Lagrange-Mechnik, Nr. 2

Ultima · Anmeldungsdatum: 15.04.2005 Beiträge: 151

Guten Tag

es geht bei mir jetzt um ein Pendel mit zwei Freiheitsgraden, den beiden Winkeln

. Man sollte die Lagrange-Gleichung aufstellen und die Bewegungsgleichungen ableiten. Das habe ich schon gemacht und es stimmt auch soweit. Hier mal die beiden Gleichungen:

Jetzt lautet die folgende Aufgabe:
Integriere die Lagrange-Gleichungen (explizite Berechnung ist nicht erforderlich).

Ich habe mir gedacht die untere Gleichung kann man ja nach

auflösen, da ja der Ausdruck in Klammern konstant sein muss, damit die Ableitung nacht t null wird. Dann kann man nämlich

in die obere Gleichung einsetzen und das Integral aufstellen. Gelöst werden muss es ja nicht. Stimmt das?

2. Skizzieren Sie ein effektives Potenzial für die Koordinate

Hier steige ich jetzt komplett aus, woher bekomme ich denn das effektive Potenzial?

Kann mir bitte jemand weiterhelfen. Vielen Dank

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In einer anderen Aufgabe soll ich noch zeigen, dass die beiden Lagrange-gleichungen

mit

zu den gleichen Bewegungsgleichungen führen! Darf ich da für

ansetzen, oder nicht?! Was setze ich für die Funktion f(q,t) an?

Danke und schönes Wochenende

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Bei der ersten wäre es vielleicht hilfreich, wenn Du einfach mal noch die Lagrange-Funktion hingeschreiben hättest. Sonst weiß man ja gar nicht, wie Du auf die beiden Lagrange-Gleichungen gekommen bist.

Bei der zweiten: Du musst Da für L nichts konkretes ansetzen, genau so wenig wie für f. Du musst einfach nur Deine transformierte Lagrange-Funktion L' nehmen und in die Lagrange-Gleichung einsetzen. Dabei ist übrigens:

Und das musst Du auch so in die Lagrange-Gleichung einsetzen. //Edit: Hier vielleicht nochmal etwas genau, wie ich das meine: Du weißt, dass L eine Lagrange-Funktion ist. Die Bewegungsgleichung bekommst Du raus, wenn Du sie in die Lagrange-Gleichung einsetzt. Wenn Du die neue L' dort einsetzt und das so umformen kannst, dass nachher genau die Lagrange-Gleichung nur eben für L dasteht, dann muss aus L' die selbe Bewegungsgleichung hervorgehen, wie sie auch aus L hervorginge. Ganz allgemein, ohne etwas spezielles für f und L anzunehmen, außer dass L eine Lagrangefunktion ist, die von q, q' und t abhängt und f nur von q und t.
Man nennt so was übrigens eine "kanonische Transformation".

Gruß
Marco

Ultima · Anmeldungsdatum: 15.04.2005 Beiträge: 151

Danke für die ausführliche Antwort, dass mit der zwei werde ich gleich mal probieren.

Bei der 1) kann ich natürliche die Lagrange-Funktion posten:

Die haben wir schon in der Übung soweit hergeleitet und davon die Bewegungsgleichungen abzuleiten, ist ja nicht so schwer. Allerdings habe ich eben dann mit der erwähnten Fragstellung Probleme.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich habe mal in meinem Kuypers nachgeschaut. Da ist so ne ähnliche Aufgabe drin. Mir ist zwar noch nicht ganz klar, was Du genau machen sollst, aber das, was Du vorhast (Einsetzen von Psi' in die erste Gleichung), das machen die zumindest auch. Es geht dann weiter, dass sie an diese Gleichung noch ein

dran multiplizieren, so dass sie wieder auf eine Ableitung nach der Zeit kommen (

und so weiter). Und auch hier geht die Argumentation wieder: Wenn die ganze Ableitung nach der Zeit 0 sein muss, dann ist alles unten drunter eine Konstante (hier die Energie).

Weiß nicht, ob das weiter hilft. Vielleicht hast Du ja den Kuypers selbst auch? Übrigens: Die Variablen sind normalerweise die Kugelkoordinaten und das ist dann nicht phi und psi, sondern theta und phi, wobei Dein phi eigentlich ein theta sein sollte und Dein psi eigentlich ein phi. Hast Du da was verwechselt, oder habt Ihr das in der Übung tatsächlich mit diesen etwas ungewöhnlichen Variablennamen gemacht?

Gruß
Marco

Ultima · Anmeldungsdatum: 15.04.2005 Beiträge: 151

guten Abend,

leider habe ich selbst keinen Kuypers, weil er mir ehrlich gesagt für gerade mal ein Semester etwas zu teuer ist. Lohnt sich der auch für längere Zeit, kann man daraus gut für das Vordiplom etc. lernen? Dann wäre es schon eine Überlegung wert. Im Moment habe ich nämlich noch kein Buch, aber der Kupers, Golstein und Landau ist mal bestellt in der Bib, die kommen aber erst Mitte November...

Wir haben in der Vorlesung schon eine ähnliche Aufgabe behandelt. Da ging es um eine Bewegung eines Teilchens auf einem Kreiskegel. Dort haben wir auch dir Lagrange Funktion bestimmt, dann die Gleichungen unddaraus die Bewegungsgleichungen, dort waren es allerdings Polarkoordinaten, also Abhängigkeit von r (Radius) und Phi (Winkel). Das mit dem Auflösen und Einsetzen haben wir dort auchgemacht und plötzlich stand nur noch eine Gleichung da, daraus konnte man dann auch schon die Kraft F sehen und die haben wir dann gleich

gesetzt. Dann stand auch schon das Integral für das effektive Potenzial da. Ich vermute mal das ist hier auch gemeint, aber sicher bin ich mir bei der Sache überhaupt nicht. Wir haben in der Vorlesung nämlich dann noch weiter gemacht und dann wissen wollen, wann so eine Trajektorie auf dem Kegel geschlossen ist und wann nicht. Haben dann wieder weiterintegriert bis irgendwann ein Integral für die Zeit t dastand. Das ganze ging über eineinhalb Seiten.
Ich denke das gleiche ist hier auch verlangt, aber mir ist nicht ganz klar, was da jetzt bei Teilaufgabe a) genau gefragt ist. da steht ja nur, man solle die Bewegungsgleichungen integrieren!

Bei der anderen Aufgabe mit den beiden Lagrangegleichungen habe ich jetzt mal weiter gemacht, aber da kommen ja ziemlich schlimme Terme raus. Ich habe L' eingesetzt in die Lagrange Gleichung und begonnen abzuleiten. Das ist das Ergebnis:

Das Vereinfachen klappt überhaupt nicht, obwohl es ja nur Ableiten etc. ist, aber mit diesen allgemeinen Funktionen kann ich ehrlich gesagt momentan nicht viel anfangen, wie kommt man da sinnvoll voran, hast du eine Idee für mich? Das gilt auch prinzipiell, falls das hier falsch sein sollte

\Edit: Bei der anderen Aufgabe handelt es sich selbstverständlich um Kugelkoordinanten. Tut mir leid für die blöde Notation. Das Phi ist wirklich ein Phi bei dem Aufgabenblatt allerdings ist das Psi ein Tetta. War mein Fehler weil ich nicht wusste wie man in TeX ein Tetta, richtig schreibt! Das Phi ist der Winkel wo die 1 dimensionale Bewegung wie bei einem Pendel beschreibt und das Tetta ist der Freiheitsgrad für den "Äuquator" laut Zeichung.