Positionsermittlung mit scheinbaren Signallaufzeiten

Planlos3 · Gast

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

"Du befindest dich an Punkt Q, irgendwo auf einer 6 km langen Strecke an deren Enden P und R sich jeweils ein Zeitsender mit einer UTC-Atomuhr befindet. Zur Positionsbestimmung misst du mit deiner nicht synchronisierten Uhr die scheinbaren Signallaufzeiten zu den Zeitsendern und ermittelst die Werte t_Q = 4 µs und t_R = -12 µs; die tatsächlichen Laufzeiten weichen um die unbekannte Konstante delta von der UTC ab. Zur Vereinfachung soll für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c = 3 · 10^5 km/s gelten."

Gefragt ist, wie mittels t_Q und t_R die Entfernung PQ und die Abweichungskonstante delta ermittelt werden können.

VG
Planlos3

Meine Ideen:
Idee ist, anhand der Laufzeiten die Entfernungen PQ und QR zu ermitteln und das "Gap" zu halbieren, weil dort wohl mein Aufenthalsort sein wird.
Dieser Ansatz ist mir aber deutlich zu schwammig und kann bestenfalls einer groben Positionsbestimmung dienen. Fakt ist, dass ich total planlos bin bei der Herleitung einer Formel für die exakte Positionsbestimmung und die Ermittlung der Abweichungskonstante delta.

Planlos3 · Gast

Sorry, es müsste "t_P" und nicht "t_Q" heißen...

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5888

Wenn s=6km die Strecke zwischen P und R ist, muss für die Summe der Laufzeiten gelten

Nun weicht die Uhr bei Q aber um Delta t von der UTC ab. Wie wirkt sich das auf die gemessenen Laufzeiten t_P, t_R aus, und wie muss das in der Gleichung folglich noch korrigiert werden?

Über die korrigierte Laufzeit t_P ergibt sich dann einfach auch der Abstand zwischen P und Q.

Planlos3 · Gast

Danke schön! Die Antwort hat mir sehr geholfen.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, liegen mir diese Ergebnisse vor:

Delta_t = -2,5
Entfernung PQ = -3 km
Entfernung QR = 9 km

Kann ich aus dem Ergebnis schlussfolgern, dass die Angabe falsch ist? Denn dort steht doch, dass ich mich irgendwo auf der Strecke PR befinde und nicht außerhalb?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5888

Delta_t ist noch nicht richtig, die Abweichung ist betragsmässig grösser. Damit liegt Q auch zwischen P und R. Wie sieht bei Dir denn die Gleichung aus?

Planlos3 · Gast

Für die Laufzeit der Gesamtstrecke PR habe ich 20 µs ausgerechnet.

Die Abweichung Delta_t bezieht sich meines Erachtens auf die Abweichung meiner Uhrzeit zur UTC und müsste deshalb für beide empfangenen Zeitsignale gleichermaßen gelten.

Daraus folgerte ich:

Delta_t * (t_P + t_R) = 20 µs <> Delta_t = 20 µs / (t_P + t_R)

Werte eingesetzt:

Delta_t = 20 µs / (4 µs – 12 µs) = -2,5

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5888

Die Laufzeit wird ja vermutlich so ermittelt, dass die Differenz zwischen der gemessenen Ankunftszeit bei Q und der Zeit beim Senden berechnet wird, d.h. z.B.

Wenn die eigene Uhr bei Q um Delta_t von der UTC abweicht, so gilt für die korrekte Laufzeit

Damit sollte sich Delta_t=-14 micro s ergeben.

Planlos3 · Gast

Super, jetzt habe ich es verstanden und kommen auf folgende Ergebnisse:

Delta_t = -14 µs
Entfernung PQ = 5,4 km
Entfernung QR = 0,6 km

Allerbesten Dank für deine Geduld und freundliche Unterstützung!

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5888

Müsste stimmen Thumbs up!

- und gern geschehen.