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Garnrollenproblem
 
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andrade



Anmeldungsdatum: 29.10.2007
Beiträge: 10

Beitrag andrade Verfasst am: 27. Jan 2008 18:40    Titel: Garnrollenproblem Antworten mit Zitat

Es geht um das Garnrollenproblem:
Dieses abgebildete Garnrolle der Masse m ist unter ein Sofa gefallen. Durch geschicktes Ziehen am teilweise abgewickelten Faden soll die Garnrolle geborgen werden, und zwar so, dass sie in Zugrichtung auf dem Boden rollt. Das Trägheitssmoment der Rolle um die Symmetrieachse sei J_.
a) Welche Beschleunigung a erfährt die Achse der Garnrolle, wenn am um die Rolle gewickelten Faden mit einer Kraft F getogen wird? Hinweis: Betrachten sie als Drehachse den Auflagepunkt der Rolle.
b) Unter welchem Winkel muss an dem Faden gezogen werden, damit sich die Rolle tatsächlich in Zugrichung bewegt?
Bildchen:
http://www.bilder-hochladen.net/files/4ol5-c.jpg

Leider hab ich so meine Probleme einen Ansatz zu formulieren.
J_0 müsste 2/5 MR² sein. Kann mir jemand mit einem Ansatz behilflich sein?
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5787
Wohnort: Heidelberg

Beitrag as_string Verfasst am: 27. Jan 2008 21:58    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Als Ansatz: Wenn Du den Auflagepunkt als (momentane) Drehachse nimmst, wie groß ist dann das Drehmoment, das durch die Kraft des Fadens auf die Rolle wirkt. Könnte das Drehmoment je nach Winkel vielleicht mal in die eine und mal in die andere Richtung wirken? Wie ist der senkrecht auf die Kraft stehende Anteil des Hebelarms, den Du ja auch für das Drehmoment bestimmen musst?
Versuche mal die eine oder andere Frage für Dich zu beantworten. Wenn Du nicht mehr weiter kommst, frag einfach nochmal.


Gruß
Marco
andrade



Anmeldungsdatum: 29.10.2007
Beiträge: 10

Beitrag andrade Verfasst am: 27. Jan 2008 22:08    Titel: Antworten mit Zitat

MÜsste nich F = m* a
F * h = J_s * w
R * w = a gelten?
Aber wie bringt ich den Winkel ins Spiel?
Ich komm mit Drehmomenten überhaupt nich klar
Kannst du mir vllt nen Ansatz mit Formeln formulieren? Dann kann ich das am ehesten nachvollziehen


Zuletzt bearbeitet von andrade am 27. Jan 2008 22:47, insgesamt einmal bearbeitet
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5787
Wohnort: Heidelberg

Beitrag as_string Verfasst am: 27. Jan 2008 22:46    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Das Drehmoment ist ja


Was bedeutet aber das Kreuzprodukt? Erstmal kommt da ja ein Vektor raus, der senkrecht auf r und F steht, also bei Deinem Bsp. aus der Zeichenebene raus oder in die Zeichenebene hinein. Aber wie ist das mit dem Betrag des Vektors M? Der ist |M| = |r|·|F|·sin(Winkel zwischen r und F) allerdings r immer von der Drehachse aus gesehen, hier also der Auflagepunkt der Rolle.
Wenn Du die Linie des Fadens verlängerst, dann kannst Du den Betrag von M ausrechnen, indem Du den zu F senkrechten Anteil von r nimmst. Ich habe versucht, dazu eine Skizze zu machen.

Gruß
Marco

PS: Ich sehe gerade, dass ich jetzt r für etwas anderes verwendet habe, als in der Skizze steht. Mein Vektor-r hat nichts mit dem kleinen Radius des inneren Kreises zu tun, sondern soll einfach nur der Orts-Vektor von der Drehachse (Koordinatenursprung) zum Angriffpunkt des Fadens sein. Ich hoffe, dass Dich das jetzt nicht noch mehr verwirrt...



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as_string
Moderator


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Beiträge: 5787
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Beitrag as_string Verfasst am: 27. Jan 2008 22:49    Titel: Antworten mit Zitat

Achso.. Was ich noch dazu sagen wollte: Wenn Du das Drehmoment hast, kannst Du damit eine Winkelbeschleunigung ausrechnen (zusammen mit dem Trägheitsmoment). Das Trägheitsmoment ist nicht nur das, was Du schon geschrieben hast, sondern mit der Drehachse am unteren Auflagepunkt. Du musst da also noch den Steinerschen Satz verwenden.
Wenn Du die Winkelbeschleunigung hast, kannst Du die zusammen mit dem großen Radius direkt in eine Beschleunigung a umrechnen.

Gruß
Marco
andrade



Anmeldungsdatum: 29.10.2007
Beiträge: 10

Beitrag andrade Verfasst am: 27. Jan 2008 23:44    Titel: Antworten mit Zitat

angenommen ich nenne deinen Vektor r aus der Zeichnung nun s, dann gilt:
|M| = s*m*a* sin (r,F) bzw. a= |M|/( s*m* sin (r,F)
wie komm ich dann weiter?
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5787
Wohnort: Heidelberg

Beitrag as_string Verfasst am: 28. Jan 2008 00:14    Titel: Antworten mit Zitat

Naja, wenn Du die Winkelbeschleunigung hast und die Rolle auf dem äußeren Radius auf dem Boden rollt, dann ist die Beschleunigung der Rolle einfach:


Das große Problem ist eher, diesen Sinus raus zu bekommen. Ich habe da gerade etwas "geometrisch rumprobiert" und kam auf:
<-- Edit: Tippfehler korrigiert
Ich habe dazu erst ein Dreieck mit dem Mittelpunkt der inneren Rolle, dem Radius bis zum Berührungspunkt des Fadens, der Tangente (also Verlängerung des Fadens nach unten) und einer Senkrechten durch den Mittelpunkt gemacht. In diesem Dreieck kenne ich den Winkel in der oberen Spitze beim Mittelpunkt (der ist das gegebene Alpha) und den Radius. Da kann ich dann mit dem Kosinus ausrechnen, auf welcher Höhe die Tangente die Senkrechte schneidet.

Der Rest der Senkrechten gibt zusammen mit der Fortsetzung der Tangente, dem Auflagepunkt und dem ein neues Dreieck, in dem die eben ausgerechnete Rest-Senkrechte und wieder der Winkel bekannt ist. Auch da kann man dann mit dem Kosinus zum Ziel kommen. Raus kam bei mir die Funktion von oben.

Besser kann ich das nicht in Worten erklären. Da müsste ich wohl nochmal eine Zeichnung machen...

Wenn Du das aber hast, hast Du auch gleich den Betrag des Drehmoments. Das ist dann:


Dann brauchst Du noch das Trägheitsmoment. Die (momentane) Drehachse geht ja nicht durch den Mittelpunkt. Man muss also mit dem Satz von Steiner noch das Drehmoment anpassen:

<--- Edit: Wie kommst Du eigentlich auf J_0 = 2/5mR²? Das ist bei der Vollkugel, oder? Hier ist es eher ein Zylinder. Stand dazu was in der Aufgabe?

Außerdem ist die Winkelbeschleunigung:



Ohje, jetzt habe ich Alpha für den Winkel des Fadens und die Winkelbeschleunigung der Rolle und M für das Drehmoment und die Gesamtmasse. Also, wenn da nochmal einer durchblickt... //Edit: Ich hab jetzt wenigstens mal die Masse einfach m genannt...

Daraus bekommst Du direkt die Beschleunigung:


Gruß
Marco
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