B-Feld aus Messung der Lorentz-Kraft in D Dimensionen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18121

Ich bin über ein anderes Problem auf diese Fragestellung gestoßen.

Aufgabe: Zu bestimmen sind alle Komponenten eines homogenen magnetischen Feldes B in D Dimensionen, mittels möglichst wenigen Messungen der Lorentzkraft.

Die Lorentzkraft F in D Dimensionen ist gegeben durch

wobei i,k=1 ... D. B entspricht dem räumlichen Anteil des antisymmetrischen elektromagnetischen Feldstärketensors *).

Für die Messungen geht man wie folgt vor:

(1) Für die erste Messung präpariert man

Damit folgt

(2) ... (n) Für die zweite, dritte, ... n-te Messung präpariert man

und erhält

Damit können in D Dimensionen mittels D-1 Messungen alle Komponenten des magnetischen Feldes bestimmt werden.

Beobachtung: Wählt man für die Präparation der Messungen zwei oder mehr nicht-verschwindende Geschwindigkeitskomponenten, so wird die Situation unübersichtlicher. Man kann für D=4 durch Ausprobieren zeigen, dass für zwei Präparationen mit jeweils zwei nicht-verschwindenden Geschwindigkeiten entweder offensichtlich zu wenig Gleichungen resultieren, oder speziell für nicht-verschwindende Geschwindigkeiten (1,2) und (3,4) das Gleichungssystem wiederum nicht maximalen Rang hat; ich kann das aber nicht allgemein zeigen. Daraus resultiert die

Frage: Wie beweist (oder widerlegt) man die allgemeine Vermutung, dass für

bei keiner Wahl der Geschwindigkeiten das Gleichungssystem für die Komponenten des B-Feldes

maximalen Rang hat? **)

M.a.W. wie zeigt (oder widerlegt) man, dass immer D-1 Messungen zur Bestimmung des B-Feldes notwendig sind?

______
*) B ist antisymmetrisch, d.h.

Das führt in D Dimension auf

unabhängige Komponenten von B.

Man kann B schreiben als

Dabei läuft der Doppelindex A = (mn) über alle Paare m ungleich n; ik bezeichnet die Indizes der Matrizen t; b bezeichnet die N unabhängigen Komponenten von B.

Für A=(mn) gilt

Die Matrizen t entsprechen den Generatoren der Rotationsgruppe SO(D) in D Dimensionen.

**) mittels (*) kann man das Gleichungssystem umformulieren zu