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liph27
Anmeldungsdatum: 02.06.2022
Beiträge: 15
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 liph27 Verfasst am: 02. Jun 2022 19:46 Titel: Gauss'sches Wellenpaket -Fouriertransformtion |
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Meine Frage:
Ich muss in einem Kurs für die Uni ein Problem lösen, wo ich die Fouriertransformation eines Wellenpakets  ) als Funktion des Ortes x berechnen soll. Jedoch verstehe ich nicht ganz, wie ich dies berechnen soll.
Die Angabe der Aufgabe lautet:
Gegeben sei eine Überlagerung von ebenen Wellen der Form
} )
mit der Gewichtung  =C_0\cdot e^{-(\frac{k-k_0}{\sigma_k})^2} ) .
Berechnen Sie durch Fouriertransformation das Wellenpaket als Funktion des
Ortes x. Benutzen Sie dazu die Dispersionsrelation für Photonen  .
Meine Ideen:
Mein Problem ist, dass ich die Fouriertransformation noch nie richtig gesehen habe und eigentlich keine Ahnung habe, wie ich dies lösen soll.
Ich hatte es jedoch versucht mit folgender Formel:
=\frac{1}{\sqrt{2x} } \int_\infty ^\infty \! f(x) e^{-xv} \, \dd x )
wo ich dann f(x) durch =C(k)e^{i(\omega\cdot t- k\cdot x)} ) ersetzt habe. Jedoch komme ich nicht wirklich auf ein Resultat. |
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jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
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| jmd Verfasst am: 02. Jun 2022 20:57 Titel: |
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| liph27 hat Folgendes geschrieben: |
Ich hatte es jedoch versucht mit folgender Formel:
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Das sieht ziemlich seltsam aus
Es geht eher so
= \frac{1}{\sqrt{2\pi } }\int_{-\infty} ^\infty \! C(k,t) e^{ikx} \, \dd k )
Wobei hier wohl
=\Omega(x,t) )
und C(k,t) müsste das sein
 =C_0\, e^{-(\frac{k-k_0}{\sigma_k})^2}e^{i(\omega\cdot t- k\cdot x)} ) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18127
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| TomS Verfasst am: 02. Jun 2022 21:23 Titel: Re: Gauss'sches Wellenpaket -Fouriertransformtion |
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Daran ist nichts seltsam.
 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} dk \, e^{i(\omega t - k x)} \, C_0\, e^{-(\frac{k - k_0}{\sigma_k})^2} )
mit
also
} = e^{ik(ct - x)})
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 02. Jun 2022 21:40 Titel: Re: Gauss'sches Wellenpaket -Fouriertransformtion |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Daran ist nichts seltsam. |
Doch, das fehlende i in der Fouriertranformation.
(So sieht's aus wie Laplace, konvergiert aber garantiert nicht  )
Eine mathematisch korrekte Behandlung des Integrals erfordert meiner Erinnerung nach eine Weg-Intergration in der komplexen Ebene. Aber wenn ich mich recht entsinne, kommt man hier auch auf das richtige Ergebnis durch eine quadratische Ergänzung im Exponenten zusammen mit der Formel für der Gauss-Integral:
wenn man alle komplexen Zahlen ignoriert und bei der Substitution behandelt, als wären es reelle Zahlen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18127
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| TomS Verfasst am: 02. Jun 2022 22:02 Titel: Re: Gauss'sches Wellenpaket -Fouriertransformtion |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Daran ist nichts seltsam. |
Doch, das fehlende i in der Fouriertranformation.
(So sieht's aus wie Laplace, konvergiert aber garantiert nicht ;) ) |
Stimmt.
Soweit hatte ich nicht gelesen 🙁
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liph27
Anmeldungsdatum: 02.06.2022
Beiträge: 15
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| liph27 Verfasst am: 02. Jun 2022 22:22 Titel: |
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[quote="jmd"] | liph27 hat Folgendes geschrieben: |
und C(k,t) müsste das sein
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Wieso müsste C(k,t) so aussehen? Das verstehe ich irgendwie nicht |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18127
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| TomS Verfasst am: 02. Jun 2022 22:35 Titel: Re: Gauss'sches Wellenpaket -Fouriertransformtion |
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Die Idee ist ganz einfach.
Eine ebene Welle mit
} )
ist für jedes k eine Lösung der Wellengleichung.
Da diese linear ist, ist auch jede Superposition
 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} dk \, e^{i(\omega t - k x)} \, C(k) )
eine Lösung.
Aufgrund der linearen Beziehung
bleibt die Form von Omega erhalten, Omega wandert lediglich mit der Geschwindigkeit c.
Das Gaußsche Wellenpaket mit dem gegebenen C(k) ist eine spezielle Lösung.
Mathematisch macht es natürlich keinen Unterschied, wie man die Faktoren unter dem Integral gruppiert, aber physikalisch ist es wenig sinnvoll, die Zeitabhängigkeit in das C(k,t) reinzupacken.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 02. Jun 2022 22:51, insgesamt einmal bearbeitet |
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liph27
Anmeldungsdatum: 02.06.2022
Beiträge: 15
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| liph27 Verfasst am: 02. Jun 2022 22:46 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Das heisst, dass ich einfach nur dieses Integral lösen muss mit C(k) entspricht
 =C_0\, e^{-(\frac{k-k_0}{\sigma_k})^2}e^{i(\omega\cdot t- k\cdot x)} ) ? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18127
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| TomS Verfasst am: 02. Jun 2022 22:53 Titel: |
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| liph27 hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Das heisst, dass ich einfach nur dieses Integral lösen muss mit C(k) entspricht
? |
 =C_0\, e^{-(\frac{k-k_0}{\sigma_k})^2})
Ansonsten ja.
