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Enthalpus-Laplacus
Anmeldungsdatum: 02.12.2004
Beiträge: 271
Wohnort: Bavaria
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Gast
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 Gast Verfasst am: 02. Dez 2004 08:28 Titel: |
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Mit Variationsrechnung, oder auch mit Schülermitteln lösbar?
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Enthalpus-Laplacus
Anmeldungsdatum: 02.12.2004
Beiträge: 271
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| Enthalpus-Laplacus Verfasst am: 02. Dez 2004 12:45 Titel: |
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| Anonymous hat Folgendes geschrieben: | | Mit Variationsrechnung, oder auch mit Schülermitteln lösbar? |
Die Aufgabe sollte jedenfalls im Prinzip mit dem Mathematikwissen aus der 9. bis 12. Klasse lösbar sein. Aber sicher bin ich mir da nicht !??
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MfG
Enthalpus |
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Simonko_
Gast
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| Simonko_ Verfasst am: 02. Dez 2004 14:01 Titel: |
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das quadrat nicht in 3 d zeichnen sondern 2d auf einem blatt. und dann die kürzeste verbindung einzeichnen
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
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| navajo Verfasst am: 02. Dez 2004 16:00 Titel: |
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| Zitat: | | Die auf dem Bild abgebildete Ameise, die nicht fliegen sondern nur krabbeln kann möchte vom grünen Punkt A zum roten Punkt G |
Wo kann sie denn überall langkrabbeln? Nur entlang der Verbindungsstrecken?
EDIT: Hmm ich nehme an nur auf der Oberfläche des Würfels, oder?
| Zitat: | Und natürlich (sonst wäre es ja keine Physik Aufgabe) die Arbeit (Als "Funktion" des Weges sozusagen)welche von der Ameise aufzubringen ist.
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Dürfte das nicht unabhängig vom gewählten Weg sein? Also Arbeit gleich Potentielle Energie der Ameise am Punkt G.
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Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne. |
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Sciencefreak
Anmeldungsdatum: 30.11.2004
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| Sciencefreak Verfasst am: 02. Dez 2004 17:22 Titel: |
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Ich kenne die Aufgabe so, dass sie nur an der Oberfläche entlang krabbeln darf, aber dass ist doch für die Arbeit vollkommen unerheblich, da man nur die potentielle Energie um einen festen Betrag vergrößern muss, da kann die Ameise auch erst auf dem Quadrat was unten liegt hin und her rennen. Nur dann würde der schnellste Weg nicht mehr stimmen.Warum eigentlich der schnellste Weg? Müsste dass nicht heißen der kürzeste Weg? Ansonsten sagt man einfach die Ameise muss halt nur doppelt so schnell laufen, dann hat sie trotzdem die gleiche Zeit gebraucht.
Und was soll das für eine "Funktion" für den schnellsten Weg sein? Es gibt 6 kürzeste Wege, aber wie soll man die in eine Funktion fassen? Und vor allem, wozu braucht man hier Integralrechnung, oder was sollte dass für eine Andeutung sein?
@Simonko:Ich würde mal gerne ein 3 dimensionales Quadrat sehen.
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
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| navajo Verfasst am: 02. Dez 2004 18:03 Titel: |
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Ich vermute mal, dass die Ameise in der Ebene ABEF entlang einer Zykloide zum Punkt F hochkrabbelt und dann gerade von F nach G läuft. (Oder halt in der ADEH-Ebene analog).
Aber das müsste man ja mal nachrechnen. 
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Nikolas
Ehrenmitglied
Anmeldungsdatum: 14.03.2004
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Sciencefreak
Anmeldungsdatum: 30.11.2004
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| Sciencefreak Verfasst am: 02. Dez 2004 18:15 Titel: |
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Man kann begründen, dass sie mindestens über (oder am Rand von) 2 Seitenflächen laufen muss. Und dann kann man noch zeigen, dass die eine Ecke der auf die Ebene geklappten 2 Flächen genau gegenüber der anderen liegt. Sprich dass sie diagonal über das Rechteck laufen muss um den kürzesten Weg zu erhalten. Für die beiden Quadratflächen gibt es halt 6 Möglichkeiten, aber alle sind gleich lang, da die Seitenflächen alle Quadrate mit der gleichen Kantenlänge sind
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Enthalpus-Laplacus
Anmeldungsdatum: 02.12.2004
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| Enthalpus-Laplacus Verfasst am: 03. Dez 2004 08:40 Titel: Des Ameise-Rätsels Lösung |
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Also der erste Teil der Aufgabe () ist mit dem Satz der Pythagoras zu Lösen.
