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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 678
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 Sonnenwind Verfasst am: 02. Aug 2023 17:22 Titel: Voll verdreht |
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Ich habe da mal eine Frage wegen der populärwissenschaftlichen Behauptung, dass Fermionen erst nach einer Drehung von 720° wieder sie selbst sind.
Man habe einen Labortisch und führe dort irgendein Experiment mit Fermionen aus wie z.B. Spinmessung.
Eine Person A stehe vor dem Labortisch und eine Person B stehe auf dem Labortisch, dann wird der Labortisch langsam um 360° gedreht, wieso sollte dann für Person A bzw. Person B irgendetwas anders sein als vor der Drehung? Zumal sich aus Sicht von Person B der Labortisch gar nicht dreht.
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 02. Aug 2023 17:56 Titel: |
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Die Frage ist falsch gestellt.
Es geht nicht darum, warum bei Spinoren erst eine Rotation von 720° wieder die Identität ergibt, sondern warum dies bei Vektoren bereits bei 360° der Fall ist.
Die Antworten findest du z.B. unter SU(2) to SO(3) homomorphism oder SU(2) representations.
SU(2) ist fundamentaler als SO(3). Sie Spinor-Darstellung ist die Fundamentaldarstellung der SU(2), die SO(3) entspricht speziell der adjungierten Darstellung der SU(2).
Man kann letztere wir folgt konstruieren: die adjungierte Darstellung einer Gruppe ist gerade die Darstellung, die auf der zugehörigen Algebra operiert, hier also su(2).
Die SU(2) Drehmatrizen sind Matrizen der Form
 = \exp[i \, \sigma_a \, \phi_a / 2])
wobei die sigma für die drei Pauli-Matrizen mit a=1,2,3 entspr. x,y,z stehen und über a summiert wird.
Nun kann man mittels des Ortsvektors (und aller anderen Vektoren wie Impuls etc.)
 = (x_a) )
ein Element der Algebra konstruieren, nämlich
d.h. eine hermitesche 2*2 Matrix der su(2).
Jede SO(3) Rotation des Ortsvektors entspricht dann
in der adjungierten Darstellung der SU(2), die auf ein Element X der Algebra su(2) wirkt *)
Und diese letzte Gleichung besagt eben, dass U und -U dieselbe Rotation von X liefern, jedoch ein Vorzeichen im Falle der Spinor-Rotation
*) Man verwenden dies m.W.n. in der SW, speziell Computergraphik, da dies direkt die Rotation um eine beliebige Achse liefert, ohne Umweg über Eulerwinkel.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 678
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| Sonnenwind Verfasst am: 02. Aug 2023 18:54 Titel: |
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Das beantwortet doch nicht, was die entsprechenden Personen (experimentell) beobachten.
Insbesondere der sich mitdrehende Beobacher dürfte doch gar keine Veränderung sehen. Für ihn müssten doch alle Spinorkomponenten gleich bleiben, woraus folgt, dass nach 360° alles wie vorher sein müsste.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 02. Aug 2023 23:40 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Das beantwortet doch nicht, was die entsprechenden Personen (experimentell) beobachten. |
Stimmt.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Insbesondere der sich mitdrehende Beobacher dürfte doch gar keine Veränderung sehen. Für ihn müssten doch alle Spinorkomponenten gleich bleiben, woraus folgt, dass nach 360° alles wie vorher sein müsste. |
Die Schlussfolgerung würde etwas anders funktionieren.
Ein Beobachter misst einen Zustand psi, indem er z.B. dessen Komponenten bzgl. eines anderen Zustandes a misst.
Betrachten wir also die Fälle, dass i) kein Zustand rotiert wird, ii) nur der zu messende Zustand rotiert wird, iii) beide rotiert werden. Vermessen wird dann
D.h. (iii) und (i) liefern das selbe Ergebnis, unabhängig davon, ob Spinoren beteiligt sind oder nicht.
Die Frage ist, wie überhaupt eine konkrete Messung aussehen müsste, die die spezifische Eigenschaft von Spin 1/2 sichtbar machen kann.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 678
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| Sonnenwind Verfasst am: 03. Aug 2023 08:18 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Frage ist, wie überhaupt eine konkrete Messung aussehen müsste, die die spezifische Eigenschaft von Spin 1/2 sichtbar machen kann. |
ME kann es gar kein Experiment geben, das einen Unterschied nach 360° Drehung zeigt, da es sonst einen Sprung für den mitrotierenden Beobachter geben müsste. Er spürt ja bei langsamer Drehung nur ein wenig Zentrifugal- und Corioliskraft, das dürfte aber keinen Unterschied machen.
Meine Frage ist: Ist diese 720°-Geschichte nur Beschäftigungstherapie für Hobby-Physiker?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 03. Aug 2023 10:59 Titel: |
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Verstehe ich nicht.
