Poincarescher Wiederkehrsatz

Falcon_@ · Gast

Meine Frage:
Guten Tag,

Ich stelle mir gerade die interessante Frage, ob man den poincareschen Wiederkehrsatz, der ja eine wichtige Rolle in der statistischen Mechanik spielt, vielleicht auch auf das gesamte Universum anwenden könnte.

Die Schlussfolgerung wäre ja, dass sich alles ewig wiederkehrend wiederholen würde.

Gibt es eigentlich dazu Überlegungen?

Meine Ideen:
Ich denke, was womöglich dagegen sprechen könnte, ist die Expansion des Universums. Wäre dadurch auch der Phasenraum nicht mehr konstant, sodass die Voraussetzungen für das Theorem gar nicht mehr erfüllt wären?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Ich denke du hast recht, in einem expandierenden Universum werden die Voraussetzungen nicht gelten. Die quantenmechanische Version des Theorems verwendet ebenfalls einen gewöhnliche Schrödingergleichung in einer ausgezeichneten Zeitkoordinate, was sicher ebenfalls problematisch ist. In einem beschleunigt expandierenden Universum kann das Theorem m.E. weder klassisch noch quantenmechanisch gelten, da die Existenz von Horizonten bedeutet, dass der Phasenraum bzw. Hilbertraum in wechselweise unzugängliche Sektoren zerfällt.

Falcon_@ · Gast

Ah, alles klar, dann lag ich ja gar nicht so verkehrt.

Jetzt aber nochmal blöd gefragt. Wenn es gelingt, eine Theorie der Quantengravitation aufzustellen, muss diese dann zwangsläufig auch einen Wiederkehrsatz enthalten?
Der Gedanke kommt mir, da ja so gesehen die Quantenmechanik die statistische Mechanik erklärt, und in dieser ist ja anscheinend dieses Theorem auch enthalten.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Der Wiederkehrsatz in der Quantenmechanik hat gerade nichts mit Quantenstatistik zu tun. Er besagt für beliebig kleine Abstände d größer Null, dass der Zustandsvektor nach einer endlichen Zeit T wieder zurückkehrt, also näher am Eingangszustand liegt als dieser Abstand d. D.h. er bezieht sich auf reine Zustände.

"Quantengravitation" ist ein wolkiger Begriff.

1. Die Stringtheorie betrachtet insbs. die S-Matrix, keine fundamentale Zeitentwicklung mittels Hamiltonian, daher wüsste ich nicht, wie ich das Theorem überhaupt formulieren soll.

2. In der Loop Quantum Gravity ist der Hamiltonian H ein Constraint *)

und generiert keine Zeitentwicklung. Um eine solche zu erhalten muss man eine physikalische Zeit einführen, und dabei sehe ich nicht, ob die ursprüngliche Argumentation gültig bleibt. Außerdem befassen sich die Physiker aufgrund seit Jahrzehnten ungelöster Probleme mit diesem H lieber mit einem Pfadintegralzugang und damit wieder der S-Matrix.

3. Andere Ansätze mögen ganz anders aussehen, aber die genannten Probleme haben sie alle irgendwie.

*) betrachtet man das relativistische freie Teilchen, so erhält man einen Constraint

der gerade

entspricht; erst durch Wahl einer konkreten Zeit t resultiert eine Hamiltonfunktion h für diese Zeit (und damit ein Hamiltonoperator); in der QG kann man aber nicht einfach eine Zeit aus dem Hut zaubern, da eine Zeit ja erst nach Konstruktion einer Lösung sowie der im klassischen Grenzfall resultierenden Raumzeit folgt, und auch da nicht global und eindeutig, sondern lokal je "Beobachter"

Falcon_@ · Gast

Das war jetzt einiges an Input, aber danke für die Ausführungen! Ich gebe zu, dass ich sie nicht vollständig verstehe, da ich leider nicht Physik insbesondere Quantenmechanik studiert habe.

Verstehe ich es also richtig, daß die quantenmechanische Ausführung des Theorems eine Zeitentwicklung benötigt, die in den möglichen Theorien der Quantengravitation so nicht vorkommen?

Und mal ganz generell gefragt: müssen die nächst höheren Theorien eigentlich logisch zwingend die Sätze und Theoreme der "unteren" Theorie enthalten?
Also beispielsweise erklärt ja die statistische Mechanik die Thermodynamik usw., viele Prinzipien wie das der Entropie findet man dort wieder. Doch muss das zwingend so sein? Deshalb auch mein Gedanke, dass man den Wiederkehrsatz vielleicht in der Quantengravitation wiederfinden könnte...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Falcon_@ · Gast

Ah okay, danke!