Wie aus dem Bidlchen ersichtlich ist.
Und bei zweiten Teil hatte Sciencefreak natürlich recht. Die Arbeit hängt nur von der Potentialdifferenz ab. Somit hat das sonstige rumgewusel der Ameise nichts zur Arbeit beizutragen
Grund: Die Gravitationskraft ist eine konservative Kraft, sprich ihr Linienintegral also auch ihre Arbeit ist Wegunabhängig.
Somit ist E=m*g*h=m*g*c und
| Beschreibung: |
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6301 mal |
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MfG
Enthalpus |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
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| navajo Verfasst am: 03. Dez 2004 10:47 Titel: |
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Öhh, die Lösung ist doch aber noch nicht komplett?! Es war doch der schnellste Weg gefragt und nicht der kürzeste? Wenn das doch schon der schnellste Weg ist, dann würde ich gerne wissen warum.
Ne Zykloide ist sowas: *click*
Wir haben in der Theorie Vorlesung mal gezeigt, dass die Kurve die 2 Punkte verbindet und auf der ein Fallendes Teilchen die kürzeste Zeit braucht eine Zykloide ist. Daher bin auf die Zykloide gekommen. Aber eigentlich müsste die Ameise auf der Kurve wo sie am schnellsten fällt, ja am langsamsten hochkrabbeln?  Von daher ist mein Ansatz so wohl falsch.[/url]
Ich hab grad mal kurz versucht, das analog fürs hochkrabbeln herzuleiten, allerdings bekomm ich das auf die schnelle nicht gebacken. 
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Enthalpus-Laplacus
Anmeldungsdatum: 02.12.2004
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| Enthalpus-Laplacus Verfasst am: 03. Dez 2004 12:09 Titel: Wenig Weg = Wenig Zeit |
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Ich verstehe nicht was du daran nicht verstehst Mr. navajo.
Es ist doch ganz logisch das man für den kürzesten Weg die Wenigste Zeit benötigt.
Wo liegt das Problem?
Wenig Weg = Wenig dafür benötigte Zeit
Und damit hier keiner wieder Anfängt zu motzen:
Das gilt natürlich bei einer konstanten Bewegungs - Geschwindigkeit der Ameise, d.h. v=const
Sonst hat die ganze Aufgabe keinen Sinn und kein Lösung.
Aber mich würde mal interessieren wie das mit deiner Zykloide genau funktionieren soll (also Beweis und so).
Ich kenne das Ding nur als das was du mit deinem Link zeigst.
Denn für mich ist immer noch eine Gerade die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten und am schnellsten fällt man mit Bewegungsrichtung Senkrecht auf Erdoberfläche.
Oder wer es komplizierter will. Vektor der Bewegungsrichtung muss Parallel zum Gravitationsfeld der Erde sein.
Und vor allem: Man kann nicht anders fallen (Es geht nur runter).
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MfG
Enthalpus |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
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seb42
Gast
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| seb42 Verfasst am: 02. Jul 2022 17:14 Titel: |
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Hatten wir mal als Aufgabe in ner Klassenarbeit Stufe 5.
soweit ich weiß sollte man da auch zeigen, dass es Wege gibt die alle Ecken durchlaufen, ohne dass die Ameise eine Kante zweimal durchlaufen muss.
BG
Seb
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5868
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 02. Jul 2022 18:00 Titel: |
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Die Ameise bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit. Dann ist der kürzeste Weg der schnellste.
Die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten ist eine Gerade.
Würfel auf Ebene abwickeln und Punkt A mit G mit einer Geraden verbinden:
^{2} } = a\cdot \sqrt{5})
Steigung
 = \frac{2\cdot a}{a} = 2)
Durchstosspunkt Kante 
Beweis:
^{2} = (\dd x)^{2} +(\dd y)^{2} = (1+ y'^{2} )\cdot (\dd x)^{2})
\cdot \dd x)
 = \sqrt{ (1+ y'^{2} })
In Euler-Lagrange Glchg- einsetzen
 = 0 = \frac{\partial }{\partial y} (1+ y'^{2} ) - \frac{\dd }{\dd x} \frac{\partial }{\partial y}(1+ y'^{2} )=\frac{\dd }{\dd x} (\frac{y'} {\sqrt{1+ y'^{2}}} )
<br />
)
Die Ableitung einer Konstanten ist Null
 \rightarrow y'^{2} = C_1^{2}+C_1^{2}\cdot y'^{2} \rightarrow C_1^{2} = y'^{2} - C_1^{2}\cdot y'^{2} \rightarrow C_1^{2} = y'^{2}\cdot (1-C_1^{2}))
Geradenglchg.
