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Quantenwahnsinn	Verfasst am: 05. Aug 2015 20:49    Titel: OK sagen wir ich will den Hamilton Operator von oben als Matrix darstellen. Ich nehme als Basis sin(ixn), cos(ixn) usw. Wie sieht dann das Integral aus? A_lm = int sin(ixl) H cos(ixm) dx OK in dem Fall müsste ich wahrscheinlich die 2D Fourierrheie nehmen, aber so stimmt das schon mal oder?
TomS	Verfasst am: 04. Aug 2015 20:14    Titel: Im L^2[a,b] mit endlichem Intervall [a,b] entspricht die Fourierentwicklung einer Komponentendarstellung für eine abzählbarer Basis; alternativ kannst du das auch für eine Entwicklung periodischer Funktionen auf einem Kreis überlegen. Alternativ kannst du auf[a,b] auch andere Basissysteme betrachten. Im L^2 über den reellen Zahlen musst du stattdessen Fourierintegrale betrachten, was einer "kontinuierlichen Basis" entspricht. Eine Alternative wäre Hermitefunktionen, was wieder einer abzählbaren Basis entspricht.
Quantenwahnsinn	Verfasst am: 04. Aug 2015 19:35    Titel: Hallo. OK, aber was nehm ich den als Basis? Die QM finder ja in L^2 statt, dem Hilbertraum. Kann ich jede Function in diesem Raum in Fourierreihen zerlegen ? Wenn ja heisst das das Basen in diesem Raum diese Fourier Basen sind?
Jayk	Verfasst am: 03. Aug 2015 19:37    Titel: Zitat: Ok danke. Also man kann eine periodische Funktion als Fourier Reihe entwickeln und das heißt das man diese dann in Komponenten darstellt. Ist das so wie ich mit einer Taylor Reihe andere Funktionen zerlegen kann? Ist das dann auch eine Komponentenzerlegung? Richtig. Mathematisch ist es aber völlig das gleiche, ob Du eine periodische Funktion oder eine "beliebige" Funktion, die nur über einem beschränkten Intervall definiert ist, betrachtest. Entwicklung in Fourierreihen heißt, eine Komponentenzerlegung bezüglich der Basis durchzuführen (oder in einem leicht anderen, aber äquivalenten, Formalismus: bgl. ). Um einen Hamiltonoperator als Matrix zu schreiben, mußt Du - eine Basis festlegen (beachte, daß Fourierreihen nur auf beschränkten Intervallen funktionieren! Für den ganzen R³ kann man stattdessen die Fouriertransformierte betrachten. Das ist streng genommen keine Basis, verhält sich aber in vielerlei Hinsicht analog) - Den Hamiltonoperator auf die Basiselemente anwenden - Das Ergebnis in seine Komponenten zerlegen
Quantenwahnsinn	Verfasst am: 03. Aug 2015 18:18    Titel: Ok danke. Also man kann eine periodische Funktion als Fourier Reihe entwickeln und das heißt das man diese dann in Komponenten darstellt. Ist das so wie ich mit einer Taylor Reihe andere Funktionen zerlegen kann? Ist das dann auch eine Komponentenzerlegung? Ok andere Frage. Teilchen das sich in einem Ring bewegt (vergessen wir mal polar koordinaten). Mit dem Hamilton Operator: Wie schreib ich das jetzt als Matrix? Soll ich da einfach die Standardbasen benutzen? Oder muss ich erst die Gleichung lösen und dann Eigenbasen benutzen?
Jayk	Verfasst am: 01. Aug 2015 00:15    Titel: Ich habe das Gefühl, die wesentliche Botschaft kommt nicht an... Du kannst eine Basis wählen, so daß psi die Spaltendarstellung hat. Das ist meistens wenig sinnvoll, aber möglich. TomS hat Dir ja schon geschrieben, daß die Wahl der Basis vom Problem abhängt. Sagen wir, der Hilbertraum ist , also der Raum der quadratintegrablen Funktionen über dem Intervall und der Hamiltonoperator ist der des freien Teilchens (also ohne Potential). Dann sind als Eigenfunktionen ebene Wellen geeignet. Mathematisch heißt das nichts anderes, als daß Du Deine Wellenfunktion als Fourierreihe entwickelst. Hast Du das schonmal gemacht? Quadratintegrable Funktionen kann man als mit den Fourierkoeffizienten entwickeln. Diese Integrale hast Du also auszurechnen. Nun muß ja a nicht 2pi sein. Die allgemeine Formel erhält man durch Substitution, die kann ich mir aber nie merken: mit
Quantenwahnsinn	Verfasst am: 27. Jul 2015 18:09    Titel: moin OK andere Frage. Nehmen wir mal an ich hätte diese Wellenfunktion; . Wie ist nun die Matrixdarstellung was sind die Basen die ich zur komponentendarstellung benutzen kann? x ist zwischen 0 und a .