Theoretisch kann man die Phase natürlich berechnen, und sie – bzw. ein geeignetes Matrixelement im Rahmen einer Messung – ist eine stetige Funktion des Drehwinkels
Die Frage ist, wie müsste eine Messung konkret realisiert werden.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 678
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| Sonnenwind Verfasst am: 03. Aug 2023 11:28 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Theoretisch kann man die Phase natürlich berechnen, .. |
Ich versuche es mal beispielhaft. Der Labortisch stehe bei 0°, der Wellenphasenwinkel bei 11°. Der Labortisch drehe sich um 360°, dann dreht sich der Wellenphasenwinkel um 180° und hat damit 191°?
Aber nur aus Sicht des feststehenden Beobachters. Wie sieht das bei dem mitrotierenden Beobachter aus?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 03. Aug 2023 11:53 Titel: |
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Du musst immer von der Spinor-Rotation her denken.
Nehmen wir einen Vektor X und einen Spinor chi, die wir in einen Zustand psi stecken. Für die Rotation U als Funktion des Drehwinkel phi finden wir den Zustand
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 678
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| Sonnenwind Verfasst am: 03. Aug 2023 17:01 Titel: |
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Man kann ja den Spin auch anschaulich als Vektor darstellen, indem man die Erwartungswerte des Spins für die jeweiligen Raumrichtungen zusammensetzt:
mit N als beliebigem Normierungfaktor, der den Spinvektor meinetwegen zu einem Einheitsvektor macht.
Dann müsste sich doch der Spinvektor als Vektor transformieren, oder?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 03. Aug 2023 17:56 Titel: |
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Ja, der Erwartungswert
ist bilinear im Spinor psi und ein Vektor.
Der Effekt, der uns hier interessiert, ist somit unsichtbar; Erwartungswerte waschen Informationen über die Phase aus.
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 03. Aug 2023 18:03 Titel: |
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Wenn du unbedingt eine "Veranschaulichung" wünschst, dann stell dir ein Möbiusband vor:
ein (orthogonaler) Vektor zeigt nach 360° Drehung in die entgegengesetzte Richtung, nach 720° in die gleiche.
Das ist analog zum "belt trick". |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 03. Aug 2023 18:40 Titel: |
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Aber das ist noch keine Messung an einem realen System.
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 03. Aug 2023 21:00 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ja, der Erwartungswert
ist bilinear im Spinor psi und ein Vektor.
Der Effekt, der uns hier interessiert, ist somit unsichtbar; Erwartungswerte waschen Informationen über die Phase aus. |
Kann man die Phase nicht über Interferenzeffekte sichtbar machen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 04. Aug 2023 09:32 Titel: |
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Ja, das wäre die Idee.
Sei
 = \exp[i \sigma_a \phi / 2] = \cos \phi/2 + i \sigma_a \sin \phi / 2)
und
Nun betrachte man ein Elektron in einem homogenen d.h. räumlich konstanten Magnetfeld in a-Richtung. Der Hamiltonoperator enthält neben einem im Spin-Raum diagonalen Term außerdem
d.h. die Zeitentwicklung führt gerade auf
 t])
Splittet man die Wellenfunktion in Orts- und Spinanteil
 = u(r) \,\otimes\, \chi )
und lässt man das Magnetfeld nur auf die zweite Komponente wirken, so folgt
 = e^{-iH_0t} u_{0,1} \,\otimes\, \chi_{0,1} + e^{-iH_At} u_{0,2} \,\otimes\, e^{-i(\sigma_a \phi / 2)t} \chi_{0,2} )
I.A. ist das eine SU(2) Rotation im Spin-Raum sowie natürlich die Wechselwirkung des Eichfeldes mit der räumlichen Komponente. Mir ist nicht klar, wie man das experimentell sauber trennen kann. Für geeignetes B-Feld liefert die Rotation
 = -1)
also gerade die fragliche Phase. Ausgehend von einem identischen Spin-Eigenzustand folgt
 = \left[ e^{-iH_0t} u_{0,1} - e^{-iH_At} u_{0,2} \right] \,\otimes\, \chi_{0} )
Setzt man
)
)
verwendet
)
sowie ein Magnetfeld in y-Richtung, so folgt
 \, \cos \phi t/2)
Allerdings mischen die Interferenzen aus der Ortswellenfunktion mit der Interferenz aus dem Spin. Ich weiß nicht, wie man ein geeignetes System präparieren und messen kann.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 04. Aug 2023 17:31 Titel: |
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Das geht wohl in die richtige Richtung:
4π-Periodicity of the spinor wave function under space rotation
We report the results of an experiment which observed the 4π-symmetry of the neutron wave function under space rotation by the use of a slowly rotating magnetic field which trapped the precessing neutron spin and turned it in space.
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