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Nachricht |
Felix Pitri
Gast
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 Felix Pitri Verfasst am: 11. Nov 2022 01:37 Titel: Höhenprofil |
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Meine Frage:
Hi, ich bin mir nicht sicher, ob ich bei der folgenden Aufgabe auf dem richtigen Weg bin.
Betrachten Sie ein Höhenprofil
=x^3-6x^2+9x+y^2+2y+1 ) . An welchen Orten (x,y) kann eine Kugel platziert werden, ohne dass sie in eine Richtung davon rollt?
Meine Ideen:
Es gibt hier ja quasi 2Ableitungen, einmal nach x und dann nach y. Setze ich die erste Ableitung der beiden gleich 0, so hätte ich entweder ein Hoch- oder ein Tiefpunkt. Um was es sich handelt, stelle ich mit der 2ten Ableitung fest. Falls es sich um einen Tiefpunkt handelt, würde der Ball an diesem Punkt nicht in eine andere Richtung rollen können. Bei meinen Berechnung bekomme ich übrigens einen Tiefpunkt sowohl für x, als auch für y. Sind meine Überlegungen so richtig?
Würde mich sehr über Hilfe freuen! |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 11. Nov 2022 09:43 Titel: Re: Höhenprofil |
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| Felix Pitri hat Folgendes geschrieben: | | Setze ich die erste Ableitung der beiden gleich 0, so hätte ich entweder ein Hoch- oder ein Tiefpunkt. |
Oder einen Sattelpunkt.
| Felix Pitri hat Folgendes geschrieben: | | Bei meinen Berechnung bekomme ich übrigens einen Tiefpunkt sowohl für x, als auch für y. |
Ich finde hier einen Sattelpunkt und einen Tiefpunkt. Möglicherweise meinst Du letzterers, aber sicher bin ich mir da nicht. |
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Felix Pitri
Gast
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| Felix Pitri Verfasst am: 11. Nov 2022 12:03 Titel: |
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Aber bei einem Sattelpunkt sollte die Kugel ja auch nicht rollen. weil wir dort ja eine Flache Ebene haben. Wäre mein Weg also richtig? |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 11. Nov 2022 12:50 Titel: |
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| Felix Pitri hat Folgendes geschrieben: | | Aber bei einem Sattelpunkt sollte die Kugel ja auch nicht rollen. weil wir dort ja eine Flache Ebene haben. |
Nein, da ist keine Ebene, sondern nur einen Punkt mit horizontaler Tangentialebene. Da befindet sich die Kugel zwar in einem mechanischen Gleichgewicht, aber das ist instabil. Bei einer beliebig kleinen Auslenkung aus der Ruhelage rollt sie nicht mehr zurück, sondern von der Ruhelage weg.
| Felix Pitri hat Folgendes geschrieben: | | Wäre mein Weg also richtig? |
Dazu müsstest Du Deinen Weg nochmal richtig hinschreiben. Speziell Deine Aussage zum "Tiefpunkt sowohl für x, als auch für y" macht mir etwas Sorgen. |
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Felix Pitri
Gast
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| Felix Pitri Verfasst am: 11. Nov 2022 14:09 Titel: |
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ich versuche es etwas besser zu erklären
die Ableitung wäre ja quasi
=\begin{pmatrix} \frac{\dd}{\dd x} \\ \frac{\dd}{\dd x} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3x^2-12x+9 \\ 2y+2 \end{pmatrix})
Wenn ich diese Ableitung mit 0 gleich setze, berechne ich ja die jeweiligen Hoch- und Tiefpunkte. Und bei einem Tiefpunkt müsste die Kugel ja nicht in der Lage sein zu rollen. Zumindest solange niemand eine Kraft auf sie ausübt. Wenn ich den Wert in die Ausgangsfunktion einsetze, bekomme ich den anderen notwendingen Koordinaten Wert raus. Und somit hätte ich ja dann eigentlich die Orte, an denen eine Kugel platziert werden kann, ohne dass sie davon rollt. Ich hoffe ich habe meine Idee nun etwas verständlicher erklärt, sorry bin da nicht der beste drin haha |
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Felix Pitri
Gast
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| Felix Pitri Verfasst am: 11. Nov 2022 14:11 Titel: |
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=\begin{pmatrix} \frac{\dd}{\dd x} \\ \frac{\dd}{\dd y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3x^2-12x+9 \\ 2y+2 \end{pmatrix})
So wäre es richtig, in der zweiten Vektorspalte wird nach y abgeleitet |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 11. Nov 2022 14:51 Titel: |
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| Felix Pitri hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich diese Ableitung mit 0 gleich setze, berechne ich ja die jeweiligen Hoch- und Tiefpunkte. |
Oder Sattelpunkte. Welche Punkte hast Du denn berechnet?
