Lorentztransformation

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

Ich habe das Thema in den Bereich Astronomie geordnet, da die Lorentztransformation die Grundlage der SRT darstellt und die SRT eine sehr wichtige Theorie in der Astronomie ist, weshalb ich hoffe, dass ich hier richtig bin.

Ich habe im Internet eine vereinfachte "Herleitung" (eine echte Herleitung gibt es nicht) zur Lorentztransformation gefunden, die wie mir scheint an einer Stelle gegen die Relativitätstheorie, welche sie zu Grunde legt verstößt.

Dieses Problem tritt in folgendem Link unter dem Kapitel "Gleichzeitigkeit in I', von I aus betrachtet"

Dort dividiert der Autor an einer Stelle mit c+v, wobei c die Lichtgeschwindigkeit und v die Relativgeschwindigkeit der Inertialsysteme ist.
Demnach wäre c+v eine Überlichtgeschwindigkeit, welche es nach der SRT nicht gibt. Am Ende kommt allerdings die richtige Transformation bei raus.
Habe ich vielleicht etwas falsch verstanden oder ist es Zufall, dass sich die Ergebnisse mit der altbekannten Lorentztransformation decken.
Für mich ist dieser Schritt jedenfalls unzulässig, da die relativistische Geshwindigkeitsaddition von v und c nicht v+c, sondern c ergibt.
http://homepage.univie.ac.at/Franz.Embacher/SRT/Lorentztransformation.html

Vielen Dank schonmal für alle Antworten

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Naja, an dieser Stelle vor seiner Gleichung (4) macht er einen, zugegebenermaßen nur ziemlich knapp kommentierten, Vergleich mit einer Rechnung nach der Galilei-Transformation.

Ob man einen so knapp in Worten gehaltenen Gedankengang schon als Teil einer vollständige Argumentationskette ansehen möchte, ist sicher mindestens Ansichtssache.

Eine ausführlicher in Worten beschriebene, und darum wohl besser einleuchtendere Darstellung einer komplett klassischen Rechnung, die von der Galilei-Transformation und damit von der Annahme ausgeht, dass die Zeit absolut sei und die Lichtgeschwindigkeit je nach Beobachter unterschiedlich sei, haben wir mal hier aufgeschrieben:

http://www.physikerboard.de/lhtopic,4719,0,asc,lichtgeschwindigkeit,0.html

Eine solche klassiche Rechnung kommt zu der Vorhersage, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit des hin- und herlaufenden Lichtes in den allermeisten (d.h. in relativ zum Äther bewegten) Inertialsystemen von der Richtung abhängen sollte, in die man das Licht losschickt.

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Mit der Aussage, die Lorentztransformation lasse sich nicht herleiten, bin ich nicht einverstanden. Eine Kurzform in Worten wäre zum Beispiel:

0) Man macht die Annahme, die Lichtgeschwindigkeiten sei in allen Inertialsystemen die gleiche und hänge nicht von der Ausbreitungsrichtung des Lichtes ab.

1) Man betrachtet eine Lichtuhr, in der das Licht senkrecht zur Bewegungsrichtung eines Beobachters hin- und herläuft. Man berechnet, um wieviel länger der vom Licht mit seiner konstanten Geschwindigkeit zurückgelegte Weg im Inertialsystem des Beobachters durch die Geschwindigkeit des Beobachters ist. Und erhält die Zeitdilatation (bewegte Uhren gehen langsamer).

2) Man betrachtet zwei Lichtuhren, in denen das Licht zum einen entlang der Bewegungsrichtung und zum anderen senkrecht zur Bewegungsrichtung des bewegten Beobachters hin- und herläuft. Und fordert, dass das immer wieder beobachtete Ereignis, dass sich alle Photonen immer jeweils in der Mitte treffen, nicht von der Geschwindigkeit des Beobachters abhängen darf, sondern von allen Beobachtern beobachtet werden muss. Daraus folgt die Längenkontraktion.

