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[quote="IronPhoenix"]Das Problem kommt einzig und allein von der Energieabhaengigkeit der Selbstenergie. Wenn diese energieunabhaengig waere, so koennte man das Problem ganz einfach mit linearer Algebra aus dem ersten Semester loesen. :lehrer: Wenn man davon ausgeht, dass sich die energieabhaengigen Operatoren (GW-Hamiltonian und Ueberlappoperator) in der verwendeten hermiteschen Naehrung als Produkt einer reellen energieabhaengigen Funktion mit einem hermiteschen energieunabhaengigen Operator darstellen lassen, so laesst sich das Problem wieder mit linearer Algebra loesen (zumindest wenn im Verlauf der Iterationen kein Ueberkreuzen von Zustaenden auftritt). Leider wird in dem von mir im Eingangspost verlinkten Paper aber nicht darauf eingegangen ob bzw. wie es konkret gemacht wird. :hammer: Was meint ihr? Ist dieser Ansatz zulaessig?[/quote]
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IronPhoenix
Verfasst am: 22. Okt 2018 13:04
Titel:
Hmmm ... es werden also NICHT alle Matrixelemente der Operatoren
bzw.
betrachtet, sondern die Operatoren werden genutzt um einen neuen hermiteschen Operator zu definieren mit dem man dann das Eigenwertproblem anstelle des urspruenglichen Eigenwertproblems loest. Wenn man soweit kommt, ist die Problemloesung trivial (Hauptachsentransformation).
Die hermitesche Naeherung duerfte vertretbar sein, aber warum ist die Ersetzung zulaessig???
IronPhoenix
Verfasst am: 15. Okt 2018 12:46
Titel:
Das Problem kommt einzig und allein von der Energieabhaengigkeit der Selbstenergie. Wenn diese energieunabhaengig waere, so koennte man das Problem ganz einfach mit linearer Algebra aus dem ersten Semester loesen.
Wenn man davon ausgeht, dass sich die energieabhaengigen Operatoren (GW-Hamiltonian und Ueberlappoperator) in der verwendeten hermiteschen Naehrung als Produkt einer reellen energieabhaengigen Funktion mit einem hermiteschen energieunabhaengigen Operator darstellen lassen, so laesst sich das Problem wieder mit linearer Algebra loesen (zumindest wenn im Verlauf der Iterationen kein Ueberkreuzen von Zustaenden auftritt). Leider wird in dem von mir im Eingangspost verlinkten Paper aber nicht darauf eingegangen ob bzw. wie es konkret gemacht wird.
Was meint ihr? Ist dieser Ansatz zulaessig?
IronPhoenix
Verfasst am: 04. Okt 2018 15:55
Titel: Quasiteilchengleichung approximativ lösen
Ich beschäftigte mich mit der approximativen Lösung der Quasiteilchengleichung, nach deren Herleitung ich bereits in einem anderen Post gefragt habe.
https://www.physikerboard.de/topic,56937,-quasiteilchengleichung-vielteilchenstoerungstheorie.html
Zuerst wird das Newton-Raphson-Verfahren zur Nullstellenbestimmung angewandt. Das heißt die Selbstenergie wird bis zur ersten Ordnung Taylor-entwickelt und zwar in Bezug auf die Energie E um ihren ursprünglichen Näherungswert (vorherige Iteration bzw. Startwert aus der DFT). Der GW-Hamiltonian H und der "overlap operator" S sind nun aber leider nicht hermitesch. E gehört wahrscheinlich nicht in die Definition von S (ist in der unten genannten Veröffentlichung vermutlich falsch angegeben). Für einen hinreichend guten "starting point" sollte es aber eine vertretbare Näherung sein nur die hermiteschen Anteile der Operatoren zu betrachten.
https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.99.246403
Mir ist nicht klar, wie man damit auf ein hermitesches Eigenwertproblem kommt. Insbesondere geht es mir um die Herleitung von Gleichung (3) (Satz von der Hauptachsentransformation ist natürlich bekannt).
Wenn ich die Wellenfunktionen Psi in der Basis der Orbitalwellenfunktion Phi entwickle (Koeffizienten c_mn) komme ich auf folgende Gleichung.
Wie aber kann ich das als hermitesches Eigenwertproblem aufschreiben?! Oder habe ich davor schon irgendeinen Fehler?!