QCD: quarks deep inel. scatt., scaling & violation

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Nach den Fragen zur Skaleninvarianz und der Brechung derselben, biete ich an, ein anderes Thema zu diskutieren, innerhalb dessen dies eine wichtige Rolle spielt.

Dabei geht es um die QCD, konkret die tief-inelastische Streuung von Elektronen an Nukleonen, dabei speziell an den einzelnen Quarks, sowie den daraus resultierenden Erkenntnissen über die Struktur des Nukleons.

Damit man etwas hat, woran man sich festhalten kann:

Deep Inelastic Scattering

Es geht im folgenden nicht um konkrete Rechnungen, dazu ist das Thema zu kompliziert und erfordert zu viel Vorwissen, sondern es geht um die Phänomene und die physikalischen Ideen hinter der Mathematik.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Zum Einstieg

Die innere Struktur von Nukleonen wurde durch Streuung von Elektronen untersucht; Elektronen deswegen, da sie einfach zu beschleunigen sind, und da sie keine eigene Substruktur aufweisen.

Neben der Streuung an Protonen betrachtet man auch die an Neutronen, allerdings nicht isoliert sondern z.B. in einem Deuteron. Hinsichtlich der starken Wechselwirkung verhalten sich Protonen und Neutronen vollkommen identisch, Unterschiede bestehen nur bzgl. Masse und elektrischer Ladung; daher spricht man allgemein von Nukleonen.

Man unterscheidet mehrere Energiebereiche:
a) bei niedrigen Energie streut das Elektron an einem punktförmigen Proton, d.h. an dessen Coulomb-Feld;
b) bei höheren Energien "sieht" das Elektron ein nicht-punktförmiges Proton, d.h. dessen ausgedehnte Ladungsverteilung;
c) bei noch höheren Energien geschehen zwei Dinge: das Elektron löst die Substruktur des Protons auf und streut nun offenbar an punktförmigen Teilchen, den sogenannten Partonen (der Name geht auf Feynman zurück, die Bezeichnung Quarks dann auf Gell-Mann); das Proton bleibt dabei üblicherweise nicht intakt (inelastische Streuung) sondern fragmentiert in einem komplizierten Endzustand X mit sogenannten Jets, den wir im folgenden jedoch nicht weiter betrachten werden (sogenannte inklusive Streuung).
Die Informationen über den Streuprozess und die Partonen im Nukleon wird ausschließlich aus der Winkel- und Impulsverteilung des gestreuten Elektrons ermittelt, dessen sogenannten (differentiellen) Streuquerschnitt.

Prinzipiell schließen höhere Energien die elastische Streuung (a) nicht aus.

Es handelt sich bei (c) und im folgenden also um die (tief)-inelastische Streuung

Die Streuung des Elektrons manifestiert sich im Energie-Impuls-Übertrag sowie im Streuwinkel, d.h. man hat für das einlaufende (in) und das auslaufende (out) Elektron

Das sind letztlich die Messgrößen im Detektor.

Der Energie-Impuls-Übertrag vom einlaufenden Elektron an das Nukleon bezeichnet man mit

Aus dem Energie-Impuls-Viervektor berechnet man die charakteristische invariante Größe q² bzw. -Q² für die Elektronen

In konkreten Rechnungen mittels Feynman-Diagrammen erster Ordnung entspricht q dem Viererimpuls eines "ausgetauschten virtuellen Photons"; "reelle" Photonen haben einen Viererimpuls mit

Als Maß für die Inelastizität des Prozesses führt man die Größe

ein. Betrachtet man die invarianten Massen des Nukleons vor sowie des Zustandes X nach dem Stoß, so gilt

wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn das Nukleon intakt und im Grundzustand bleibt, also

Damit folgt letztlich

und somit

wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn ein elastischer Stoß vorliegt. Umgekehrt bedeutet ein inelastischer Stoß, dass ein Teil der Energie des einlaufenden Elektrons im Nukleon deponiert wird, jedoch nicht in Form kinetischer Energie.

Diese beiden Größen, der Energie-Impuls-Übertrag Q² und die Inelastizität x kennzeichnen die Kinematik des Stoßes vollständig; und es sind gerade diese beiden Größen, die zur Beschreibung der Substruktur des Nukleons dienen werden.

Im pdf werden die kinematischen Größen der Elektronen mit den Indizes 1, 3 bezeichnet, die der Nukleonen mit 2, 4. Außerdem werden durchgängig Vierervektoren verwendet.

