Corioliskräfte

Mulder · Anmeldungsdatum: 01.11.2007 Beiträge: 80

Hallo,

folgende Aufgabe wurde uns gestellt:

Die Corioliskraft wird manchmal für die Richtung verantwortlich gemacht, in der das abfließende Badewasser rotiert. Berechnen Sie die Coriolisbeschleunigung einer Wasserströmungs der Geschwindigkeit v=0,1m/s. (geografische Breite = 53°)

Mein Ansatz war nun folgender:

Für die Beschleunigung habe ich dann gemäß F=m*a einfach geschrieben:

Da kam dann raus:

Sieht das okay aus? Kenne mich mit diesen Größen noch nicht so gut aus... oder ist das zu wenig?

Und dann sollen wir noch errechnen, wie sich das Gewicht eines ortsansässigen (also unter der Breite 53°) ändert, wenn er mit 1m/s nach Norden, Osten, Süden oder Westen joggt.

Da fehlt mir jetzt irgendwie so der Ansatz, wie ich da rangehen muss...

Da muss ich ja jetzt irgendwie einen Ausdruck herleiten, der das Momentangewicht des Joggers in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg darstellt, oder? Weß ich denn, wie sich die geografische Breite des Joggers ändert? Oder brauche ich die da gar nicht?

Wäre dankbar für einen kleinen Anschubser. smile

Gruß,
Mulder

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hallo Mulder.

Es sei vorab schon darauf hingewiesen, daß es ein wenig Vorstellungsvermögen bezüglich der Richtungen der Größen bedarf. Mit ein wenig Fingerfertigkeit (Rechte-Hand-Regel, Drei-Finger-Regel) und Bleistift und Papier kann man aber der Vektoren und ihrer Richtungen Herr werden.

Die Grundlegenden Formeln für die Corioliskraft und die Coriolisbeschleunigung sind

In Deinem Ansatz ist der Winkel falsch gewählt. Der Betrag der Coriolisbeschleunigung bestimmt sich nach

Wobei

der Winkel von

nach

ist. Die Winkelgeschwindigkeit

fällt mit der Erdachse zusammen. Der Breitengrad gibt den Winkel zwischen Äquator und dem Breitenkreis an. Es ist aber der Winkel zwischen Erdachse (Linie von Pol zu Pol) und dem Breitenkreis gesucht.

Trotzdem kann ich Dein Ergebnis nicht nachvollziehen. Was hast du für den Betrag der Winkelgeschwindigkeit genommen?

Für den zweiten Teil der Aufgabe sollten wir nun ein wenig die Richtungen klären. Fangen wir mit der Winkelgeschwindigkeit

an. Die Richtung erhältst Du mit der Rechten-Hand-Regel: Spreize den Daumen ab, sodaß ein rechter Winkel mit den anderen Fingern entsteht; die restlichen vier Finger halte leicht gekrümmt, als ob Du eine Miniaturform der Erde umfassen wolltest; diese vier Finger müssen in Drehrichtung der Erde verlaufen; dann gibt der Daumen die Richtung von

an.

Die Richtung der Corioliskraft

wird mittels der Drei-Finger-Regel bestimt. Der Daumen zeigt in Richtung der Geschwindigkeit

, der Zeigefinger weist in Richtung der Winkelgeschwindigkeit

; dann zeigt der senkrecht abgespreizte Mittelfinger in die Richtung der Corioliskraft

.

Es ist nun an Dir erst einmal festzustellen wohin

für die Drehung der Erde zeigt. Danach solltest Du überlegen in welche Richtung die Corioliskraft gerichtet ist wenn man in Nord-Süd-Richtung (entlang des Längenkreises) bzw. in Ost-West-Richtung geht (entlang des Breitenkreises).

Viel Spaß beim Fingerverknoten Big Laugh

.

PS:
Du kannst übrigens davon ausgehen, daß sich der Breitengrad für den Jogger nicht ändert.

Mulder · Anmeldungsdatum: 01.11.2007 Beiträge: 80

Hallo magneto und danke für die ausführliche Antwort,

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

In der ersten Aufgabe ist die Richtung der Geschwindigkeit nicht explizit angegeben. Sie erschließt sich aber aus der Annahme, daß der Wasserstrom in Richtung Erdmittelpunkt fließt. Deine Rechnung hat dies auch schon ausgedrückt, wobei Du den Winkel nur falsch angesetzt hast.