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liph27
Anmeldungsdatum: 02.06.2022
Beiträge: 15
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| liph27 Verfasst am: 03. Jun 2022 09:37 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Ansonsten ja. |
Vielen Dank. Ich versuch dies einmal |
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
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| Ich Verfasst am: 03. Jun 2022 09:50 Titel: |
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Da steht "Berechnen Sie durch Fouriertransformation". Das impliziert nicht unbedingt, dass man mehr tun muss als ins Tabellenbuch schauen. |
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liph27
Anmeldungsdatum: 02.06.2022
Beiträge: 15
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| liph27 Verfasst am: 03. Jun 2022 09:52 Titel: |
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| Ich hat Folgendes geschrieben: | | Da steht "Berechnen Sie durch Fouriertransformation". Das impliziert nicht unbedingt, dass man mehr tun muss als ins Tabellenbuch schauen. |
Auf der Aufgaben stehen 6 Punkte. Da gehe ich davon aus, dass es mehr ist, als nur in einem Tabellenbuch nachzuschauen und in einer Klausur hat man ja auch kein Tabellenbuch. |
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liph27
Anmeldungsdatum: 02.06.2022
Beiträge: 15
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| liph27 Verfasst am: 03. Jun 2022 11:18 Titel: |
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Ich habe nun diese Formel genommen:
und C(k) durch dies ersetzt:
Dadurch bekomme ich dann folgendes Integral, welches ich lösen muss:
 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} dk \, e^{i(\omega t - k x)} \, C_0\, e^{-(\frac{k-k_0}{\sigma_k})^2} )
Dann kann ich noch wegen der Dispersionsrelation  , dies im Integral ersetzen und erhalte somit.
 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} dk \, e^{i(ck t - k x)} \, C_0\, e^{-(\frac{k-k_0}{\sigma_k})^2} )
Als Lösung sollte folgendes rauskommen:
 = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i(ck_0 t - k_0 x)} C_0 \sigma_k e^{-{\frac{(\sigma_k)^2}{4}(ct-x)^2}})
Aber mir ist nicht klar, wie ich dadrauf kommen soll
Zuletzt bearbeitet von liph27 am 03. Jun 2022 11:22, insgesamt einmal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 03. Jun 2022 11:21 Titel: Re: Gauss'sches Wellenpaket -Fouriertransformtion |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | Aber wenn ich mich recht entsinne, kommt man hier auch auf das richtige Ergebnis durch eine quadratische Ergänzung im Exponenten zusammen mit der Formel für der Gauss-Integral:
wenn man alle komplexen Zahlen ignoriert und bei der Substitution behandelt, als wären es reelle Zahlen. |
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liph27
Anmeldungsdatum: 02.06.2022
Beiträge: 15
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| liph27 Verfasst am: 03. Jun 2022 11:28 Titel: Re: Gauss'sches Wellenpaket -Fouriertransformtion |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: | Aber wenn ich mich recht entsinne, kommt man hier auch auf das richtige Ergebnis durch eine quadratische Ergänzung im Exponenten zusammen mit der Formel für der Gauss-Integral:
wenn man alle komplexen Zahlen ignoriert und bei der Substitution behandelt, als wären es reelle Zahlen. |
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Dann erhalte ich
 = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i(ck_0 t - k_0 x)} C_0 \sigma_k )
aber dieser Term fehlt mir ^2}{4}(ct-x)^2}} ) und ich weiss nicht von wo ich diesen Term herbekommen soll. Ausser ich hätte mich jetzt verrechnet, was ich nicht weiss, aber dieser Term fehlt mir. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18127
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liph27
Anmeldungsdatum: 02.06.2022
Beiträge: 15
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| liph27 Verfasst am: 03. Jun 2022 13:30 Titel: |
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Habe es schon überprüft, aber der gibt mir kein Ergebnis, da die transform variable ct-x ist und er das nicht erkennt |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18127
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| TomS Verfasst am: 03. Jun 2022 13:55 Titel: |
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Substituiere zunächst
Bzgl. der dk-Integration ist das ohnehin nur ein fester Parameter.
Außerdem ist die Substitution
sinnvoll.
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jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
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| jmd Verfasst am: 03. Jun 2022 18:44 Titel: |
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| liph27 hat Folgendes geschrieben: |
Dann kann ich noch wegen der Dispersionsrelation , dies im Integral ersetzen und erhalte somit.
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Geht das?
Es wird hier eine Variable eingebaut. Eigentlich hat man doch  , |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18127
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| TomS Verfasst am: 03. Jun 2022 20:02 Titel: |
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| jmd hat Folgendes geschrieben: | Geht das?
Es wird hier eine Variable eingebaut. Eigentlich hat man doch , |
Das muss so sein.
Für c = 1 und eine Raumdimension lautet die Wellengleichung
 \, u(x,t) = 0)
mit dem Ansatz
 = e^{i(\omega t - kx)})
 \, u(x,t) = -(\omega^2 - k^2) \, u(x,t) = 0)
D.h. die Dispersionsrelation muss für jedes k erfüllt sein.
Für die Superposition der ebenen Wellen gilt dann
 \, \Omega(ct-x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} dk \, (\partial_t^2 - \partial_x^2) \, e^{i(\omega t - k x)} \, C(k) = 0)
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