Jayk	Verfasst am: 12. Jul 2015 20:55    Titel: QuantenWahnsinn hat Folgendes geschrieben: Das heißt ich kann jedes System lösen in dem ich die Eigenwerte des Hamiltonian suche oder? Wieso brauch ich dann noch die Schrödiger Gleichung? Indem Du die Eigenwerte und -zustände des Hamiltonoperators suchst, löst Du ja die Schrödingergleichung. (jedenfalls im Prinzip; Du kannst dann für jeden beliebigen Zustand die Zeitentwicklung angeben.)
QuantenWahnsinn	Verfasst am: 12. Jul 2015 20:32    Titel: Dann noch eine Frage. Ich kann ja jeden Zustand oder Operator als Matrix (auch unendlich Dimensinale) darstellen. Das heißt ich kann jedes System lösen in dem ich die Eigenwerte des Hamiltonian suche oder? Wieso brauch ich dann noch die Schrödiger Gleichung?
QuantenWahnsinn	Verfasst am: 12. Jul 2015 20:10    Titel: Hallo. Also mit den Funktionen da muss ich noch mal rumsuchen ob ich da ein passendes Beispiel aus der unendliche dimensionalen linearen Algebra finde. Aber ok ich hab jetzt den Operator mit Eigenvektoren und . Wobei ich mir nicht sicher bin ob das die richtigen Eigenvektoren sind, ich hab das aus meinem Gedächtnis hingeschrieben, aber ist ja auch egal. Nun gilt ja weil ich orthogonale Zustände habe. Jetzt drehe ich einen Zustand mit der üblichen Drehmatrix und erhalte jetzt berechne ich erneut: und ich erhalte trotzdem 0. Was bedeutet das jetzt? Ich hab ja nur den einen Zustand rotiert und nicht das ganze System.
Jayk	Verfasst am: 04. Jul 2015 14:53    Titel: Ein Beispiel für eine ONB sind die Hermiteschen Funktionen, die man zur quantenmechanischen Beschreibung des harmonischen Oszillators benutzt: https://de.wikipedia.org/wiki/Hermitesche_Funktion
QuantenWahnsinn	Verfasst am: 04. Jul 2015 14:31    Titel: hoi, also im faq wird kein standard ket erwähnt. Ich gucks mir später noch mal an. Also ich hab jetzt mit diskreten Operatoren, Zuständen rumexperimentiert und Sachen berechnet (mit standardbasis für die komplexen Vektoren). Jetzt würd ich das gerne mit kontinuierlichen Funktionen machen, kann mir da jemand eine passende Funktion mit kontinuierlicher Basis angeben?
Jayk	Verfasst am: 04. Jul 2015 13:00    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Jayk hat mit den mathematischen Details natürlich recht. Ich bin aber der Meinung, dass das noch Zeit hat. Der Meinung bin ich auch. Das war nur als Warnung gedacht, daß man sich bei der Suche nach einem vollständigen System "seltsame Funktionen" einhandeln kann.
TomS	Verfasst am: 04. Jul 2015 07:39    Titel: QuantenWahnsinn hat Folgendes geschrieben: Könntest du mir noch erklären wie ich die Basen von so einer Funktion bestimmen kann? Ich will das alles mal nachrechnen. Andere Frage: Was ist in Dirak Notation das standard Ket? ZB . e sind die Eigenwerte zu den passenden Eigenkets auf der Linken Seite. Nun wird > als Standard Ket bezeichnet. Was bedeutet das?? Lies dir doch mal diesen FAQ-Beitrag durch: http://www.physikerboard.de/topic,41973,-faq---dirac-notation-in-der-qm.html Jayk hat mit den mathematischen Details natürlich recht. Ich bin aber der Meinung, dass das noch Zeit hat.