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Dass

NICHT der Breitengrad ist, bezweifle ich, denn die senkrechte Komponente berechnet sich aus

mit

, wenn alpha der Breitengrad ist. Und das wird dann zu Sinus(Breitengrad). Am Äquator (0°) ist ja die Corioliskraft 0, und nicht am Pol.

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hallo Schrödingers Katze.

Ich kann Deiner Argumentation nicht zustimmen. Am Pol ist für einen fallenden Körper keine Corioliskraft zu bemerken.

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Jogger fallen aber nicht runter.

Nein, im Ernst, bei Wiki stehts so drin - falsch, wie ich meine. Ebenjener Artikel ist heiß diskutiert, und der Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Coriolisbeschleunigung deckt meine Behauptung.

Ich hoffe wir jeden jetzt nicht aneinander vorbei, möchte aber den Fragesteller darauf hinweisen, beim Jogger (der nicht fällt, klar, beim Fallen ist es genau entgegengesetzt) nicht denselben Winkel einzusetzen.

Man Haue / Kloppe / Schläge

mich wenn ich mich irre, sicher bin ich mir nämlich nicht ob ich sämtliche Fliehräfte und dgl. richtig auseinanderhalte.

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Die Corioliskraft ist ein echter Hirnverbieger. Ich bin weit weg davon sie erschöpfend erklären zu können. Ich möchte jedoch für diese Aufgabenstellung meinen Gedankengang zum Besten geben.

Die Richtung der Winkelgeschwindigkeit ergibt sich aus der Erdrotation und weist von Süd nach Nord.

Zuerst eine Betrachtung zur Badewanne. Es werden sicherlich horizontale Strömungen auftreten, die in Richtung Abfluß verlaufen. Ich habe die Aufgabenstellung so verstanden, daß mit der angegebenen Wasserströmung die vertikale Bewegung des Wassers gemeint ist von oben Richtung Abfluß; also die Geschwindigkeitskomponente in Richtung Erdmittelpunkt.

Aus der Definition für den Betrag des Kreuzproduktes folgt für die Coriolisbeschleunigung

Mit

kann hier nur die Polhöhe gemeint sein und nicht der Breitengrad (streng genommen ist

hier gleich 180° - Polhöhe; das ergibt für den Sinus aber denselben Wert).

Es ist richtig, daß der Jogger nicht fällt (sollte er zumindes nicht Big Laugh

), aber soweit waren wir hier glaube ich noch nicht. Es sollen für den Jogger Fallunterscheidungen getroffen werden. Es ist nach dem momentanen Wert für die Corioliskraft gefragt für die Fälle daß der Jogger entlang eines Längenkreises bzw. eines Breitenkreises läuft.

Man mag sich nun davon überzeugen, daß bei der Bewegung von Norden/Süden (entlang des Längenkreises) die Corioliskraft entlang des Breitenkreises wirkt. Eine Änderung des Gewichts des Joggers wird also nicht auftreten.

Bei der Bewegung nach Osten/Westen (entlang des Breitenkreises) führt zu einer Corioliskraft, deren Kraftlinie in Richtung der Erdachse verläuft. Gesucht ist dann der Anteil dieser Kraft, der das Gewicht erhöht bzw. reduziert. Man kann die Rechnung sowohl über den Breitengrad als auch über die Polhöhe gestalten. Beides muß zum selben Ergebnis führen. Ich präferiere dabei die Polhöhe, weil dieser Winkel zum Kreuzprodukt paßt, über das die Corioliskraft definiert wird.

@Schrödingers Katze:
Konntest Du meinen Gedanken folgen? Kannst Du ihnen zustimmen oder habe ich einen Denkfehler? Würdest Du das anders erklären? grübelnd

.

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Ich finde es besonders kompliziert, auseinanderzuhalten, was in einschlägigen Nachschlagewerken als Corioliskraft bezeichnet wird. Häufig treten da Therme mit auf, die ich eher zur Fliehraft zählen würde, aber das sind ja andererseits auch Scheinkräfte.

