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MMchen60
Anmeldungsdatum: 31.01.2021
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 MMchen60 Verfasst am: 28. Jun 2022 07:07 Titel: Pirouettenläuferin |
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Hallo liebe Forumsgemeinde, es geht um eine Pirouttenaufgabe, zu der mir einige Formeln nicht geläufig sind. Angenommen das Massenträgheitsmoment der Eisläuferin mit augestreckten Armen ist bekannt. Die Tänzerin verkleinert dieses durch Heranziehen der Arme linear mit der Zeit, wobei gilt: =J_0(l-c \cdot t) ) , wobei l die Ursprungslänge der Arme und c die Geschwindigkeit des Armeinzugs bedeutet.
Jetzt kommen die Fragen:
1. Wie ändert sich dabei die Winkelgeschwindigkeit als Funktion der Zeit  ) (nur Formel)?
2. Wie lautet die zeitliche Abhängigkeit der Rotationsenergie der Tänzerin  ) (nur Formel) ?
Vielen Dank für Antwort
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 28. Jun 2022 09:06 Titel: |
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Eine wichtige Grösse bleibt erhalten, während die Eiskunstläuferin die Arme einzieht. Dies kannst Du verwenden, um ) auszudrücken durch ) und das Verhältnis /J_0) . Mit , J(t)) kann auch ) ausgedrückt werden (bleibt nicht konstant, denn die Eiskunstläuferin verrichtet beim Einziehen Arbeit).
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MMchen60
Anmeldungsdatum: 31.01.2021
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| MMchen60 Verfasst am: 28. Jun 2022 09:24 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | um auszudrücken durch und das Verhältnis . |
Hallo Danke, aber könntest du mir bitte dies noch ein wenig präzisieren?
ist dann ja  . Und das c ist als Geschwindigkeit der Kreisbewegung zu betrachten? also  ? Oder wie würde die komplette Formel für aussehen?
Danke.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 28. Jun 2022 10:54 Titel: |
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Nein, c ist die Geschwindigkeit, mit der die Armlänge reduziert wird. Sie hat nichts mit der Umlaufgeschwindigkeit der Arme o.ä. zu tun.
Erhalten bleibt der Drehimpuls:
\omega(t)=J_0\omega_0)
Das kannst Du nach auflösen.
Wie hängt denn die Rotationsenergie von J und  ab?
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
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| Mathefix Verfasst am: 28. Jun 2022 11:39 Titel: Re: Pirouettenläuferin |
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| MMchen60 hat Folgendes geschrieben: | Die Tänzerin verkleinert dieses durch Heranziehen der Arme linear mit der Zeit, wobei gilt: , wobei l die Ursprungslänge der Arme und c die Geschwindigkeit des Armeinzugs bedeutet.
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In der Formel stimmt die Einheit von J(t) nicht.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 28. Jun 2022 12:10 Titel: Re: Pirouettenläuferin |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | In der Formel stimmt die Einheit von J(t) nicht. |
Ja, da hast Du sehr recht. Denkbar ware es zwar, dass  nicht die Einheit eines Trägheitsmoments hat und
=J_0l)
gelten soll, aber dann wäre die Notation nicht optimal.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
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| Mathefix Verfasst am: 28. Jun 2022 12:30 Titel: Re: Pirouettenläuferin |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | In der Formel stimmt die Einheit von J(t) nicht. |
Ja, da hast Du sehr recht. Denkbar ware es zwar, dass nicht die Einheit eines Trägheitsmoments hat und
gelten soll, aber dann wäre die Notation nicht optimal. |
Um den gewünschten Effekt - lineare Abnahme des Massenträgheitsmoments - zu erreichen, kann
 = J_0\cdot (1-\frac{c}{l_0} \cdot t))
angesetzt werden.
Mit der Erhaltung des Drehimpulses ergibt sich
 = \omega_0 \cdot \frac{1}{1-\frac{c}{l_0} \cdot t} )
Rotationsenergie
 = \frac{1}{2} \cdot J(t)\cdot \omega^{2}(t) = \frac{1}{2} \cdot J_0 \cdot \omega_0^{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{c}{l_0} \cdot t} )
Die Rotationsenergie nimmt zu, da dem System durch Einziehen der Arme gegen die Zentripetalkraft Arbeit zugeführt wird.
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MMchen60
Anmeldungsdatum: 31.01.2021
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
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| Mathefix Verfasst am: 29. Jun 2022 19:11 Titel: Re: Pirouettenläuferin |
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| MMchen60 hat Folgendes geschrieben: |
Dann hätte ich da noch eine andere Frage zum MTM. Klar der Massenschwerpunkt liegt auf der Drehachse, seine Lage kann ich berechnen über die Schwerpunkte von Rumpf und Kopf, die Arme bleiben unberücksichtigt, da links und rechts der Drehachse. Nur, wie verhält es sich mit dem Steinerschen Anteil bei der Berechnung des MTM? Da haben wir doch sowohl einen vertikalen Abstand als auch einen horizontalen der Arme. Kann da der horizontale Abstand auch einfach weggelassen werden?