Jayk	Verfasst am: 04. Jul 2015 05:23    Titel: QuantenWahnsinn hat Folgendes geschrieben: JayK, ich glaube du hast zu viel Mathematik im Kopf. Erklär mir mal wie das mit dem Ket ist Danke. Es kommt halt immer darauf an, wie genau Du es persönlich wissen willst. Wenn's Dich nicht stört, daß es hier und dort ein paar Ungereimtheiten gibt, ist es auch okay. TomS hat es ja schon gesagt: Die Wahl der Basis hängt vom Kontext ab. In der Regel versucht man, eine Basis aus Eigenzuständen des Hamilton-Operators zu bekommen (-> stationäre Schrödingergleichung). Das klappt aber nicht immer mit L²-Eigenfunktionen, z.B. beim Wasserstoffatom muß man die Streulösungen hinzunehmen, um ein vollständiges System zu bekommen. Die sind aber nicht normierbar und haben daher keine eigenständige Bedeutung in dem Sinne, daß sie als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden könnten. Dasselbe Problem gibt es mit Delta-Impulsen und ebenen Wellen: Wahrscheinlichkeitsinterpretation kannst Du da vergessen. Im Prinzip kannst Du Dein Gauß-Paket, sofern A die richtige Normierungskonstante ist, zu einer Basis ergänzen (-> Gram-Schmidt-Verfahren). Das ist nur eben nicht besonders sinnvoll. Der Grund, weshalb man gerne Energieeigenzustände nimmt, ist, daß man dann besonders einfach die Zeitentwicklung angeben kann (ein Energieeigenzustand oszilliert einfach mit ). Ach ja: So ein Ket entspricht im Prinzip einer Ortwellenfunktion und nicht einem . Der Grund, weshalb man eine geeignete Basis braucht, ist ja gerade, daß man die Zeitentwicklung herausfinden möchte (und an deinem siehst Du auch, daß das ein Energieeigenzustand mit Eigenwert ist).
QuantenWahnsinn	Verfasst am: 03. Jul 2015 22:55    Titel: Jayk hat Folgendes geschrieben: Ich bin zuvor absichtlich nicht darauf eingegangen. Aber da nun explizit von "kontinuierlichen Funktionen" die Rede ist, sag ich es doch: TomS hat Folgendes geschrieben: Es existiert ein mathematisches Theorem, wonach jeder selbstadjungierte Operator Eigenfunktionen hat, die eine Basis darstellen. D.h. dass i.A. q, p, H, eine Basis definieren. Wenn man so etwas sagt, sollte man aber auch darauf hinweisen, daß "Eigenfunktion" mit einem Augenzwinkern zu verstehen ist. Beispiel Ortsoperator: Die Eigenzustände sind Delta-Impulse. Das sind jedenfalls keine "kontinuierlichen Funktionen". Und ich habe oben auch nicht darauf hingewiesen, daß es einen Unterschied zwischen selbstadjungierten Operatoren und hermiteschen Operatoren gibt. Mir erscheint ein Hinweis an dieser Stelle aber angebracht. TomS hat Folgendes geschrieben: Auf den reellen Zahlen wären z.B. ebene Wellen im Sinne einer kontinuierlichen Basis geeignet, in einem endlichen Intervall reduziert sich das auf eine diskrete Basis Ich verstehe nicht ganz, wie Du das mit dem endlichen Intervall meinst. Aber auch für kann man eine diskrete Basis angeben (ist ja ein separabler Hilbertraum). JayK, ich glaube du hast zu viel Mathematik im Kopf. Erklär mir mal wie das mit dem Ket ist Danke.
Jayk	Verfasst am: 03. Jul 2015 21:10    Titel: Ich bin zuvor absichtlich nicht darauf eingegangen. Aber da nun explizit von "kontinuierlichen Funktionen" die Rede ist, sag ich es doch: TomS hat Folgendes geschrieben: Es existiert ein mathematisches Theorem, wonach jeder selbstadjungierte Operator Eigenfunktionen hat, die eine Basis darstellen. D.h. dass i.A. q, p, H, eine Basis definieren. Wenn man so etwas sagt, sollte man aber auch darauf hinweisen, daß "Eigenfunktion" mit einem Augenzwinkern zu verstehen ist. Beispiel Ortsoperator: Die Eigenzustände sind Delta-Impulse. Das sind jedenfalls keine "kontinuierlichen Funktionen". Und ich habe oben auch nicht darauf hingewiesen, daß es einen Unterschied zwischen selbstadjungierten Operatoren und hermiteschen Operatoren gibt. Mir erscheint ein Hinweis an dieser Stelle aber angebracht. TomS hat Folgendes geschrieben: Auf den reellen Zahlen wären z.B. ebene Wellen im Sinne einer kontinuierlichen Basis geeignet, in einem endlichen Intervall reduziert sich das auf eine diskrete Basis Ich verstehe nicht ganz, wie Du das mit dem endlichen Intervall meinst. Aber auch für kann man eine diskrete Basis angeben (ist ja ein separabler Hilbertraum).
