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munich
Anmeldungsdatum: 04.02.2006
Beiträge: 255
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 munich Verfasst am: 11. Mai 2008 15:44 Titel: Projektionen |
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Hey Leute,
ich hoffe ihr könnt mir hier etwas weiterhelfen:
Also, es geht um orthogonale Projektionen im Hilbertraum.
Es soll gelten: 
Naja, die  spannen ja einen Unterraum des Hilbertraums auf.
a) Jetzt soll ich zeigen, dass  hermitesch ist.
Naja, also ist zu zeigen: 
Hmm, damit ist der selbstadjungierte Operator gleich dem Inversen des Operators, aber das ist ja nicht die Definition, die ich suche... Könnt ihr mir da weiterhelfen?
b) Außerdem ist zu beweisen: 
Naja, das ist sehr komisch. Mal rein logisch gesehen, wenn ich zweinmal auf einen Vektor |u> anwende dann bekomme ich doch wieder den Vektor |u>. Denn erst bilde ich |u> auf |u_a> ab und dann wieder |u_a> auf |u>. Dann ist aber P_a^2 nicht P_a, sondern die Identität...
Rechnerisch:
Was mache ich da falsch?
thx,
munich |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 12. Mai 2008 02:53 Titel: |
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Du tust so, als sei die Projektion eines Vektors auf eine Richtung etwas, was Mathematiker eine bijektive Abbildung nennen würden. Du nimmst also aus irgendeinem Grund fälscherweise an, die inverse Operation zum Bilden einer Projektion wäre etwas eindeutiges.
Magst du dir mal aufmalen, was die Projektion des Vektors (2,1) auf die x-Achse ist? ( (2,1) meine ich dabei als Vektor mit x- und y-Komponente, also einen in der zweidimensionalen Zeichenebene auf deinem Blatt Papier). Welche anderen Vektoren haben genau dieselbe Projektion auf die x-Achse wie dieser Vektor?
Ist die Projektions-Operation also tatsächlich etwas, das man eindeutig in eine inverse Operation umkehren kann? |
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munich
Anmeldungsdatum: 04.02.2006
Beiträge: 255
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| munich Verfasst am: 12. Mai 2008 10:17 Titel: |
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Ja, das is mir jetzt auch aufgefallen, ich reduzier ja auch die Dimension des Vektors, also verlier ich die Informationen der anderen Dimensionen.
Wie ist denn der adjungierte Operator da definiert? Ich kenn ihn nur in einem Skalarprodukt: 
Aber hier hab ich ja kein Skalarprodukt... Wie ist der adjungierte Operator dann definiert wenn ich ihn nur auf einen Vektor anwende?
Bei der b) ist mir mein Denkfehler schon aufgefallen:
Denn |u_a> wird ja auf sich selbst abgebildet...
thx,
munich |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 12. Mai 2008 10:58 Titel: |
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| munich hat Folgendes geschrieben: | Ich kenn ihn nur in einem Skalarprodukt:
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Magst du mal versuchen, genau das zu verwenden?
Wenn ein hermitescher Operator  im Hilbertraum
bedeutet, magst du das dann mal für den Fall überprüfen, dass  der zu projizierende Vektor und  das Ergebnis der Projektion von durch den Operator ist?
Was hat ein inneres Produkt mit Projizieren zu tun? Für zwei ganz allgemeine Vektoren u_1 und u_2, spielt es eine Rolle für das Skalarprodukt, ob man den einen oder den anderen dieser Vektoren durch den Projektionsoperator auf dessen Projektions-"Eigenachse" projiziert, bevor man das Skalarprodukt bildet?
| munich hat Folgendes geschrieben: |
Bei der b) ist mir mein Denkfehler schon aufgefallen:
Denn |u_a> wird ja auf sich selbst abgebildet...
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Einverstanden  |
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munich
Anmeldungsdatum: 04.02.2006
Beiträge: 255
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| munich Verfasst am: 12. Mai 2008 13:03 Titel: |
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Also,
ich bekomme dann:
Okay, das sollte passen...
Aber woher weiß ich denn welchen bra Vektor ich nehmen muss oder ist mir das einfach überlassen, was mir grad weiterhilft? Hat das keinen physikalischen Hintergrund, den ich da beachten muss?
| Zitat: | | Für zwei ganz allgemeine Vektoren u_1 und u_2, spielt es eine Rolle für das Skalarprodukt, ob man den einen oder den anderen dieser Vektoren durch den Projektionsoperator auf dessen Projektions-"Eigenachse" projiziert, bevor man das Skalarprodukt bildet? |
Hmm, ich schätze mal es spielt keine Rolle, denn das haben wir ja eigentlich gerade gezeigt...
Wenn ich mir das mal im R^3 Vorstelle, da könnte ich ja zwei beliebige Vektoren nehmen und einen davon in eine Ebene, also einen Unterraum projizieren. Dann wäre es wohl vom Winkel her egal welchen ich nehme, aber wie schaut es mit den Beträgen aus? Ich bekomme ja dann ) .Oder gilt das ganze nur wenn der Unterraum von Eigenvektoren der Projektion aufgespannt wird?
thx,
munich |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 12. Mai 2008 13:08 Titel: |
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| munich hat Folgendes geschrieben: | Also,
ich bekomme dann:
Okay, das sollte passen...
Aber woher weiß ich denn welchen bra Vektor ich nehmen muss oder ist mir das einfach überlassen, was mir grad weiterhilft? Hat das keinen physikalischen Hintergrund, den ich da beachten muss?
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Das war nur ein Spezialfall, aber wenn du mal versuchst, dir den grafisch vorzustellen, könnte der dir für die Anschauung schon mal helfen, ein Gefühl für die Sache zu bekommen.
| Zitat: |
Hmm, ich schätze mal es spielt keine Rolle, denn das haben wir ja eigentlich gerade gezeigt...
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Nein, was wir bisher gezeigt haben, ist nur ein Spezialfall davon.
| Zitat: |
Wenn ich mir das mal im R^3 Vorstelle, da könnte ich ja zwei beliebige Vektoren nehmen und einen davon in eine Ebene, also einen Unterraum projizieren.
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Tipp: Stell dir lieber ein Projektion auf einen Unterraum vor, der eine Gerade ist, das entspricht unserer Fragestellung noch besser. Kommst du dann konkret mit Vektorrechnung und gerne auch mit Veranschaulichung dieser Vektorrechnung durch Zeichnungen zum Ziel? |
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