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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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 jentowncity Verfasst am: 06. Dez 2007 19:17 Titel: Spiegelschleife |
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Hallo an alle!
Hab Probleme bei folgender Aufgabe:
Eine kreisförmige Drahtschleife mit Radius a werde vom Strom I durchflossen und befinde sich mit ihrem Mittelpunkt bei z=d auf der positiven z-Achse. Der Halbraum z<0 sei von Materie der Permeabilität  ausgefüllt. Man berechne die Kraft, die auf die Stromschleife wirkt, wenn
a) die Fläche der Schleife parallel zur x-y-Ebenen liegt
b) die Fläche in der x-z-Ebenen liegt.
Ich hab zu Teil a) auch schon die Lösung gefunden http://wase.urz.uni-magdeburg.de/mertens/teaching/ed/blatt_06_lsg.pdf Aufgabe 5.
nur leider verstehe ich dort eine ganz wichtige Sache nicht: wie kommen die beiden Gleichungen aus den Übergangsbedingungen zustande? Insbesondere das Minuszeichen in der zweiten Gleichung 
Kann mir jemand helfen?
Edit: Ich meine folgenden Schritt: man sieht mit Hilfe von so einem Modell von Spiegeldipolen, dass die Felder gegeben sind durch
=\frac{\mu_{0}}{4\pi}(\frac{3\vec{r}(\vec{m}\cdot\vec{r})}{r^{5}}-\frac{\vec{m}}{r^{3}}+\frac{3\vec{r'}(\vec{m'}\cdot\vec{r'})}{r'^{5}}-\frac{\vec{m'}}{r'^{3}}))
Und in Materie: =\frac{\mu_{0}\mu}{4\pi}(\frac{3\vec{r}(\vec{m''}\cdot\vec{r})}{r^{5}}-\frac{\vec{m''}}{r^{3}}))
Und dann muss man ja die Anschlussbedingungen an der Grenzläche erfüllen (mit  ) :
 mit )
und
 mit }{\mu_{0}})
Und mein Problem ist jetzt zu verstehen wie aus diesen beiden Anschlussbed. die beiden folgenden Gleichungen entstehen:
-m}{r^{3}}+\frac{m'\cdot cos^{2}(\theta)-m'}{r^{3}})=\frac{\mu_{0}\mu}{4\pi}(\frac{m''\cdot cos^{2}(\theta)-m''}{r^{3}}))
und
sin(\theta)}{r^{3}}-\frac{m'\cdot cos(\theta)sin(\theta)}{r^{3}})=\frac{1}{4\pi}(\frac{m''\cdot cos(\theta)sin(\theta)}{r^{3}}))
Sieht das vielleicht irgendjemand?  |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 07. Dez 2007 10:06 Titel: |
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Betrachten wir mal die Tangentialkomponenten für H:
Das H für den Dipol m ist zB:
 = \frac{1}{4 \pi } \, \left( 3 \, \frac{\vec r \, (\vec m \cdot \vec r)}{r^5} - \frac{\vec m}{r^3} \right))
Die Tangentialkomponente ergibt sich durch das innere Produkt mit einem Einheitsvektor t in Tangentialrichtung:
 = \frac{1}{4 \pi } \, \left( 3 \, \frac{(\vec t \cdot \vec r) \, (\vec m \cdot \vec r)}{r^5} - \frac{\vec t \cdot \vec m}{r^3} \right))
Nun ist
und
und
Wenn du das einsetzt, und noch berücksichtigst, dass m' nach unten gerichtet ist, und daher
so kommst du unmittelbar auf die zweite Gleichung.
Die erste geht analog...
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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jentowncity
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| jentowncity Verfasst am: 07. Dez 2007 17:53 Titel: |
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Vielen Dank schnudl!
Aber eine 3 vor dem ersten m in der ersten Gleichung fehlt bei denen trotzdem, oder? Die spielt zwar keine Rolle für die Koeffizienten  und  , weil sie sich wieder rauskürzt, aber trotzdem 
Kannst du vielleicht auch sehen, wie die dort die Divergenz ausgerechnet haben? Da muss man doch das Feld nehmen, das sozusagen von m' erzeugt wurde, also =\frac{\mu_{0}}{4\pi}(\frac{3\vec{r'}(\vec{m'}\cdot\vec{r'})}{r'^{5}}-\frac{\vec{m'}}{r'^{3}}))
und die Divergenz bilden, oder? Ich komm irgendwie nicht auf den Ausdruck, den sie dort haben |
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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| jentowncity Verfasst am: 07. Dez 2007 17:54 Titel: |
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Vielen Dank schnudl!
Aber eine 3 vor dem ersten m in der ersten Gleichung fehlt bei denen trotzdem, oder? Die spielt zwar keine Rolle für die Koeffizienten und , weil sie sich wieder rauskürzt, aber trotzdem
Kannst du vielleicht auch sehen, wie die dort die Divergenz ausgerechnet haben? Da muss man doch das Feld nehmen, das sozusagen von m' erzeugt wurde, also
und die Divergenz bilden, oder? Ich komm irgendwie nicht auf den Ausdruck, den sie dort haben |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 07. Dez 2007 18:44 Titel: |
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Es ist der Gradient, nicht die Divergenz:
)
Damit komme ich auf den Ausdruck
^4}\cdot \alpha \cdot m^2 \cdot \underbrace{\frac{1}{4 \pi}}_{?})
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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| jentowncity Verfasst am: 08. Dez 2007 14:12 Titel: |
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Ah, ok, ich hab das jetzt auch raus, nur mit einem anderen Vorfaktor:
^{4}})
Und bei b) sind die Dipole dann beide nach links (oder rechts) gerichtet und deswegen muss doch eigentlich ganau das selbe rauskommen, nur mit einem anderen , oder?
Dieses  muss sich dann analog ergeben, mit
=\vec{r'}\vec{t})
=-\vec{n}\vec{r'})
=\vec{r'}\vec{m'})
Damit hab ich dann die beiden Gleichungen:
sin(\theta)}{r^{3}}-\frac{m'\cdot cos(\theta)sin(\theta)}{r^{3}})=\frac{\mu_{0}\mu}{4\pi}(\frac{m''\cdot cos(\theta)sin(\theta)}{r^{3}}))
-m}{r^{3}}+\frac{m'\cdot sin^{2}(\theta)-m'}{r^{3}})=\frac{1}{4\pi}(\frac{m''\cdot sin^{2}(\theta)-m''}{r^{3}}))
und daraus
und 
Und ich bekomme:  und 
Die Kraft wirkt diesmal tangential und hat den Wert:
^{4}} )
Ist das so richtig?
Edit: Formeln verbessert und ergänzt
Zuletzt bearbeitet von jentowncity am 09. Dez 2007 16:03, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 09. Dez 2007 13:40 Titel: |
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Nur der Vollständigkeit halber:
Die Kraft zwischen zwei Stromschleifen kann nur in erster Näherung durch die Wechselwirkung zweier Dipole beschrieben werden. Die Näherung ist dann gut, wenn ihr Abstand d gross gegen den Schleifenradius R ist.
Exakt gilt:
Das führt aber leider auf komplizierte eliptische Integrale 
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