Grundsätzlich würde ich drei verschiedene Scheinkräfte unterscheiden:

Die Fliehraft durch die Erdrotation. Sie wirkt senkrecht zur Erdachse auf jedes Objekt, und kann zwischen Pol und Äquator Komponenten in

-Richtung (also entgegengesetzt zum Erdmittelpunkt) und zum Äquator haben, aber nicht in Richtung Pole.
Dann die Fliehraft, die duch Bewegungen des Körpers selbst verursacht wird. Bewegungen entlang auf Breitenkreisen berechnen sich wie oben, entlang Längenkreisen gibts nur die

-Komponente, also keine Abweichung, nur Verringerung der Gewichtskraft (ggf. komponentenweise betrachten).
Ergo: Keine Fliehraft wird je eine Annäherung an die Drehachse verursachen.

Nun die seitliche Ablenkung (die ich jetzt laut Tipler Coriolisbeschleunigung nennen würde aber nach Demtröder nicht (oder nur zum Teil...):
Die ist immer dann vorhanden, wenn sich ein Körper der Drehachse nähert oder sich von ihr wegbewegt. Der Grund sind die unterschiedlichen Umlaufzeiten bei verschiedenen Radien und die daraus resultierende zu langsame oder zu schnelle "Seitwärtsbewegung", sodass er der Drehung vorrauseilt oder hinterherhängt.
Damit kann auf der Erde eine solche Komponente nur bei Nord-Süd (o. umgek.) -Bewegungen auftreten. Also NICHT bei Bewegungen auf Längenkreisen (Dass die Winde auch bei O-W-Bewegung abgelenkt werden, wird wohl daraus resultieren, dass es immer kleine N-S-Komponenten gibt und sich die Luftmasse insgesamt dreht).
Aus den Überlegungen zur Erhaltung der längengradgerichteten Geschwindigkeitskomponente gibt auf der Nordhalbkugel immer eine Rechtsablenkung, die am Nordpol ihr Maximum und am Äquator einen Nulldurchgang zur Linksabweichung hat.

Je nach Aufgabe kann man dann die Kompontenen addieren; die von mir so bezeichnete Corioliskraft hat keine Kompontenen in Richtung der vorangegangenen Fliehkräfte, welche ihrerseits nie eine O-W-Ablenkung erzeugen können.

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Ich habe mir jetzt verschiedene Darstellungen von rotierenden Koordinatensystem angeschaut. Durchweg werden für die konstante Rotation folgende Scheinkräfte namentlich verwendet:

Zentrifugalkraft

Dabei ist

der Ortsvektor (Ursprung ist der Erdmittelpunkt) und

ist der Radius des Breitenkreises.

Corioliskraft

Dabei ist

die Geschwindigkeit innerhalb des rotierenden Koordinatensystems.

Die Zentrifungalkraft steht dabei tatsächlich immer senkrecht zur Drechachse und weist von dieser Achse weg. Sie ist auch nur Abhängig von der Drehung der Erde und dem Abstand zur Achse und nicht von der Relativbewegung.

Ich kenne weder den Tipler noch den Demtröder, kann also nichts zu deren Darstellungen sagen. Ich vertraue aber darauf, daß die obige Definition der Corioliskraft ihre Richtigkeit hat. Mein Koordinatensyste, in dem ich mich auf der Erdoberfläche befinde definiere ich folgendermaßen: die z-Achse zeigt senkrecht nach oben, die y-Achse verläuft tangential zum Erdboden in Richtung Norden und die x-Achse zeigt dann nach Osten.

Um meine Gesanken mit der hier gegebenen Aufgabenstellung zu verbinden, versetzte ich mich nun in die Lage des Joggers. Ich stehe nun auf einen Sportplatz und stecke eine Stange derart in den Boden, daß sie nach Norden zeigt und parallel zur Erdachse verläuft. Die Stange bildet mit dem Erdboden einen Winkel, der mit dem Breitengrad übereinstimmt. Dies soll mir

symbolisieren und als Orientierung dienen.

Nach der Definition der Corioliskraft hat nur eine Bewegung entlang dieser Stange keine Ablenkung zur Folge. Jegliche Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Stange hat also eine von null verschiedene Kraftwirkung.

