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coolercooper
Anmeldungsdatum: 16.02.2007
Beiträge: 12
Wohnort: München
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 coolercooper Verfasst am: 10. März 2008 21:42 Titel: Äquipartitionstheorem |
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Hallo zusammen!
Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:
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Man nehme an, eine Punktmasse der Größe m sei elastisch an einen Punkt gebunden und kann sich nur in einer Dimension bewegen. Der Mikrozustand des Balls wird beschrieben durch seine Position  und seine Geschwindigkeit  . Seine Gesamtenergie ist
\qquad E(x,v)=1/2(mv²+kx²)\;,)
wobei  die Federkonstante sei.
(a) Ausgehend von der Boltzmann-Verteilung (Wahrscheinlichkeit, das System in einem Zustand mit der Energie  zu finden ist proportional zu
\qquad \exp\left(-\frac{E}{k_B T}\right)\;,)
wobei  die Boltzmann-Konstante ist) finde man die mittlere Energie  als Funktion der Temperatur (Hinweise:
\qquad\int_{-\infty}^\infty \exp(-x^2)\,{\rm d}\,x=\sqrt\pi)
und
\qquad\int_{-\infty}^\infty x^2\exp(-x^2)\,{\rm d}\, x=\frac{\sqrt\pi}{2}\;.) )
(b) Wie Teilaufgabe (a) für einen Massepunkt, der sich in drei Dimensionen bewegen kann.
__________________
Bei Teilaufgabe (a) habe ich zunächst mal die Boltzmann-Verteilung normiert, wobei ich als Normierungskonstante
\qquad 1/(k_BT))
erhalte. Damit dann das Integral
\qquad \int_0^\infty E\exp\left(-\frac{E}{k_BT}\right)\,{\rm d}\, E)
berechnet, wobei ich irgendwie die konkrete Formel (1) für die Energie
überhaupt nicht (!!) gebraucht habe. Das Ergebnis ist dann  . Es sollte ja aber  herauskommen, da es sich ja um nur einen Freiheitsgrad handelt. Ein weiterer Punkt, der mich stutzig gemacht hat, ist die Tatsache, daß ich die Integrale in den Hinweisen garnicht gebraucht habe, sondern andere. Wie soll man denn hier vorgehen um zu berechnen?
Bin für jeden Tipp und Hinweis dankbar!
Gruß,
Markus[/b]
Zuletzt bearbeitet von coolercooper am 11. März 2008 11:17, insgesamt einmal bearbeitet |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 11. März 2008 00:17 Titel: Re: Äquipartitionstheorem |
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| coolercooper hat Folgendes geschrieben: | und wo dann herauskommt. Es sollte ja aber  herauskommen, da es sich ja um nur einen Freiheitsgrad handelt.
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Dein von dir berechnetes Ergebnis entspricht dem, was ich erwarten würde, denn Schwingungsfreiheitsgrade zählen für die Berechnung der Energie doppelt 
(Denn wie deine Berechnung ja auch zeigt, stecken in einem Schwingungsfreiheitsgrad sowohl einmal die kinetische Energie des Teilchens als auch einmal die potentielle Energie der Feder drin.)
| Zitat: |
Ein weiterer Punkt, der mich stutzig gemacht hat, ist die Tatsache, daß ich die Integrale in den Hinweisen garnicht gebraucht habe, sondern andere. Wie soll man denn hier vorgehen um zu berechnen?
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Das spricht für dich, dass du dann trotzdem erfolgreich durch diese Berechnung durchgekommen bist
Wenn du magst, kannst du ja mal deine Berechnung zu (5) und (6) ausführlich zeigen, ich vermute, wenn wir die dabei auftretenden Integrale dann ein bisschen umschreiben, dann kann man sie auch direkt mit den Angaben aus dem Hinweis lösen. |
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coolercooper
Anmeldungsdatum: 16.02.2007
Beiträge: 12
Wohnort: München
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| coolercooper Verfasst am: 11. März 2008 11:25 Titel: |
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Hallo!
Danke schon mal für die Antwort! Ich habe leider in meiner ursprünglichen Frage einen wichtigen Punkt vergessen, nämlich, daß ich die konkrete Formel (1) überhaupt nicht gebraucht habe! Ich habe das oben mal kurz korrigiert. Also das hat mich stutzig gemacht und eben die Tatsache, daß ich die angegebenen Integrale nicht gebraucht habe.
Erstmal die Normierung:
\,{\rm d}\,E=\left[-k_B T\exp\left(-\frac{E}{k_B T}\right)\right]_0^\infty=k_B T\;\iff\;A=\frac{1}{k_B T}\;.)
Und damit dann den Mittelwert:
\,{\rm d}\,E=A\left[(k_B T)^2\exp\left(-\frac{E}{k_B T}\right)\left(-\frac{E}{k_B T}-1\right)\right]_0^\infty=A(k_B T)^2=k_B T\;.)