Dann ist meine Überlegung, dass es logisch zwingend so sein muss, wahrscheinlich zu scharf?
Eher, dass es bei einigen Theorien in der Vergangenheit so war, es aber nicht logisch so sein muss (siehe QCD).
Wahrscheinlich kann man eher sagen, dass die nächst höhere Theorie im Idealfall die Phänomene der unteren Theorie in einer Näherung (wie du schon geschrieben hast, zb Plantenbewegungen ) mit erklären sollten. Somit könnte man dann auch nicht sagen, dass die Quantengravitation den Wiederkehrsatz enthält, weil das Phänomen ja vielleicht auch auf ganz andere Art und Weise zustande kommt (weiß man halt noch nicht).

Oder bin ich auf dem Holzweg?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Falcon_@ · Gast

Ja das stimmt natürlich, man kann sich da ja auch gemäß Popper nie so sicher sein Augenzwinkern

Tut mir Leid, dass ich jetzt nochmal wiederholt so nervig frage, aber ich bin mir immer noch unschlüssig. Muss eine neue Theorie nur die Phänome der bisherigen Theorien näherungsweise erklären können, oder muss sie auch die gleichen Prinzipien (wie zb den Wiederkehrsatz) beherbergen?
Wie logisch zwingend ist was?

Vorstellbar wäre ja zb auch, dass ganz andere Ursachen, die selbst mit " einem Wiederkehrsatz" nichts zu tun haben, die Wiederkehr des Zustandsvektors in der Quantenmechanik hervorbringen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Falcon_@ · Gast

Ähm, ich glaube dann verstehe ich etwas falsch. In ein paar Artikeln habe ich nämlich gelesen, dass einige Physiker schon den Wiederkehrsatz in der Quantenmechanik auf Grund von Experimenten bestätigt sehen. Vielleicht kann ich noch einen Link heraussuchen.

Falcon_@ · Gast

derstandard.de/story/2000074869207/poincares-wiederkehrsatz-gilt-auch-in-der-quantenwelt

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Falcon_@ · Gast

Mist, dann habe ich wohl wirklich etwas falsch verstanden.
Ich dachte in der statistischen Mechanik gehen auch testbare Phänome aus dem poincareschen Wiederkehrsatz hervor; zb kann die Entropie bei entsprechend kleinen Systemen ja mal für eine sehr kurze Zeitspanne abnehmen, ohne den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik zu verletzen.

Das man ihn in der Quantenmechanik gar nicht testen kann, verwirrt mich jetzt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Falcon_@ · Gast

Vielen Dank für die Erklärung!

Damit unterscheidet sich die quantenmechanische Version ja deutlich von der der statistischen Mechanik!

Dann ist mir auch klar, warum man den Satz hier empirisch nicht erfassen kann...

Damit schließt sich dann ja eigentlich der Kreis zu meinen gestern noch offenen Fragen: ob also so ein Theorem in einer Quantengravitationstheorie vorkommen wird,: kann sein, kann auch nicht sein....wissen wir nicht.

Was mich nur noch mal im Bezug auf das Thema Quantengravitation und Co nochmal interessieren würde: wie kommt man denn, wenn man das Universum quantenmechanisch beschreibt, vom gesamten Zustand des Universum auf den einzelnen Zustand eines Teilchens?
Hoffe, ich habe es richtig formuliert...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Wenn wir das weiter diskutieren, dann aber besser in einem separaten Thread.

Falcon_@ · Gast

Ah okay,

Ich will die Quantengravitation auch gar nicht weiter diskutieren, ich kann dazu leider eh nichts vernünftiges beitragen.

Was mich nur nochmal interessiert (dafür will ich eigentlich nicht extra ein Thema eröffnen):
Wäre dann in dem Zustandsvektor, der das gesamte Universum beschreibt, jedes einzelne Teilchen, dass es im Universum gibt, enthalten? Bei den Vielteilchensystemen ist das ja so, wenn ich mir deine Ausführungen ansehe...

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 297

Man muss weder die Quantenmechanik noch ein expandierendes Universum betrachten um zu sehen, dass der Wiederkehrsatz für unser Universum als Ganzes nicht anwendbar ist.

