E) gleich bleiben soll, müssen sich die drei neuen Terme wegheben und es muss also gelten:

Aber das wäre eine Lösung "hintenrum"... Wenn man voraussetzt, dass das Phasenvolumen gleich bleibt. Aber so, "von Vorne" seh ich irgendwie nicht, wie ich das

bestimmen kann. grübelnd

Hast du vielleicht noch einen Tipp für mich dermarkus?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Tipp: Gehe das ganze lieber von vorne an.

jentowncity · Anmeldungsdatum: 08.05.2005 Beiträge: 132 Wohnort: hamburg

Wie meinst du "nur den Betrag des Impulses" ? Es kommt doch darauf an, ob die Wand sich mit der Richtung des Teilchens bewegt, oder entgegen, das ergibt dann + oder - der Geschwindigkeit der Wand. Der Betrag wird dementsprechend größer oder kleiner...
Mein Problem ist noch: wann wird die Wand in Bewegung gesetzt? Wenn sie sich nämlich anfängt zu bewegen, nachdem das Teilchen daran reflektiert wurde, dann legt es schon eine Strecke zurück, ohne dass sich der Impuls geändert hat, was dann bedeuten würde, dass das Phasenvolumen nicht erhalten sein kann. Demnach müsste die Wand sich erst in Bewegung setzen, wenn das Teilchen ganz kurz davor ist. Sonst kann ich mir das irgendwie überhaupt nicht vorstellen wie das Phasenvolumen erhalten sein soll. Komischerweise blick ich diese Aufgabe nicht durch.
Wahrscheinlich denke ich zu kompliziert, aber im Moment fällt mir echt nichts ein... Hilfe

smn · Anmeldungsdatum: 08.06.2007 Beiträge: 25

Hi jentowncity,
ich habs "vorwärts" gerechnet und genau dein Ergebnis bekommen:
Bedingung für Delta L :

Delta L = v (Wand) * t

mit t = [ L + Delta L ] / v (Teilchen) = m [ L + Delta L ] / Sqrt[2 m E]

Also ist t die Zeit bis das Teilchen von Null aus die Wand erreicht, die Wand bewegt sich natürlich die ganze Zeit!
Mit deinem Delta p kommt das genau hin,
Danke! Prost

jentowncity · Anmeldungsdatum: 08.05.2005 Beiträge: 132 Wohnort: hamburg

Hi smn,
danke für deine Tipps! Jetzt kommt alles hin Prost