Für (b) hätte ich dann gesagt, daß logischerweise
sein müßte, aber ich bezweifle eben immer noch das Ergebnis aus Teilaufgabe (a).
Hat noch jemand einen Vorschlag?
Gruß,
Markus |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 11. März 2008 12:58 Titel: |
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Ich glaube, da hast du mit sofort Normieren und Mittelwert bilden sogar einen Lösungsweg gefunden, der kürzer und eleganter ist als der Lösungsweg, den sich der Aufgabensteller gedacht hatte.
Denn ich denke, wenn man erstmal die Energie (1) einsetzt und dann anfängt, zu normieren und den Mittelwert zu bilden, dürften die Integrale ein bisschen komplizierter auszuwerten sein (und Angaben wie die Hinweise erfordern), sollten aber letztendlich auf dasselbe Ergebnis führen. |
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coolercooper
Anmeldungsdatum: 16.02.2007
Beiträge: 12
Wohnort: München
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| coolercooper Verfasst am: 11. März 2008 21:23 Titel: |
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Hallo!
Ok, also denkst du wirklich, daß die Lösung kT ist und nicht 1/2 kT, oder?
| dermarkus hat Folgendes geschrieben: | | Ich glaube, da hast du mit sofort Normieren und Mittelwert bilden sogar einen Lösungsweg gefunden, der kürzer und eleganter ist als der Lösungsweg, den sich der Aufgabensteller gedacht hatte. |
Hast du denn eine Idee, an welchen Lösungsweg der Aufgabensteller da dachte? Oder hat noch irgendwer eine Idee dazu?
Zugegebenermaßen kommen in der Quelle, aus der die Aufgabe ist öfter mal so zweifelhafte Aufgabenstellungen vor, die etwas verwirren. Also kann schon sein, daß das so tatsächlich richtig ist, auch wenn ich es mir immer noch nicht vorstellen kann, daß man die explizite Formel für die Energie für das konkrete Problem überhaupt nicht braucht!
Gruß,
Markus |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 12. März 2008 01:55 Titel: |
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| coolercooper hat Folgendes geschrieben: |
Hast du denn eine Idee, an welchen Lösungsweg der Aufgabensteller da dachte? |
Na, ich denke mal, erst (1) in (2) einsetzen und dann erst normieren und mitteln. Wenn ich das richtig sehe, gibt das gerade solche Integrale in und von der Form, wie sie in (3) und (4) angegeben sind. |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 12. März 2008 10:13 Titel: |
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Irgendwie fehlt in der Aufgabenstellung die eigentliche Aufgabe oder habe ich sie nur uebersehen ? Solltest du die mittlere Gesamtenergie oder die mittlere kinetische und die mittlere potentielle Energie ausrechenen ?
Im zweiten Fall brauchst du die Integrale schon.
edit: Das System hat uebrigens zwei Freiheitsgrade: Ort und Impuls bzw. Ort und Geschwindigkeit. Das Aequipartitionstheorem besagt ja gerade dass Freiheitsgrade, welche quadratisch in die Hamiltonfunktion eingehen eine mittlere kinetische energie von 1/2kT haben.
edit2: Okay <E> war gesucht. Habe ich jetzt gefunden. sry
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Der Horizont vieler Menschen ist ein Kreis mit Radius Null - und das nennen sie ihren Standpunkt.
Zuletzt bearbeitet von sax am 12. März 2008 17:50, insgesamt einmal bearbeitet |
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coolercooper
Anmeldungsdatum: 16.02.2007
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| coolercooper Verfasst am: 12. März 2008 14:21 Titel: |
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Hallo!
| sax hat Folgendes geschrieben: | | Irgendwie fehlt in der Aufgabenstellung die eigentliche Aufgabe oder habe ich sie nur uebersehen? |
Ja, sieht so aus, denn ich habe geschrieben
| coolercooper hat Folgendes geschrieben: | [...] finde man die mittlere Energie  als Funktion der Temperatur. |
Aber ich werde das jetzt einfach ein zweites Mal berechnen mit den zuletzt von dermarkus gegebenen Hinweisen und dann sehen wir ja, ob wirklich wieder das gleiche herauskommt. Wenn nein, habe ich ein Problem, wenn ja, dann war das eine nette Rechenübung.
Gruß,
Markus |
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coolercooper
Anmeldungsdatum: 16.02.2007
Beiträge: 12
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| coolercooper Verfasst am: 16. März 2008 09:54 Titel: |
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Hallo nochmal,
also es kommt auch für die andere Methode, das durchzurechnen kT heraus und nicht die Hälfte davon! Bin also überzeugt, dass diese Lösung richtig ist. So braucht man natürlich auch die beiden angegebenen Integrale.
Gruß,
Markus |
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