Die Winkelgeschwindigkeit (die Stange) hat in meinem Koordinatensystem das aussehen

Dabei ist

der Breitengrad (ich habe mich jetzt dazu durchgerungen diesen Winkel zu verwenden). Dann ergibt sich für die Corioliskraft:

Daraus wird ersichtlich, daß ein freier Fall (

) eine Ablenkung nach Osten bewirkt. Eine Bewegung nach Norden (

) entlang des Längenkreises führt zu einer Ablenkung nach rechts also ebenfalls nach Osten. Eine Bewegung nach Osten (

) bewirkt nun zweierlei. Zum einen erfährt man dieselbe Ablenkung wieder nach rechts wie eben bei der Bewegung nach Norden; man spürt hier also eine Kraft nach Süden. Außerdem ist eine vertikale Kraftwirkung nach oben zu beobachten. Dies wird man als eine Abnahme der Gewichtskraft spüren (zumindest wird eine Waage das so anzeigen).

Ich denke, daß die obige formelle Darstellung korrekt ist. Auch wenn Intuition und Vorstellungskraft vielleicht etwas anderes erwarten lassen, erfährt man auch bei der Ost-West-Bewegung eine Ablenkende Kraft nach rechts. Bewegt man sich nur in der xy-Ebene (also parallel zum Erdboden) und ist die Geschwindigkeit

ist die Kraft in dieser Ebene:

In diesem Ausdruck ist die Beziehung aus dem Wikipedia Artikel wiederzufinden.

An dieser Stelle muß ich zugeben, daß ich die Aufgabenstellung wohl nicht richtig verstanden habe bezüglich der Fließrichtung des Wassers in der Badewanne. Wahrscheihnlich ist doch die horizontale Geschwindigkeit gemeint.

Puh, das waren viele Gedanken zu so später Stunde. Gibt es Kommentare, Berichtigungen, Ergänzungen?

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hallo Schrödingers Katze.

Das Forum hatte einen Hänger, deshalb erst jetzt meine Antwort.

Es liegt an der formellen (und wohl auch historischen) herangehensweise. Du hattest zwar geschrieben, daß Dein Verständnis der Corioliskraft keine "keine Kompontenen in Richtung der vorangegangenen Fliehkräfte" hat. Die ist aber leider nicht die generelle Sichtweise der Lehrbücher.

Abstrahieren wir das Problem auf einen Massepunkt. Dieser soll sich zusammen mit einem Ring mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegt. Die Fliehkraft ist dann

. Der Ring ist das konstant rotierende System in dem die Fliehkraft immer diese Form hat. Wenn der Massepunkt sich nun auf diesem Ring in Richtung der Rotation bewegt, muß die Fliehkraft, die der Massepunkt spürt, zunehmen. Als Außenstehender in einem festen Koordinatensystem würden wir dazu wohl einfach eine veränderte Bahn- oder Winkelgeschwindigkeit ansetzten.

Aus Sicht des Massepunktes ist die Sachlange etwas anders. Der Ring ist hier das feste Bezugsystem und die Fliehkraft etwas gegeben konstantes. Wenn also durch eine Bewegung entlang des Ringesrandes eine weitere Kraft in Richtung Achse auftritt, ist eine Einführung einer neuen (Schein)-Kraft verständlich. Dieses schreibt man dann der Corioliskraft zu und wird als eine zu der Fliehkraft zusätzlich wirkenden Kraft verstanden.

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Ja, komsicher php-Fehler... War schonmal und sollte eigentlich nicht aus heiterem Himmel aufteten.

Also gut, du meinst, für den Massepunkt selbst ist die Fliehraft durch die Rotation "alltäglich" und durch eine Westwärtsbewegung verringert er diese, sodass die Differenz der Kräfte von ihm aus als nach Norden gerichtete Kraft wahrgenommen wird?

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Ja, so würde ich das jedenfalls anschaulich auffassen, daß die Corioliskraft auch eine Änderung der Fliehkraft beinhaltet. Für und auf der Erdoberfläche hat diese (außer am Äquator und am Pol) halt zwei Komponenten: eine vertikale und eine horizontale.

Edit @Mulder:
Ich hoffe Du bist uns durch die Verständnisdiskussion nicht abhanden gekommen.

Mulder · Anmeldungsdatum: 01.11.2007 Beiträge: 80