Danke für Antwort. |
Um es kurz zu fassen Die ganze Aufgabe ist Müll!
Das MTM kann sich nicht linear ändern. Durch das Heranziehen der Arme ändert sich deren MTM wegen neuer Massenverteilung und durch die Verringerung des Abstands von der Drehachse der quadratische Steiner-Anteil.
Es hat keinen Zweck die Aufgabe so umzuformulieren, dass sie Sinn macht.
Das sollte man dem Aufgabensteller überlassen.
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MMchen60
Anmeldungsdatum: 31.01.2021
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| MMchen60 Verfasst am: 30. Jun 2022 07:26 Titel: Re: Pirouettenläuferin |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Um es kurz zu fassen Die ganze Aufgabe ist Müll!
Das MTM kann sich nicht linear ändern. Durch das Heranziehen der Arme ändert sich deren MTM wegen neuer Massenverteilung und durch die Verringerung des Abstands von der Drehachse der quadratische Steiner-Anteil. |
Ist Aufgabe eines Professors einer Universität :-). Jedoch, das steht ja in der Aufgabe, dass sich das MTM ändert nach der Formel =J_0 \cdot (1-c \cdot t) ) (Übrigens, entgegen unseren bisherigen Annahmen ist c nicht die Geschwindigkeit, mit der die Arme eingezogen werden sondern irgendeine Art Frequenz in  , sodass da doch Einheitenübereinkunft besteht).
Meine letzte Frage bezog sich also nur auf die Berechnung von J_0. Und da weiß ich nicht, ob und falls ja wie da der Steinersche Anteil in x-Richtung für die beiden Arme berücksichtigt werden muss. Wäre schön, wenn du mir da mal dein Wissen mitteilen würdest, einfach nur, wie sind die Arme im ausgestreckten Zustand bei der Ermittlung eines MTM zu berücksichtigen.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 30. Jun 2022 09:04 Titel: |
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Ah, dann ist ja alles klar mit der Einheit von J0.
Die Arme sind modelliert als zwei Zylinder. Wie gross ist denn das Trägheitsmoment eines Zylinders bezogen auf eine Achse senkrecht zur Zylinderachse und durch den Mittelpunkt? Nun geht die Drehachse aber nicht durch den Mittelpunkt, sondern sie ist um 37.5cm (wenn ich das richtig sehe) verschoben. Deshalb hier den Satz von Steiner verwenden.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
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| Mathefix Verfasst am: 30. Jun 2022 09:58 Titel: |
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Bestimmung I_0
K = Kopf (Kugel)
R = Rumpf (Kreiszylinder)
A = Arm (Kreiszylinder)
a_0 = senkrechter Abstand des Armschwerpunkts von der Drehachse zum Zeitpunkt t = 0
 )
Um die weitere Rechnung zu vereinfachen, wird die Ersatzmasse  gebildet. Das ist die punktförmige Masse, welche im Abstand a von der Drehachse das gleiche MTM ergibt:
^{2} + \frac{1}{6} \cdot (\frac{l_A}{a_0})^{2}) )
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 30. Jun 2022 17:43, insgesamt 5-mal bearbeitet |
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MMchen60
Anmeldungsdatum: 31.01.2021
Beiträge: 207
Wohnort: Heilbronn
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| MMchen60 Verfasst am: 30. Jun 2022 10:35 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Bestimmung I_0
Bald geht's weiter. |
Danke Mathefix, bis auf  hatte ich das auch so, deshalb entstand ja meine Frage bezgl. Berücksichtigung des Steinerschen Anteils in x-Richtung.
Und somit erhalten wir dann ja die Formel für  , was dann ja - wenn ich richtig liege - zur Lösung des letzten Aufgabenteils nach der Arbeit löst über  , oder?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 30. Jun 2022 10:56 Titel: |
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Beim Trägheitsmoment des Arms liegt die Drehachse aber nicht parallel zur Zylinderachse, sondern senkrecht dazu.
Für Erot brauchst Du nichts zu integrierent, vgl. den Beitrag von Mathefix weiter oben.
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MMchen60
Anmeldungsdatum: 31.01.2021
Beiträge: 207
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| MMchen60 Verfasst am: 30. Jun 2022 11:47 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Beim Trägheitsmoment des Arms liegt die Drehachse aber nicht parallel zur Zylinderachse, sondern senkrecht dazu.
Für Erot brauchst Du nichts zu integrierent, vgl. den Beitrag von Mathefix weiter oben. |
Ja, deshalb habe ich ja nachgefragt, wie das zu berücksichtigen sei. Und ich gehe davon aus, dass mit Mathefix dies in seiner Formel jetzt berücksichtigt hat mit  .
