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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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 Gargy Verfasst am: 31. Jan 2008 15:55 Titel: Schrödinger-Gleichung-Problem |
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Hallo, ich muss mal noch eine Frage stellen, weil ich überhaupt nicht weiß, wie ich anfangen soll
Gegeben habe ich das Potential des harmonischen Oszillators
=\frac{1}{2}m \omega_{0}²x²)
Teilchenmasse  , Eigenfrequenz 
Die Funktion
=Axe^{- \alpha x²} )
ist eine Lösung der Schrödinger-Gleichung. Welchen Wert muss  haben?
Das klingt gar nicht so schwer, nur - wie fange ich an?  |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 31. Jan 2008 15:57 Titel: |
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Stelle doch erstmal die Schrödinger-Gleichung auf. Einmal die allgemeine Formulierung und dann mit dem Potential des harm. Oszillators. Dann sieht man auch, was zu tun ist. |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 31. Jan 2008 16:06 Titel: |
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Schrödinger allgemeine
 \Psi = i h \frac{ \partial}{\partial t} \Psi)
mit eingesetztem Potential
 \Psi = i h \frac{ \partial}{\partial t} \Psi)
Und jetzt? |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 31. Jan 2008 18:26 Titel: |
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Die Schrödinger-Gleichung ist richtig. Es reicht aber, die zeitunabhängige Variante zu betrachten. Wie lautet diese? |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 31. Jan 2008 18:40 Titel: |
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| Gargy hat Folgendes geschrieben: | Schrödinger allgemeine
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Da fehlt natürlich das  , wobei es auch ein h-quer sein soll, aber ich nicht weiß, wie ich das hier mache.
Die zeitunabhängig... hm, da wird wohl die partielle Zeitableitung einfach 0 sein.
 \Psi = 0)
Das hatte ich vorhin mal probiert. Ich habe das Potential eingesetzt, die Wellenfunktion 2x abgeleitet und dann alles nach aufgelöst.
Das ergab eine quadratische Gleichung für , die folgendermaßen aussah
Aber das erscheint mir reichlich kompliziert, wewegen ich mal davon ausgehe, dass etwas falsch ist.
Wie hätte ich sonst vorgehen können? |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 31. Jan 2008 18:49 Titel: |
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Nee, die zeitunabhängige lautet
oder im Fall des harm. Oszillators
 ,
da man ja ein diskretes Spektrum hat. Nun hast Du ein  gegeben. Kannst Du rausfinden, zu welchem n das passt? Und kennst du die Eigenwerte des harm. Oszillators?
Kleine Bemerkung: Mach Dir bei Gelegenheit unbedingt klar, was die zeitabhängige und zeitunabhängie Schrödinger-Gleichung eigentlich aussagt. Da steckt viel Physik hinter. |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 31. Jan 2008 18:58 Titel: |
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| mitschelll hat Folgendes geschrieben: | Nee, die zeitunabhängige lautet
oder im Fall des harm. Oszillators
,
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Oh, oh 
Warum ist die jetzt zeitunabhängig? Steckt das da irgendwo drin? Sieht doch aus wie die normale...  großes Defizit |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 31. Jan 2008 19:12 Titel: |
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Das würde über die Aufgabe hinaus gehen.
Und, weißt Du welches n zu deiner gebenen Funbktion passt? |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 31. Jan 2008 19:19 Titel: |
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ok, dann guck ich mir das an.
Welches n? Nein, keine Ahnung. Ich müsste raten und würde auf n=1 tippen |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 31. Jan 2008 19:22 Titel: |
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Stimmt. Aber das kannst Du ablesen, wenn Du Dir die Eigenfunktionen des harm. Oszillators anschaust. Deine Funktion ist proportional zu x. Nur die Lösung für n=1 ist prop. zu x. Allgemein sind die Lösungen prop zu  .
Welche Energie hat der harm Oszillator für n=1?
Zuletzt bearbeitet von mitschelll am 31. Jan 2008 19:27, insgesamt einmal bearbeitet |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 31. Jan 2008 19:24 Titel: |
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Ich ähm, weiß nicht. Wo ist denn überhaupt ein n in meiner Gleichung? |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 31. Jan 2008 19:28 Titel: |
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)
?? |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 31. Jan 2008 19:36 Titel: |
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Genau.
Nochmal zu n=1. Du sollst das in der gegebenen Funktion
 bestimmen. Zusätzlich hast du die Information, dass  eine Lösung ist des harm. Oszillators ist. Jetzt kannst Du mit den allgemeinen Lösungen des harm. Oszillators vergleichen. Entweder schaut man in ein Buch über Quantenmechanik oder man sucht im Internet. Da sind dann Lösungen für verschiedene n angegeben. Dann sieht man, dass die Lösungen prop. zu sind. Also muss deine Lösung eine Lösung zu n=1 sein.
Nun setzt zu den Energieeigenwert zu n=1,  und deine Lösung in die stationäre SG ein. |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 31. Jan 2008 19:45 Titel: |
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Damit Du nicht die Lust verlierst. Wenn Du richtig rechnest, das heißt zweimal ableiten, einsetzen und zusammenfassen, kommt da
\psi+\frac{m\omega^2_0}{2}x^2\psi=(\frac{3}{2}\hbar\omega_0)\psi)
raus. Nun musst Du das so bestimmen, dass links und rechts dasselbe steht.
edit: Ich habe das letzte ganz rechts vergessen. Jetzt stehts aber da. |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 01. Feb 2008 11:40 Titel: |
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Die Lust kann ich ja gar nicht verlieren... das ist doch schließlich wichtig. Nach einigem hin und her bin ich sogar drauf gekommen und hab's auch mit einem Buch verglichen
Hey, wie macht man eigentlich dieses h mit einem Strich? Das konnte ich nicht finden. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 01. Feb 2008 11:59 Titel: |
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| Gargy hat Folgendes geschrieben: |
Hey, wie macht man eigentlich dieses h mit einem Strich? Das konnte ich nicht finden. |
Das h quer macht man so:
Danke für den Tipp, ich habs mal in unserer Latex-Kurzbeschreibung hinzugefügt  |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 01. Feb 2008 13:29 Titel: |
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| Gargy hat Folgendes geschrieben: | Nach einigem hin und her bin ich sogar drauf gekommen und hab's auch mit einem Buch verglichen
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Einverstanden
Man kann diese Aufgabe übrigens auch lösen, ohne vorher durch Nachschlagen herausgefunden zu haben, was das  sein muss. Wenn man alles einfach nur mit rechnet, bekommt man am Ende die Gleichung
}_{=0} x^2 = \underbrace{E- 3 \frac{\hbar^2}{m}\alpha}_{=0})
, deren linke Seite von  abhängt und die rechte Seite nicht; also ist diese Gleichung genau dann erfüllt, wenn die beiden unterklammerten Terme Null sind. Daraus bekommt man dann also sowohl das als auch das . |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 01. Feb 2008 13:59 Titel: |
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Ah, ok danke schön!  |
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