Damit hat man dann direkt die Koeffizienten bestimmt, die man für das Aufstellen der Lorentztransformation braucht.

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Ein, wie ich finde, ziemlich schöner Link zu Schritt 2) dieser Herleitung ist ebenfalls auf den von dir zitierten Seiten, nämlich konkret:

http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Rel/Effekte/

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

Danke erstmal für die Antwort

Was hälst du denn von dieser Herleitung:
In der Galilei Transformation gilt für die Umrechnung von I nach I' und umgekehrt
x'=x-vt
x=x'+vt'
t=t'
wobei sich die Inertialsysteme relativ mit der Geschwindigkeit v zueinander bewegen.
Als Ansatz für die Lorentztransformation geht man von
x'=k*(x-vt)
x=k*(x'+vt')
aus.
Nun breite sich ein Lichtstrahl entlang der x-Achse aus
Beide Beobachter in dem jeweiligen Inertialsystem messen die Geschwindigkeit c.
In I' gilt nach einem Zeitpunkt t' x'=ct', sofern das Licht zum Zeitpunkt t'=0 sich am Ursprung von I' befand.
Analog gilt in I zu einem Zeitpunkt t
x=ct
Das setze ich jetzt in die Gleichungen ein
ct'=k*(ct-vt)=kt*(c-v)
ct=kt'*(c+v)
Nun werden beide Gleichungen miteinander multipliziert
c²tt'=k²tt'*(c²-v²)=>
c²=k²*(c²-v²)
k=c/(WURZEL(c²-v²)=1/WURZEL(1-(v/c)²)

Wenn man eine Grenzgeschwindigkeit postuliert, so hat das wohl dann die Bedeutung einer Herleitung oder?
Hat man damals eigentlich sofort die Vakuumlichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit erkannt oder hat man jetzt einfach angenommen, wenn es eine Grenzgeschwindigkeit gibt, so muss die Zeit nach dem Lorentzfaktor dilatieren

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Einverstanden smile

Diese Herleitung zeigt sehr elegant, wie aus dem gemachten Ansatz und der Annahme, dass die Vakuumlichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen dieselbe ist, die Lorentztransformation folgt.

Um diese Herleitung vollständig zu machen, bleibt nur noch ein kleines Stück Begründungsarbeit (auf dem Weg von den Annahmen der Herleitung bis zu dem Ansatz, den du hinschreibst):

* Warum darf man die x-Richtung herausgreifen? Gilt das auch für beliebige andere Bewegungsrichtungen?

Antwort: Wegen der Annahme der Isotropie des Raumes, nämlich dass die Vakuumlichtgeschwindigkeit nicht von der Ausbreitungsrichtung des Lichtes abhängt.

* Warum ist das v und das k in beiden Gleichungen dasselbe?

Antwort: Das folgt aus der Annahme des sogenannten Äquivalenzprinzips, auch Relativitätsprinzip genannt: Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt, kein Beobachter kann also durch Messungen entscheiden, welches Inertialsystem bewegt ist und welches in Ruhe ist.

Also messen beide Beobachter die gleiche Relativgeschwindigkeit v zwischen sich, und beide messen den jeweils anderen um den gleichen Faktor längenkontrahiert.

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Damit haben wir hier eine komplette Herleitung der Lorentztransformation aus den Annahmen

* Konstanz von c in allen Inertialsystemen, und Isotropie des Raumes
* Relativitätsprinzip

stehen smile

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

Vielen Dank für deine sehr ausführlichen Erklärungen
Ich bin in der SRT nicht besonders involviert, zumal das auch nicht Thema der Oberstufe ist.
Deshalb treten noch ein paar Fragen auf, zu denen ich versucht habe selbsttätig eine Lösung zu finden