Und wegen des Integrals, es geht im Aufgabenteil d) nicht um das Integral sondern um die in den ersten beiden Sekunden verrichtete Arbeit. Und hierzu muss ich doch das Integral über die Energie bilden oder nicht oder einfach nur E(2) * 2 s?
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 30. Jun 2022 12:24 Titel: |
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| MMchen60 hat Folgendes geschrieben: |
Und wegen des Integrals, es geht im Aufgabenteil d) nicht um das Integral sondern um die in den ersten beiden Sekunden verrichtete Arbeit. Und hierzu muss ich doch das Integral über die Energie bilden oder nicht oder einfach nur E(2) * 2 s? |
Die verrichtete Arbeit ist einfach die Differenz der Rotationsenergien:
 - E_{rot}(0))
Viele Grüße,
Nils
_________________
Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
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| Mathefix Verfasst am: 30. Jun 2022 13:09 Titel: |
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Ich verstehe
nicht, da J_0 die Konstanten J_K und J_R beinhaltet, die nicht zeitabhängig sind.
M.E muss es heissen
 = J_K+J_R + J_A0 \cdot (1-c \cdot t))
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 30. Jun 2022 13:14 Titel: |
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@Mathefix: Ich denke, Aufgabenteil b) hat nicht unmittelbar mit Teil a) zu tun. Das gesamte Trägheitsmoment soll einfach linear abnehmen, ob das nun realistisch ist oder nicht. Man könnte Deine Gleichung auch auf die Form wie in der Aufgabe bringen, denn in beiden Fällen ist die Abnahme von J(t) linear.
Noch zum obigen Trägheitsmoment des Arms, ich denke, dass da ein Faktor nicht richtig ist, wenn man mit dem vergleicht, was hier aufgelistet ist.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 30. Jun 2022 14:18 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | @Mathefix:
Noch zum obigen Trägheitsmoment des Arms, ich denke, dass da ein Faktor nicht richtig ist, wenn man mit dem vergleicht, was hier aufgelistet ist. |
Hallo Myon,
ich haben den Arm als Vollzylinder, der um seine Querachse rotiert, angenommen plus Steiner(Abstand Querachse/Drehachse). Wo liegt der Fehler?
Gruss Mathefix
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 30. Jun 2022 16:03 Titel: |
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Müsste da nicht ein Term 1/12*m*l^2 sein?
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 30. Jun 2022 16:40 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Müsste da nicht ein Term 1/12*m*l^2 sein? |
Danke, Du hast recht. Die Hitze ...
Habe den Fehler korrigiert.
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MMchen60
Anmeldungsdatum: 31.01.2021
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Wohnort: Heilbronn
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| MMchen60 Verfasst am: 30. Jun 2022 17:33 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Myon hat Folgendes geschrieben: | | Müsste da nicht ein Term 1/12*m*l^2 sein? |
Danke, Du hast recht. Die Hitze ...
Habe den Fehler korrigiert. |
Hallo Mathefix, ist da nicht die 2 * wegen 2 Armen verloren gegangen?
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 30. Jun 2022 17:45 Titel: |
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| MMchen60 hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Myon hat Folgendes geschrieben: | | Müsste da nicht ein Term 1/12*m*l^2 sein? |
Danke, Du hast recht. Die Hitze ...
Habe den Fehler korrigiert. |
Hallo Mathefix, ist da nicht die 2 * wegen 2 Armen verloren gegangen? |
Danke für den Hinweis. Habe den Fehler korrigiert. Die Hitze ..., das Alter ...
Gruss
Mathefix
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MMchen60
Anmeldungsdatum: 31.01.2021
Beiträge: 207
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| MMchen60 Verfasst am: 01. Jul 2022 11:52 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Bestimmung I_0
K = Kopf (Kugel)
R = Rumpf (Kreiszylinder)
A = Arm (Kreiszylinder)
a_0 = senkrechter Abstand des Armschwerpunkts von der Drehachse zum Zeitpunkt t = 0
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@Mathefix
Hallo, sorry, ich muss doch noch mal auf diese Aufgabe zurückkommen wegen I_K und I_R. Da ist in deiner Rechnung gar kein Steineranteil berücksichtigt? Ist das so korrekt?
LG Meinolf
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 01. Jul 2022 12:20 Titel: |
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| MMchen60 hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Bestimmung I_0
K = Kopf (Kugel)
R = Rumpf (Kreiszylinder)
A = Arm (Kreiszylinder)
a_0 = senkrechter Abstand des Armschwerpunkts von der Drehachse zum Zeitpunkt t = 0
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@Mathefix
Hallo, sorry, ich muss doch noch mal auf diese Aufgabe zurückkommen wegen I_K und I_R. Da ist in deiner Rechnung gar kein Steineranteil berücksichtigt? Ist das so korrekt?
LG Meinolf |
Keine Ursache.
Das ist korrekt, da die Massenschwerpunkte auf der Drehachse liegen.
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