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Sonnenwind
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 Sonnenwind Verfasst am: 05. Apr 2023 12:06 Titel: Graßmann-Zahlen |
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Die Fermionen und die Supersymmetrie lassen sich angeblich gut verstehen mit Hilfe der Graßmann-Zahlen.
Ich komme da aber schon mathematisch nicht klar. Wie kann man die Ableitungen herleiten? Oder sind die nur definiert?
Noch schlimmer wird es bei den unbestimmten Integralen. Wieso kommen da die Konstanten 1 und 0 heraus?
https://de.wikipedia.org/wiki/Gra%C3%9Fmann-Zahl
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TomS
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| TomS Verfasst am: 05. Apr 2023 13:00 Titel: |
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Versuch’s mal mittels Taylorreihen.
Eine Graßmann-wertige Funktion ist immer ein Polynom endliches Grades in den Graßmann-Variablen. Die Idee der Definition von Differential und Integral ist dabei, dass der algebraischen Regeln respektiert werden und dass die Ergebnisse zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung korrespondieren.
Für’s erste kannst du die Integrale übrigens vergessen. Man benötigt sie erst im “Superraum”, in der QFT für die Pfadintegralquantisierung. Für Euler-Lagrange musst du einmal differenzieren. Ansonsten wirst du mit der reinen Algebra glücklich.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Sonnenwind
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| Sonnenwind Verfasst am: 05. Apr 2023 13:16 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Idee der Definition von Differential und Integral ist dabei, dass der algebraischen Regeln respektiert werden und dass die Ergebnisse zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung korrespondieren. |
Das ist gerade mein Problem. Bei komplexen Funktionen kann man differenzieren, indem man den Nenner reell macht (den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert). Da gibt es richtige Herleitungen.
Hier funktioniert noch nicht einmal die Division. Wie mache ich denn den Nenner reell? Wenn ich eine Basis mit sich selbst multipliziere ist sie zwar reell, aber null.
Gibt es irgendwo eine verständliche Herleitung dieser Algebra?
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TomS
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| TomS Verfasst am: 05. Apr 2023 13:40 Titel: |
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Was du ansprichst ist die Herleitung der Rechenregeln mittels der Darstellung
Die ist aber nicht notwendig.
reicht völlig aus.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 05. Apr 2023 14:02 Titel: |
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Man hat eben irgendwann festgestellt, dass man formal mit komplexen Zahlen genauso rechnen kann wie mit reellen. Ich vermute aber, dass man das trotzdem erst streng herleiten musste.
Dass die Welt nicht so einfach ist, das sieht man an den Quaternionen. Da gibt es dann plötzlich eine links- und rechtsseitige Division.
https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion
Die realteilfreien Graßmann-Zahlen lassen sich aber nicht mit dem Konjugierten multiplizieren, ohne dass das Produkt null wird. Wie soll ich da die Division herleiten?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 05. Apr 2023 21:44 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Man hat eben irgendwann festgestellt, dass man formal mit komplexen Zahlen genauso rechnen kann wie mit reellen. Ich vermute aber, dass man das trotzdem erst streng herleiten musste. |
Muss man nicht. Man muss lediglich zeigen, dass die o.g. Definition und die die bekannte Darstellung identische Regeln erfüllen.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Die realteilfreien Graßmann-Zahlen lassen sich aber nicht mit dem Konjugierten multiplizieren, ohne dass das Produkt null wird. Wie soll ich da die Division herleiten? |
Zeig mir mal diese Multiplikation, und was damit problematisch ist.
Es geht auch nicht um eine Division. Es geht darum, dass für eine Graßmann-wertige Funktion
 = z_0 + \theta_1 \, g(\theta_{k \neq 1}) + h(\theta_{k \neq 1}))
die Ableitung gerade den linearen Term liefert, also
 = g(\theta_{k \neq 1}) )
Dabei sind g,h Polynome in den theta, wobei jedes theta nur in maximal erster Potenz vorkommt. Die Variable, nach der abzuleiten ist, habe ich der Einfachheit halber nach links sortiert und ausgeklammert. Ist das nicht der Fall, muss sie geeignet durchgetauscht und dabei das Vorzeichen beachtet werden.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Dass die Welt nicht so einfach ist, das sieht man a den Quaternionen. |
Quaternionen und Graßmann-Zahlen haben wenig miteinander zu tun.
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Sonnenwind
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| Sonnenwind Verfasst am: 06. Apr 2023 10:57 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Die realteilfreien Graßmann-Zahlen lassen sich aber nicht mit dem Konjugierten multiplizieren, ohne dass das Produkt null wird. Wie soll ich da die Division herleiten? |
Zeig mir mal diese Multiplikation, und was damit problematisch ist. |
Ich teile einfach eine Zahl durch sich selbst:
Komplexe Zahl z:
\cdot(a-bi)}{(a+bi)\cdot(a-bi)}=\frac{a²-(bi)²}{a²-(bi)²}=\frac{a²+b²}{a²+b²}=1)
a,b reell und nicht beide gleich 0, d.h. z ist ungleich 0.
Für Graßmann-Zahlen oder auch Superzahlen s gilt (hier mit nur einer Basis):
\cdot(c-d\theta)}{(c+d\theta)\cdot(c-d\theta)}=\frac{c²-(d\theta)²}{c²-(d\theta)²}=\frac{c²-0²}{c²-0²}=\frac{c²}{c²}=1)
c,d komplex, gilt aber nur für c ungleich 0.