| Felix Pitri hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich den Wert in die Ausgangsfunktion einsetze, bekomme ich den anderen notwendingen Koordinaten Wert raus. |
Welchen "anderen notwendingen Koordinaten Wert"? In der Aufgabe ist doch nur von den "Orten (x,y)" die Rede. Schreib mal auf, wie Du das meinst. |
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Felix Pitri
Gast
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| Felix Pitri Verfasst am: 11. Nov 2022 17:30 Titel: |
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Also für
 nachdem ich das durch 3 teile wende ich halt die pq formel an und habe zwei Werte für x raus, x1=-1 und x2=-3
und dann für
 wo ich y=-1 raus habe |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 11. Nov 2022 19:41 Titel: |
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Bei x hast Du Dich verrechnet und ich weiß immer noch nicht, was Du mit dem "anderen notwendingen Koordinaten Wert" meinst. |
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Felix Pitri
Gast
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| Felix Pitri Verfasst am: 11. Nov 2022 20:22 Titel: |
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Nun ja ich denke mal das mein Überlegung mit dem " anderen notwendigen Koordinaten" wohl falsch war. Damit meinte ich eigentlich nur, dass wenn ich den x Wert herausfinde bei der Ableitung, ja noch den y Wert brauche, welchen ich bekommen würde, wenn ich den x Wert in die Ausgangsfunktion einsetzen würde |
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Felix Pitri
Gast
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| Felix Pitri Verfasst am: 11. Nov 2022 20:27 Titel: |
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und ja habe mich verrechnet, habe jetzt x1=3 und x2=1. hatte die vorzeichen vertauscht |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 11. Nov 2022 22:14 Titel: |
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| Felix Pitri hat Folgendes geschrieben: | | Damit meinte ich eigentlich nur, dass wenn ich den x Wert herausfinde bei der Ableitung, ja noch den y Wert brauche, welchen ich bekommen würde, wenn ich den x Wert in die Ausgangsfunktion einsetzen würde |
Tja, und welches sind nun die potentiellen Extrempunkte und wie prüfst Du, ob es Minima sind? |
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Felix Pitri
Gast
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| Felix Pitri Verfasst am: 11. Nov 2022 22:32 Titel: |
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Das muss ich ja mit der zweiten Ableitung prüfen
erstmal für x
und für y
Dort wo das Ergebnis größer als 0 ist, sollten wir ja ein Tiefpunkt haben. Was heißt das die Kugel beim Ort x=3 und y=-1 still liegen müsste oder nicht? |
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Felix Pitri
Gast
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| Felix Pitri Verfasst am: 11. Nov 2022 22:34 Titel: |
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ich wusste übrigens nicht wirklich wie ich die zweite Ableitung mit diesem d/dt richtig angeben soll haha |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 11. Nov 2022 23:38 Titel: |
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| Felix Pitri hat Folgendes geschrieben: | | Dort wo das Ergebnis größer als 0 ist, sollten wir ja ein Tiefpunkt haben. Was heißt das die Kugel beim Ort x=3 und y=-1 still liegen müsste oder nicht? |
Ja, das sieht gut aus. |
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Felix Pitri
Gast
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| Felix Pitri Verfasst am: 11. Nov 2022 23:55 Titel: |
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Ok nice, dann danke dir für deine Hilfe!!! |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5868
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 12. Nov 2022 12:24 Titel: |
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Deine Rechnung ist nicht vollständig.
 1. partielle Ableitung nach x
 1. partielle Ableitung nach y
 2. partielle Ableitung nach x
 2. partielle Ableitung nach y
 partielle Ableitung nach x und y
Es gelten folgende Bedingungen:
\cdot f_{yy}(x_0,y_0) - (f_{xy}(x_0,y_0))^{2}) : < 0 Sattelpunkt; >0 lokales Extremum
 <0 ) :lokales Maximum
 >0 ) : lokales Minimum
Die Rechnung ist für  und  durchzuführen.
 : Minimum - Stabiles Gleichgewicht
 : Sattelpunkt - Labiles Gleichgewicht |
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