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munich
Anmeldungsdatum: 04.02.2006
Beiträge: 255
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 munich Verfasst am: 04. Jun 2008 16:12 Titel: Hellmann-Feynman-Theorem |
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Hey Leute,
meine Aufgabe:
Beweise das Theorem \right| \frac{\partial}{\partial \lambda} H(\lambda)\left| \psi(\lambda)\right>=\frac{\partial}{\partial \lambda}E(\lambda))
Wobei gilt:
\left| \psi(\lambda)\right>=E(\lambda)\left| \psi(\lambda)\right>)
 | \psi(\lambda)\right> =1)
\right| H=\left< \psi(\lambda)\right| E(\lambda))
Gut, ich hab bisher folgendes, mit der Produktregel:
\right| H(\lambda)\left|\psi(\lambda)\right>=\frac{\partial}{\partial \lambda}E(\lambda)\cdot\left< \psi(\lambda) | \psi(\lambda)\right>+E(\lambda)\cdot\left<\psi(\lambda)\right|\frac{\partial}{\partial\lambda} \left| \psi(\lambda)\right>)
Naja, der erste Teil der Summe ist ja schon das gewünschte Ergebnis, denn das Skalarprodukt der psi gibt ja 1. Nun müsste ich noch zeigen/begründen, dass der zweite Teil der Summe 0 wird...
Könnt ihr mir da weiterhelfen?
thx,
munich  |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 04. Jun 2008 17:17 Titel: |
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| Zitat: | | Naja, der erste Teil der Summe ist ja schon das gewünschte Ergebnis, denn das Skalarprodukt der psi gibt ja 1. |
Das sehe ich anders. Schau noch mal genau, was Du beweisen sollst.
Am einfachsten ist der Beweis, wenn Du als erstes einen Ausdruck für E findest, also E=...
Diesen leitest Du dann ab. Magst Du das erstmal versuchen.
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Es irrt der Mensch, solang' er strebt.
Johann Wolfgang von Goethe |
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jhm
Anmeldungsdatum: 06.05.2008
Beiträge: 73
Wohnort: Münster
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| jhm Verfasst am: 04. Jun 2008 18:34 Titel: |
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Warum um den heißen Brei herumtanzen?
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Gravitation cannot be held responsible for people falling in love.
Albert Einstein |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 04. Jun 2008 18:41 Titel: |
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Er wird schon wissen, warum er fragt.
Den Beweis findet man natürlich sehr schnell im Internet.
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Es irrt der Mensch, solang' er strebt.
Johann Wolfgang von Goethe |
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munich
Anmeldungsdatum: 04.02.2006
Beiträge: 255
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| munich Verfasst am: 05. Jun 2008 15:03 Titel: |
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Hmm,
wo liegt denn bei mir der Fehler?
Ich bin ausgegangen von:
|\frac{\partial}{\partial \lambda}H(\lambda)|\psi(\lambda)>=\int dx \psi^\ast (x,t,\lambda)\frac{\partial}{\partial \lambda}\psi(x,t,\lambda)=)
\frac{\partial}{\partial\lambda}E(\lambda)\psi(x,t,\lambda)=)
 E(\lambda)\frac{\partial}{\partial\lambda}\psi(x,t,\lambda)+\int dx \psi^\ast (x,t,\lambda)\left( \frac{\partial}{\partial\lambda}E(\lambda)\right) \psi(x,t,\lambda)=)
<\psi(\lambda)|\psi(\lambda)>+E(\lambda)<\psi(\lambda)\frac{\partial}{\partial \lambda}|\psi(\lambda)>=)
+E(\lambda)<\psi(\lambda)|\frac{\partial}{\partial\lambda}|\psi(\lambda)>)
Ich hab eigentlich nur die Produktregel angewendet und die Integrale dann getrennt berechnet...
Darf ich vielleicht die Ableitung von E nicht vors Integral ziehen? Aber E ist ja keine Funktion von x, also bezüglich der Integration eine Konstante...
thx,
munich |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 05. Jun 2008 15:56 Titel: |
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Das ist nicht falsch, sondern nur die eine Seite der Medaille.
| munich hat Folgendes geschrieben: | Hmm,
wo liegt denn bei mir der Fehler?
Ich bin ausgegangen von:
|\frac{\partial}{\partial \lambda}H(\lambda)|\psi(\lambda)>) |
Das ist Ok. Setze diesen Ausdruck noch mit ) gleich. Es gilt ja schließlich 
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Es irrt der Mensch, solang' er strebt.
Johann Wolfgang von Goethe |
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munich
Anmeldungsdatum: 04.02.2006
Beiträge: 255
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| munich Verfasst am: 05. Jun 2008 16:14 Titel: |
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Mal ne Frage dazu, wenn ich dastehen hab  , bezieht sich die Ableitung dann nur auf das H oder muss ich die Produktregel für H und das rechte psi anwenden?
Nach der Integralschreibweise würde ich sagen ganz klar die Produktregel, aber in dem Beweis auf Wiki lief das anders...
Naja, wenn ich das bei meiner Rechnung jetzt gleichsetze bekomme ich:
Hmm, bring ich eines auf die andere Seite:
Naja, wenn das minus ein plus wäre wäre ich mit der Produktregel fertig. Hab ich da nen Vorzeichenfehler oder nen ganz anderen?
thx |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 05. Jun 2008 16:56 Titel: |
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Ok, mal der Reihe nach:
Für Deinen Beweis steht jetzt alles da, abr Du scheinst nicht den Überblick zu haben. Du machst folgendes:
 = \partial_\lambda (H\vert\psi\rangle)\\ \Rightarrow\; \langle\psi\vert \partial_\lambda (E\vert\psi\rangle) = \langle\psi\vert \partial_\lambda (H\vert\psi\rangle))
Wenn Du da jetzt Produktregel anwendest, steht das gewünschte da. Du musst einmal ausnutzen, dass H selbstadjungiert ist.
| munich hat Folgendes geschrieben: | Mal ne Frage dazu, wenn ich dastehen hab , bezieht sich die Ableitung dann nur auf das H oder muss ich die Produktregel für H und das rechte psi anwenden?
Nach der Integralschreibweise würde ich sagen ganz klar die Produktregel, aber in dem Beweis auf Wiki lief das anders... |
Das kommt darauf an, wie Du es meinst. Ohne Klammern bezieht sich die Ableitung formal auf das nebenstehende. Abr z.B. auf Wiki ist die Ableitung des gesamten Terms rechts der Ableitung gemeint. Daher ja auch die Produktregel.
| munich hat Folgendes geschrieben: | Naja, wenn ich das bei meiner Rechnung jetzt gleichsetze bekomme ich:
Hmm, bring ich eines auf die andere Seite:
Naja, wenn das minus ein plus wäre wäre ich mit der Produktregel fertig. Hab ich da nen Vorzeichenfehler oder nen ganz anderen?
thx |
Vergleiche das mal mit der Rechnung oben.
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