Verschiebungsdichte

Ch.L. · Anmeldungsdatum: 16.10.2007 Beiträge: 1

hallo,
ich muss morgen den folgenden verscuh im Physik LK vorführen:
http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph12/versuche/01influenz/influenz.htm.

Nun weiß ich nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll:
Leite aus der Formel für die Feldstärke in einem Plattenkondensator und dem obigen Ergebnis die auch für beliebige Feldtypen geltende Gleichung D = e0�E her.

Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
MfG Ch.L.

schnudel · Anmeldungsdatum: 04.10.2007 Beiträge: 56

Hier ist wieder mal eine Aufgabe unklar gestellt. Von welcher Beziehung soll denn ausgegangen werden um das zu zeigen?

Der saubere weg ist:

Nimm mal eine Punktladung q: Das Feld im Radius r, E(r) ist

Nun denke dir durch den Radius r eine Kugeloberfläche aufgespannt. Die Oberfläche A(r) dieser Kugel ist

Das Feld steht normal auf die Kugeloberfläche. Nun multipliziere E(r) mit A(r) :

Das heisst, hier geht der Radius nicht mehr ein, das Resultat hängt nur mehr von der Ladung q ab, die sich im inneren der Kugel befindet. Es ist nicht relevant, ob der Kugelradius gross oder klein gemacht wird, das Resultat ist immer das selbe. Da beliebige Ladungsverteilungen immer durch Punktladungen zusammengesetzt werden können, kann man allgemein sagen:

Satz von Gauss:
Hat man eine geschlossene Oberfläche (die ein Volumen einschliesst), so ist die Summe aller "(Normalkomponenten von E) x Fläche" gleich der in diesem Volumen eingeschlossenen Ladung geteilt durch

Nun wenden wir das auf eine geladene Platte an:

Wir denken und ein kleines Zylinderstück in der Platte, das etwa die halbe Dicke der Platte hat mit Grundfläche A. Die obere Fläche soll mit der Platte zusammenfallen oder kurz drüberhinausstehen. Da D die Flächenladungsdichte angibt ("Verschiebungsdichte") ist die Ladung in diesem kleinen Zylinder

Kleiner Hinweis zum Verständnis: Die Ladung befindet sich nur an der Oberfläche!

Nun wissen wir aber von oben, dass Feldstärke mal Oberfläche genau q/

sein muss. Da die Feldstärke senkrecht zur Platte steht (allgemein: senkrecht zur metallischen Oberfläche), braucht man die Wand des Zylinders nicht zu berücksichtigen, da hier die Normalkomponente Null ist. Es bleibt nur der Beitrag des oberen Deckels (am unteren Deckel ist E=0, da wir uns im feldfreien Inneren der Platte befinden) und der ist

Das muss aber sein

daher hat man nach kürzen durch A

Da das Zylinderstück beliebig klein gemacht werden kann, kann man es auch ohne weiteres auf eine krumme Fläche draufstellen. Daher gilt der Zusammenhang auch für beliebig geformte Elektroden und Felder. Wir haben also nur aufgrund der Eigenschaften einer Punktladung eine allgemeine Beziehung zwischen Feldstärke und Flächenladungsdichte für beliebig geformte Elektroden herleiten können. Schön, nichtwahr?