qed
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5868
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| Mathefix Verfasst am: 03. Jul 2022 11:39 Titel: |
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| navajo hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Das gilt natürlich bei einer konstanten Bewegungs - Geschwindigkeit der Ameise, d.h. v=const |
Hmm nagut, ich hatte angenommen, dass die Ameise durch die Schwerkraft gebremst wird. Bei Konstanter Geschwindigkeit ist es natürlich eine Gerade.
| Zitat: | | Wenig Weg = Wenig dafür benötigte Zeit |
Das gilt auch nur wenn auf allen Wegen die Geschwindigkeit gleich ist. GegenBsp: Autobahn / Landstraße.
| Zitat: | | Aber mich würde mal interessieren wie das mit deiner Zykloide genau funktionieren soll (also Beweis und so). |
Ich mal mal erstmal ein Bild.
Der Ausgangspunkt ist der Punkt 1 und der Zielpunkt soll Punkt 2 sein. An Punkt 1 ist das Teilchen in Ruhe. Gesucht ist die schnellste Fallstrecke. (Man stelle sich zB ein Rohr vor durch das eine Kugel schnellstmöglich von 1 nach 2 fällt). Vll ist schon anschaulich klar, dass die Kurve irgentwie so aussehen muss. Aber ich kann das noch wohl mal herleiten. Aber das mach ich frühestens heute Nacht 
| Zitat: | | Und vor allem: Man kann nicht anders fallen (Es geht nur runter). |
Ja, da muss man halt ensprechende Zwangskräfte haben, die für eine Beschleunigung senkrecht zur Gravitationskraft sorgen. z.B wie bei ner schiefen Ebene, naja vll hätte ich "fallen" in Anführungsstriche setzen sollen  .
(Hmm jetzt frag ich mich selbst ob das bei der Ameise Sinn machen würde. Ob die sich immer so festkrallen kann, dass sie sich quasi den Fallweg selbst aussuchen kann? Wahrscheinlich nicht  ) |
@navajo
Die zwei Punkte verbindende Bahnkurve auf der eine nur der Gravitation unterworfene Masse reibungsfrei am schnellsten fällt, ist eine Brachistochrone.
Diese Bedingung trifft bei der Ameise nicht zu, da
1. Die Ameise nicht frei fällt, sondern angetrieben wird. Das ist nur mit Reibung möglich.
2. Die Strecke auf der Ebene EFGH kein Gefälle hat.
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Brillant
Anmeldungsdatum: 12.02.2013
Beiträge: 1973
Wohnort: Hessen
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| Brillant Verfasst am: 12. Aug 2022 23:51 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten ist eine Gerade. |
Aber oft ist die Gerade nicht als Weg geeignet. Ein Flugzeug kann nicht gerade vom CERN nach Gran Sasso wie die Neutrinos, sondern muss den Bogen entlang der gekrümmten Erdoberfläche nehmen. Dort ist der Großkreis der kürzeste Weg, aber ein Kreis ist keine Gerade.
Und die Ameise kann nicht geradeaus durch den Würfel, sondern muss an seiner Oberfläche bleiben und an der Kante die Richtung wechseln. Auch keine Gerade. Physiker sind doch sonst immer so genau ...
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Glaubt nicht dem Hörensagen ... oder eingewurzelten Anschauungen, auch nicht den Worten eines verehrten Meisters; sondern was ihr selbst gründlich geprüft und als euch selbst und anderen zum Wohle dienend erkannt habt, das nehmt an. Siddhartha Gautama |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5868
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 13. Aug 2022 10:52 Titel: |
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| Brillant hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten ist eine Gerade. |
Aber oft ist die Gerade nicht als Weg geeignet. Ein Flugzeug kann nicht gerade vom CERN nach Gran Sasso wie die Neutrinos, sondern muss den Bogen entlang der gekrümmten Erdoberfläche nehmen. Dort ist der Großkreis der kürzeste Weg, aber ein Kreis ist keine Gerade.