Bei hohen Energien der Elektronen im GeV-Bereich kann man außerdem die Masse der Elektronen m=511 keV vernachlässigen, d.h. man nimmt diese als masselos an.

antaris

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TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Kurz noch ein Einschub zur Bedeutung von x.

Wir haben den Energie-Impuls-Übertrag vom Elektron auf das Nukleon, und wir wissen, dass

D.h. es gibt ein Bezugsystem, in dem der Vierervektor q die Form

hat (wobei die z-Achse geeignet gewählt wurde). In diesem System verschwindet die Null-Komponenten d.h. die Energie des ausgetauschten virtuellen Photons.

Unter der Annahme, dass das Photon von einem Parton absorbiert wird, betrachten wir den Bruchteil xi des Viererimpulses p des einlaufenden Protons, den dieses Parton trägt:

Aufgrund der verschwindenden Energie des Photons (in diesem Bezugsystem) gilt für das auslaufende Parton

d.h. es kehrt seine Bewegungsrichtung bei identischer Energie um.

Wertet man Energie- und Impulserhaltung aus, so folgt

D.h. in diesem und nur in diesem speziellen Bezugsystem, dem sogenannten Breit-frame, trägt das Parton den Viererimpuls-Bruchteil x.

Im Ruhesystem des Nukleons gilt sicher

d.h. das Parton kann gar keinen irgendwie gearteten Bruchteil des Impulses tragen, denn dieser ist Null.

antaris

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

antaris

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TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Vor dem Verständnis der Nukleon-Struktur müssen wir erst mal die Messung etwas besser verstehen.

Für Experimente zum Deep-Inelastic Scattering wird ein energiereicher Leptonenstrahl (meist Elektronen) auf ein Target (in Ruhe, oder ebenfalls beschleunigt) aus Protonen oder Neutronen (diese meist in Deuteronen) geschossen.

Die Messung erfolgt durch Detektoren, die die Streuprodukte wie das Elektron, Hadronen (das X) und Photonen (und andere Sekundärteilchen, bisher nicht betrachtet) registrieren. Die kinematischen Variablen wie Impulsübertrag Q und Streuwinkel theta werden gemessen, d.h. aus dem detektierten Elektron rekonstruiert.

Eine zentrale Rolle spielt der Streuquerschnitt

Dieser entspricht zunächst der "wirksamen Fläche" eines Streuzentrums.

Hier interessiert zunächst die Winkelabhängigkeit des sogenannten differentiellen Streuquerschnitts (siehe Anhang), d.h. welcher Anteil der Elektronen wird in welches Winkelelement gestreut. Der Winkel phi ist zunächst nicht relevant, d.h. über ihn wird sozusagen integriert (das ändert sich im Falle der spin-polarisierten Streuung, um auch die Spinstruktur des Nukleons aufzulösen).

Die Struktur des Nukleons soll durch die oben eingeführten invarianten Größen Q² und beschriebene werden, d.h. man interessiert sich für den differentiellen Streuquerschnitt je dQ² und je dx.

Diese Größe ist nicht direkt messbar, jedoch mittels der kinematischen Variablen berechenbar.

Die Idee ist nun folgende: bei bekannter Struktur des Nukleons könnte man diesen differentiellen Streuquerschnitt berechnen. Die tatsächlich jedoch unbekannte Struktur verhindert eine vollständige Berechnung, jedoch kann man diese Struktur in zwei unbekannte Funktionen verpacken, so dass man eine Formel erhält, die eine Beziehung zwischen diesen beiden Funktionen und dem gemessenen differentiellen Wirkungsquerschnitt liefert, so dass man die Funktionen aus den Messdaten rekonstruieren kann. Dabei handelt es sich um die sogenannten Strukturfunktionen des Nukleons, dem heiligen Gral der tief-inelastischen Streuung.

Ich zeige die Idee mal an einfachen Beispielen:

1. Wir betrachten die Streuung eines klassischen punktförmigen Teilchens an einer harten Kugel mit Radius R.

Für Teilchen, die die Kugel treffen, gilt

d.h. in jedes Raumwinkelelement streuen gleich viele Teilchen (das ist letztlich der Grund, warum die Oberflächen von Kugeln überall gleich hell erscheinen und nicht zum Rand der sichtbaren Scheibe hin dunkler werden).

2. Statt der Streuung an einer harten Kugel betrachten wir die Streuung an einem Ellipsoiden

Man erhält die hässliche Formel

Unsere Unkenntnis steckt in den zwei Größen R und zeta. Wenn wir jedoch den Streuversuch durchführen und den Anteil der Kugeln je theta zählen, dann lassen sich daraus die beiden Parameter R und zeta, d.h. die Größe des Ellipsoiden und seine Deformation bestimmen.