QuantenWahnsinn	Verfasst am: 03. Jul 2015 19:32    Titel: hi, danke Tom. Könntest du mir noch erklären wie ich die Basen von so einer Funktion bestimmen kann? Ich will das alles mal nachrechnen. Andere Frage: Was ist in Dirak Notation das standard Ket? ZB . e sind die Eigenwerte zu den passenden Eigenkets auf der Linken Seite. Nun wird > als Standard Ket bezeichnet. Was bedeutet das??
TomS	Verfasst am: 02. Jul 2015 06:43    Titel: QuantenWahnsinn hat Folgendes geschrieben: Ich hab ein System das ich dann quantisiere und dann forme ich den Hamilton Operator, berechne seine Eigenwerte und dann kann ich ein System in Zustand |A> präparieren und die Wahrscheinlichkeitsamplitude berechnen? Wird das so gemacht? Im wesentlichen ja. Man startet mit einem klassischen System mit einer Hamiltonfunktion H(q,p), übersetzt q, p, und H in Operatoren und berechnet zu H Eigenzustände und Eigenwerte. Man kann damit verschiedene observable Größen berechnen, z.B. das Spektrum, Übergänge zwischen verschiedenen Zuständen, Streuung, ... QuantenWahnsinn hat Folgendes geschrieben: ZB. mit der Wellenfunktion was ist eine Basis für so eine Funktion? Ich bin in meinem Buch grade bei Darstellungen angelangt und will das jetzt mit kontinuierlichen Funktionen nachrechnen. Oder ist das so das ich diese Funktion in Fourier Komponenten zerlegen muss und das dann die Basiselemente sind? Die Wahl der Basis hängt vom zugrundeliegenden Konfigurationsraum, dem sogenannten Hilbertraum sowie von deiner speziellen Wahl ab. Auf den reellen Zahlen wären z.B. ebene Wellen im Sinne einer kontinuierlichen Basis geeignet, in einem endlichen Intervall reduziert sich das auf eine diskrete Basis. Es existieren jedoch auch andere Funktionensysteme, die sich je nach Problemstellung als Basis eignen. Es existiert ein mathematisches Theorem, wonach jeder selbstadjungierte Operator Eigenfunktionen hat, die eine Basis darstellen. D.h. dass i.A. q, p, H, eine Basis definieren.
QuantenWahnsinn	Verfasst am: 01. Jul 2015 23:58    Titel: Hoi. Ok gut. Aber wie läuft das ab? Ich hab ein System das ich dann quantisiere und dann forme ich den Hamilton Operator, berechne seine Eigenwerte und dann kann ich ein System in Zustand |A> präparieren und die Wahrscheinlichkeitsamplitude berechnen? Wird das so gemacht? Andere Frage. Z.B. mit der Wellenfunktion was ist eine Basis für so eine Funktion? Ich bin in meinem Buch grade bei Darstellungen angelangt und will das jetzt mit kontinuierlichen Funktionen nachrechnen. Oder ist das so das ich diese Funktion in Fourier Komponenten zerlegen muss und das dann die Basiselemente sind?
Jayk	Verfasst am: 29. Jun 2015 17:10    Titel: Generell ist es so, daß hermitesche Operatoren in der Quantenmechanik Observable wie z.B. Energie, Ort, Impuls, Drehimpuls, Spin, ... repräsentieren. Bei einer Messung bekommt man die Eigenwerte und nach der Messung findet man das System in einem Eigenzustand. Allerdings muß ein Eigenzustand eines Operators nicht unbedingt ein Eigenzustand eines anderen Operators sein und in diesem Fall hast Du eine Unschärfe. Wenn Du zum Beispiel eine Ortsmessung durchführst, hast Du danach einen wohldefinierten Ort, aber einen unbestimmten Impuls und wenn Du anschließend den Impuls mißt, ist der Ort unbestimmt usw. Eine Messung ist immer auch eine Präparation.
QuantenWahnsinn	Verfasst am: 29. Jun 2015 16:50    Titel: Hilfe bei QM und Zustände Ich bringe mit QM so nach und nach selbst bei und versuche mir eigene Beispiele auszudenken. Es sei nun der hermitische Operator gegeben Mit Eigenwerten undEigenkets: Nun weiß ich das dieser Ausdruck: Die Wahrscheinlichkeit angibt das sich der Zustand nach Anwendung von in befindet. Ok, was ist aber jetzt wenn ich irgendeinen Zustand habe der kein Eigenket des Operators ist wie z.B. ? Was bedeutet das? Kann das ein beliebiger Zustand sein? Oder wird so ein beliebiger Zustand durch ein experimentelles setup hergestellt?

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