Und die Ameise kann nicht geradeaus durch den Würfel, sondern muss an seiner Oberfläche bleiben und an der Kante die Richtung wechseln. Auch keine Gerade. Physiker sind doch sonst immer so genau ... |
1. Meine Aussage zur geometrisch kürzesten Strecke zwischen 2 Punkten bezog sich auf eine Ebene. Bei der Aufgabenstellung handelt es sich um die Betrachtung der Seitenflächen eines Würfels, also Ebenen.
2. Durch die Abwicklung des Würfels auf eine Ebene ändern sich die Strecken zwischen den Eckpunkten nicht. Die Ameise startet am Punkt A mit dem Winkel alpha = 63,43°. Die obere Vorderkante des Würfels erreicht sie bei a/2 (a = Kantenlänge).
Unter Beibehaltung dieses Winkels erreicht sie den Punkt G. Sie nimmt also, abgesehen vom Übergang von der vertikalen Frontfläche zur horizontalen Deckeffläche, keine Richtungänderung vor.
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Celestina_Shepherd
Gast
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| Celestina_Shepherd Verfasst am: 13. Aug 2022 12:03 Titel: |
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Man könnte dieses Problem natürlich auch auf die Ebene der "Hochschulmathematik" hieven, wenn schon der Begriff der -Brachistochrone- fällt. In diesem Fall müsste für die Ameise eine kinematische Bedingung definiert werden, in welcher Weise sie sich abhängig von der Steigung des Weges bewegt.
Beispiel für das betrachtete Weggebiet (Rechteck: ABCGFE):
wobei AC die x-Richtung und AE die z-Richtung sei.
Geschwindigkeit der Ameise: (in der x-z-Ebene)
 \\ sin(\alpha ) \end{pmatrix}\cdot \left[2-cos(\alpha )\right]\cdot \frac{v_{0} }{2}
<br />
)
Dabei sei:
<br />
)
Die Brachistochrone muss dann "nur" noch der folgenden Bedingung gerecht werden (wie schon von "Mathefix" angesprochen):
}^{(G)} \! \frac{1}{v(x)} \, ds=MIN
<br />
)
mit
v(x) ist dabei der Betrag der Geschwindigkeit (Tangentialgeschwindigkeit) entlang der Brachistochrone. Eine Aufgabe, die dafür prädestniert ist, sie auf numerischen Wege zu lösen, oder?
Es dürfen selbstverständlich auch andere kinematische Bedingungen gewählt werden, die analytisch besser zu lösen sind. Nur sollten sie auch realistsich sein, damit wir weiterhin in der Physik unserer Welt verbleiben;)
Grüße von Celestina.
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Celestina_Shepherd
Gast
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| Celestina_Shepherd Verfasst am: 13. Aug 2022 12:14 Titel: |
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Korrektur !!!
Die Geschwindigkeit der Ameise (in der x-z-Ebene) müsste eher so lauten:
 \\ sin(\alpha ) \end{pmatrix}\cdot \left[2-sin(\alpha )\right]\cdot \frac{v_{0} }{2}
<br />
)
Habe versehentlich die Winkelfunktionen vertauscht!
Grüße
von Celestina
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Celestina_Shepherd
Gast
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| Celestina_Shepherd Verfasst am: 13. Aug 2022 19:13 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
In Euler-Lagrange Glchg- einsetzen
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Beim Einsetzen in die "Lagrange-Gleichung zweiter Art" ist ein klitzekleiner Fehler reingerutscht, denn bei L handelt es sich ja um einen Wurzelausdruck und an einer Stelle muss y' statt y auftauchen. Der Rest ist aber wiederum absolut korrekt!!!
 = 0 = \frac{\partial }{\partial y} (\sqrt{1+ y'^{2}} ) - \frac{\dd }{\dd x} \frac{\partial }{\partial y'}(\sqrt{1+ y'^{2}} )=\frac{\dd }{\dd x} (\frac{y'} {\sqrt{1+ y'^{2}}} )
<br />
)
somit
 = 0 =\frac{y^{''}(x)}{\left(1+y'^{2} \right) ^{\frac{3}{2} } }=K(x)
<br />
)
Bei K(x) handelt es sich um die Krümmungsformel einer Kurve, die in diesem Fall Null ist, also eine Gerade ergibt. Die Randbedingungen geben den Anfangs- und Enpunkt vor (also A und G), sodass durch diese Punkte eine Gerade zu verlaufen hat. Eine wahrlich schöne Lösung von Mathefix, hier mit dieser speziellen Gleichung zu arbeiten.
Grüße
von Celestina
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