Ein Problem bezieht sich auf die Zeitdilatation

Nun ist ja in der Relativitätstheorie alles relativ
Man kann nur die Relativgeschwindigkeit zwischen zwei Inertialsystemen bestimmen. In einem Inertialsystem, welches sich mit v relativ zu einem anderen Inertialsystem bewegt, läuft die Zeit nach der Zeitdilatation langsamer.
Nun bewege sich das Inertialsystem I relativ zum Inertialsystem I' mit der Geschwindigkeit v. Für einen Beobachter in I bewegt sich I' mit v. Damit läuft die Zeit in I' langsamer als in I. Für einen Beobachter in I' bewegt sich allerdings I mit v fort. Deshalb läuft die Zeit in I langsamer als in I'.
Dies führt also scheinbar zu einem Widerspruch. Da die Relativitätstheorie sich schon so stark in der Physik manifestiert und bewährt hat, liegt es für mich nahe zu versuchen diesen Widerspruch aufzulösen.
Dabei habe ich versucht eine gewisse Asymmetrie in den beiden Inertialsystemen zu finden.
Ich stelle mir zwei Beobachter vor, welche sich im gleichen Inertialsystem befinden. Möchten sich die Beobachter mit einer Geschwindigkeit v zueinander bewegen, so muss mindestens einer der beiden Beobachter beschleunigt werden, als eine Kraft auf ihn einwirken. Dadurch wechselt er also das Inertialsystem. Demnach läuft in dem Inertialsystem die Zeit langsamer, welches erst durch einen Beschleunigungsvorgang erreicht werden konnte.
Ist das vielleicht eine anerkannte Erklärung zur Auflösung dieses Widerspruchs, wobei es sich demnach um einen Scheinwiderspruch handelt.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Volltreffer smile

Dieser scheinbare Widerspruch ist sogar eine äußerst logische und radikale Konsequenz des Relativitätsprinzips. Jeder der beiden Beobachter definiert mit vollem Recht sein Inertialsystem als das ruhende, und er misst und stellt mit vollem Recht fest, dass der andere bewegt ist und dass die Uhr des anderen langsamer geht als die eigene. Wäre diese Symmetrie nicht gegeben, dann könnte man aufgrund von Messungen entscheiden, welches Inertialsystem das ruhende ist, und das würde der Gleichberechtigung aller Inertialsysteme aufgrund des Relativitätsprinzips widersprechen.

Deine Auflösung des Widerspruchs trifft voll ins Schwarze: Solange sich beide in ihrem Inertialsystem befinden, können sie sich höchstens einmal treffen und im Moment des Aneinander-Vorbeifliegens sich gegenseitig auf die Armbanduhr schauen. Und jeder stellt mit vollem Recht fest, dass die Uhr des anderen langsamer läuft als die eigene.

Um aber eindeutig entscheiden zu können, wessen Uhr langsamer gelaufen ist, müssen sie sich ein zweites Mal begegnen. (Um die Zeitdifferenzen, die zwischen dem ersten Mal und dem zweiten Mal auf den beiden Armbanduhren vergangen sind, miteinander zu vergleichen.) Und das geht nicht, ohne dass einer unterwegs beschleunigt und sein Inertialsystem wechselt. Und das macht diesen einen eindeutig zum Bewegten, für den die Zeit langsamer vergangen ist. Im sogenannten Zwillingsproblem wäre dieser eine, der unterwegs beschleunigt hat und damit das Inertialsystem gewechselt hat, dann also der Zwilling, der jünger geblieben ist als sein Bruder, wenn sie sich wiedertreffen.

jhm · Anmeldungsdatum: 06.05.2008 Beiträge: 73 Wohnort: Münster

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Gerne auch ein konkreter Link dazu:

http://de.wikipedia.org/wiki/Geschichte_der_Lorentz-Transformation#Voigt_.281887.29

Diese Gleichungen der Voigt-Transformation sind denen der Lorentz-Transformation bereits sehr ähnlich, sind aber noch nicht symmetrisch und verletzen das Relativitätsprinzip. (vgl. z.B. auch

Wikipedia Geschichte der speziellen Relativitätstheorie

, zur Zeit der vierte Absatz)

jhm · Anmeldungsdatum: 06.05.2008 Beiträge: 73 Wohnort: Münster

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Danke