Es reicht bereits das Zweikörperproblem im euklidischen Raum zu betrachten. Da hier ungebundene Trajektorien Lösungen sind, gibt es kein endliches Phasenraumvolumen und somit, wie auch intuitiv völlig klar, keine Wiederkehr.

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 297

Zum quantenmechanischen Wiederkehrsatz: Ich kenne hier nur den Beweis, der auf Wikipedia zu finden ist, der jedoch ein diskretes Energiespektrum voraussetzt.

Ein diskretes Energiespektrum ist natürlich eine enorme Einschränkung und gilt nicht einmal für eines der einfachsten Modelle wie dem Wasserstoffatom.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 297

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Falcon_@ · Gast

Nur was bedeutet das jetzt, wenn er auch für das Volumen gilt? Ist er dann doch auf das Universum anwendbar, oder nur wenn das Volumen konstant ist, was ja beim Universum nicht gegeben ist?

Falcon_@ · Gast

Oder was bedeutet es, dass der Wiederkehrsatz in der Quantenmechanik für das Volumen gilt? Vielleicht kann mir das ja noch jemand beantworten.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Zunächst mal ist die Anwendung des holographischen Prinzip auf das gesamte Universum noch höchst fragwürdig, da wir es mit einem unendlichen, beschleunigt expandieren, so genannten de-Sitter-Universum zu tun haben, das holographische Prinzip aber gerade für diese Geometrie des Universums (noch?) nicht funktioniert bzw. formuliert werden konnte. Ich hatte es erwähnt, weil du nach der Quantengravitation gefragt hast, und weil man in diesem Kontext immer wieder auf das holographische Prinzip stößt.

Findet man ein endliches Volumen, auf das das Prinzip zutrifft – nach einigen Berechnungen könnte das das Innere des Ereignishorizont eines schwarzen Lochs sein – so funktioniert die Argumentation wie folgt: das holographische Prinzip besagt in einigen Formulierungen grob, dass die Physik im Volumen durch eine andere mathematische Theorie vollständig beschrieben werden kann, die ausschließlich auf der Oberfläche des umschlossene Volumens "lebt". Außerdem besagt das holographische Prinzip, dass die Anzahl der Freiheitsgrade auf dieser Oberfläche endlich ist.

Und damit wären wir wieder bei der oben von Corbi genannten Argumentation, dass in einem derartigen Fall der Wiederkehrsatz folgen würde. Der Umweg über die Oberfläche ist deswegen spannend, weil uns das holographische Prinzip erlaubt, etwas über die Physik im Inneren des Volumens auszusagen, ohne die Berechnungen im Volumen tatsächlich ausführen zu müssen – es genügen verwandte Berechnungen auf der Oberfläche. Also Wiederkehrsatz auf der Oberfläche => Wiederkehrsatz im Volumen.

Aber eventuell führt uns das zu weit von deiner ursprünglichen Frage weg, und wir stapeln natürlich Hypothese auf Hypothese auf Hypothese

Falcon_@ · Gast

Alles klar, danke für die Ausführung, sehr interessant! Wirklich vielen Dank, dass du mir trotz der vielleicht relativ unscharfen Fragen antwortest!

Dies würde dann ja aber erstmal nur für die Quantenmechanik bzw für Qm Version gelten, oder? Noch nicht für entsprechende vorläufige Quantengravitationstheorien?

Und gilt das holographische Prinzip automatisch in einem endlichen, torusartigen Universum?

Was würde dann generell in den Bereichen passieren, in denen das Satz gilt? Würden sich dort alle Handlungen quasi in einer Endlosschleife wiederholen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Falcon_@ · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Dazu wissen wir noch zu wenig.

Es gibt einfache und lösbare Spielzeugmodelle, in denen das wohl zutrifft, aber diese Modelle haben Eigenschaften, die auf unser Universum sicher nicht zutreffen.

Falcon_@ · Gast

Okay, also kurz um, abwarten, was eine neue Theorie bringen wird.

Hältst du deine Argumentation am Anfang aber nach wie vor noch für richtig (also, warum der Satz nicht anwendbar ist ->expandierendes Universum, Horizonte usw.)?

Und nur mal rein spekulativ angenommen, er wäre für das Universum gültig, was würde das dann bedeuten? Etwa das ein identischer Nachfolger von mir in Milliarden von Jahren in solch einem Forum die gleichen Fragen stellt?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Falcon_@ · Gast

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 297

Falcon_@ · Gast

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 297

Falcon_@ · Gast

Super, danke für die Erklärung! Dann lag ich ja gar nicht so falsch!

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 297