Etwas zum lesen siehe hier: https://www.physics.udel.edu/~jim/PHYS425_20S/Class%20Notes/Notes_10.pdf

Genaus das machen wir als nächstes für die Nukleonen ...

*) inwieweit weitere Teilchen analysiert werden, um die Güte der Messung der kinematischen Variablen des Elektrons zu verstehen oder zu verbessern, oder um Ereignisse mit schlechter Datenqualität zu erkennen und zu verwerfen, kann ich nicht sagen; theoretisch tragen die Teilchen, die das X bilden, zusammen exakt die selbe kinematische Information wie das Elektron.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Jetzt müssen wir diesen Streuquerschnitt mittels QED berechnen. Die QCD spielt keine direkte Rolle, da wir nur die elastische Streuung

eines Partons bzw. Quarks q mit einem Elektron über ein virtuelles Photon betrachten, und da wir die unsere Unwissenheit über die Struktur des Nukleons und damit die über den Eingangszustand des Quarks in den genannten Funktionen "verstecken".

Betrachten wir zunächst die Streuung eines strukturlosen Elektrons an einem ebenfalls strukturlosen Myon. Ein Myon nehmen wir deswegen, damit die beiden Teilchen unterscheidbar sind.

Das Feynman-Diagramm im Anhang liefert die Formel für das Übergangsmatrixelement

mit dem Photon-Propagator zwischen den Beiträgen von Elektron

und Myon analog.

Die u's stehen für freie Dirac-Spinoren, d.h. sie beschreiben das einlaufende Elektron mit Impuls k sowie das auslaufende mit k', das am Vertex an das "virtuelle" Photon mit Impuls q koppelt; wiederum das Myon analog.

Mittelung über die Spins, die wir nicht betrachten, liefert für das Absolutquadrat

mit dem über die Spins gemittelten sogenannten leptonischen Tensor

Wenn man das mittels der Regeln für Dirac-Spinoren und -Matrizen berechnet, erhält man

sowie das selbe Ergebnis für das Myon mit dessen Masse M.

Nach einigen Seiten Algebra findet man für das Absolutquadrat, im Laborsystem, sowie für m=0

Rechnet man weiter, gelangt man zum Streuquerschnitt zweier unterscheidbarer, strukturloser Leptonen. Die Algebra liefert uns letztlich die Lorentz-Struktur, also wie das Ergebnis von den Viererimpulsen abhängt:

wobei ... für letztlich einige kinematische Terme und insbs. Normierung steht; das sind Details, die wir nicht benötigen. Die delta-Funktion liefert außerdem die Impulserhaltung, sie legt bei gegeben Impulsen k, k', p, p' das q fest.

Man wird sie los, indem man über p' integriert, d.h. man betrachtet den Impuls p' des auslaufenden Myons nicht.

Letztlich liefert das Matrixelement aus dem Feynman-Diagramm also den differentiellen Streuquerschnitt, insbs. dessen Struktur aufgrund der Lorentz-Invarianz.

Nun macht man etwas Ähnliches für die tief-inelastische Streuung.

Man betrachtet nun

wobei W für den sogenannten hadronische Tensor mit den Beiträgen der Partonen steht.

Den kennen wir nicht, allerdings können wir uns seine Lorentz-Struktur erschließen; dazu benutzen wir die Lorentz-Kovarianz, Impulserhaltung und Paritätserhaltung (letzteres würde nicht für die schwache WW gelten).

Das liefert

wobei P und f bekannte Funktionen von p und q sind, die wir hier nicht benötigen.

Die beiden unbekannten Funktionen W hängen ausschließlich von Lorentz-invarianten Größen ab; in ihnen steckt unser Unwissen über die Partonen im Nukleon.

Man erhält man schließlich

Man beachte, dass sich die Physiker entschieden haben, ein paar Normierungsfaktoren und andere Kleinigkeiten in die neuen Funktionen hineinzupacken; ansonsten ist das Ergebnis strukturell identisch zur obigen Formel für die Elektron-Myon-Streuung.

Und damit lasse ich's erst mal gut sein für heute ...

antaris

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TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Die Indizes 1 und 2 korrigiere ich noch.

Dass die Daten offiziell zugänglich sind, bezweifle ich. Die liegen auf Magnetbändern.

Wenn du das Prinzip verstanden hast, dann ist viel gewonnen.

Der nächste Schritt wäre dann, die beiden Funktionen W zu verstehen.

antaris

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