Ich benutze mal den Sprachgebrauch, der in Wiki angegeben ist, dabei ist hier c der Körper und  die Seele der Superzahl s.
Durch körperlose Superzahlen kann man also nicht dividieren.
Ich denke zum Ableiten muss man auch dividieren.
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TomS
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| TomS Verfasst am: 06. Apr 2023 12:36 Titel: |
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Zum Ableiten muss man nicht durch eine Graßmann-Zahl dividieren (auch im Falle von Vektorfeldern und -analysis muss man nie durch Vektoren dividieren).
Wenn du die Division vernünftig definieren möchtest, dann müsstest du auch  durch eine der beiden Graßmann-Zahl dividieren. Das funktioniert erst recht nicht. Was du betrachtest ist lediglich der Spezialfall der dualen Zahlen.
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Sonnenwind
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| Sonnenwind Verfasst am: 06. Apr 2023 13:58 Titel: |
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Ich kenne Ableitungen als Grenzwert:
Reell: (f(x+h) - f(x)) / h mit h gegen 0; idealerweise h einmal positiv und einmal negativ für rechts- und linksseitigen Grenzwert.
Komplex: (f(z+h) - f(z)) / h mit h gegen 0; man muss zeigen, dass dieser Grenzwert von allen Seiten gleich ist.
Graßmann: (f(s+h) - f(s)) / h mit h gegen 0 ?
Weicht man einfach von der Definition einer Ableitung ab?
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TomS
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| TomS Verfasst am: 06. Apr 2023 14:11 Titel: |
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Schau dir mal die Definition der Richtungsableitung der Funktion f für einen Einheitsvektor n an. Da wird auch nicht durch einen Vektor dividiert.
Es ist sinnvoll, dies als Änderung von f in Richtung n aufzufassen.
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Sonnenwind
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| Sonnenwind Verfasst am: 06. Apr 2023 17:31 Titel: |
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Ich stehe auf einem Berg. Der Gradient ist die Falllinie mit dessen Gefälle. Die Richtungsableitung ist die Steigung in eine gewählte Richtung, kann man mit Richtung und Gradient berechnen.
Die Höhe sei w. Die horizontalen Achsen seien x und y. Die lokale Umgebung wird bestimmt durch die Ableitungen von w nach x und w nach y.
Fasst man die Achsen x und y zu z = x + yi als komplexe Zahl zusammen, was bedeutet dann anschaulich die Ableitung von w nach z?
Eine Ableitung nach einer komplexen Zahl ist etwas völlig anderes als nach den Koordinaten. Der Grund ist, dass bei der Ableitung die imaginäre Einheit selbst in den Nenner kommt.
Dieselbe Argumentation gilt für die Graßmann-Zahlen. Da stehen auch die Basen theta_n im Nenner.
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TomS
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| TomS Verfasst am: 06. Apr 2023 17:38 Titel: |
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Ich habe noch nie irgendwo eine Graßmann-Zahl im Nenner gesehen.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 06. Apr 2023 18:13, insgesamt einmal bearbeitet |
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Sonnenwind
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| Sonnenwind Verfasst am: 06. Apr 2023 17:50 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe noch nie irgendwo eine Grassmann-Zahl im Nenner gesehen. |
Du glaubst Dir doch wenigstens selbst?
Von Dir:
Ist sehe da einen Bruchstrich und darunter das Differential einer Graßmann-Zahl.
Und ein Differential ist der Grenzwert einer Differenz und hat somit dieselben Eigenschaften wie die Absolutzahl. Eine Längendifferenz hat auch dieselben Eigenschaften bezüglich Einheit und Dimensionalität wie eine Länge.
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TomS
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| TomS Verfasst am: 06. Apr 2023 18:12 Titel: |
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Sorry, das ist lediglich eine irreführende und leider verbreitete Interpretation dieses Symbols. Diese Idee eines Bruchs geht aber häufig schief - so auch hier.
Siehe oben: | Zitat: | | Es geht nicht um eine Division. Es geht darum, dass für eine Graßmann-wertige Funktion die Ableitung [nach einer Graßmann-Variablen] gerade den linearen Term [der Funktion in dieser Variablen] liefert. |
Ganz allgemein: wenn ein Polynom in irgendwelchen Objekten gegeben ist, dann liefert eine gewisse Abbildung zum Index i gerade den im i-ten Objekt linearen Term. Dazu benötigst du keine Division.
Nochmal zu oben mit i=1:
 = z_0 + \theta_1 \, g(\theta_{k \neq 1}) + h(\theta_{k \neq 1}))
 = g(\theta_{k \neq 1}) )
Das ist eine formal ausreichende Definition. Das irreführende Symbol habe ich ersetzt.
In gewissen Fällen kann man derartiges mit einer Ableitung und Grenzwertbildung in Zusammenhang bringen. In Spezialfällen wie bei reellen Zahlen steht im Nenner des Grenzwertes selbst eine reelle Zahl. Bei der Richtungsableitung bzgl. eines Vektors steht im Nenner aber kein Vektor. Und bei Graßmann-Variablen steht im Nenner keine Graßmann-Variable.
Die Differentation, d.h. die Ermittlungen eines bestimmten linearen Terms, kommt ohne Division durch Graßmann-Variablen aus.
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