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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
Wohnort: bayern
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 frage1 Verfasst am: 29. Mai 2022 21:36 Titel: Erwartungswert |
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Hallo zusammen!
Ich soll hier den Erwartungswert des Impulses berechnen. Ich hab´da auch was probiert, aber ob all meine Berechnungen so korrekt sind, kann ich nicht einschätzen.
Um den Erwartungswert berechnen zu können, muss ich ja den Impulsoperator auf die Wellenfunktion wirken lassen. Und so sieht´s dann bei mir aus:
Habe ich korrekt integriert und das Integral bzw. die Grenzen richtig beschriftet?
Könnte jemand einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben, ob der Rechenweg richtig ist?
Edit: Ich hoffe man kann’s lesen, ansonsten poste ich das Beispiel erneut hoch.
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jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
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| jmd Verfasst am: 29. Mai 2022 22:33 Titel: |
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Man muss hier
nehmen
Was die Substitution soll erschließt sich mir nicht. Würde ich weglassen
Das Ergebnis ist praktisch. Da muss man nicht normieren. Oder?
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
Wohnort: bayern
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| frage1 Verfasst am: 29. Mai 2022 22:48 Titel: |
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Ich glaube schon, dass man hier normieren soll. Und die Substitution muss ich berücksichtigen, da wir oft mit so einer Substitution gerechnet haben, das kommt vom harmonischen Oszillator. Ich kann auch die Rechenschritte der Substitution (wie man auf die Substitution kommt) hochladen, wenn du willst.
Also kann ich statt d/dx auch d/dx nehmen? das kann ich so machen?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5891
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| Myon Verfasst am: 30. Mai 2022 09:06 Titel: |
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Der Erwartungswert des Impulsoperators ist gleich 0, das ist richtig. Dass dies so sein muss folgt schon daraus, dass die Wellenfunktion reellwertig ist und der Erwartungswert ebenfalls reell sein muss.
Den Aufgabentext finde ich etwas missverständlich. In der angegebenen Wellenfunktion ist y nicht die Ortskoordinate, sondern die substituierte Koordinate. Der Impulsoperator in der Ortsdarstellung,  wirkt aber auf die Ortskoordinate. Man könnte ihn bez. der neuen Variable y ausdrücken, oder sonst mit der Ortskoordinate rechnen und dann substituieren, um auf das angegebene Integral zu kommen:
\,\hat{p}\,\psi_0(x)\,\dd x=C_0^2\int\limits_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2\right)\left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2\right)\right)\,\dd x)
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
Wohnort: bayern
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| frage1 Verfasst am: 30. Mai 2022 09:32 Titel: |
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Myon, danke für deine Antwort!
Ich kann nur nicht nachvollziehen warum meine Berechnung falsch ist.
Habe ich den erwartungswert nicht richtig bestimmt?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18127
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| TomS Verfasst am: 30. Mai 2022 10:12 Titel: |
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Du hast nicht korrekt substituiert.
Auf das Ergebnis hat das keinen Einfluss, denn die Substitution ändert das Integral nur um einen Vorfaktor, d.h. das Ergebnis Null ist korrekt.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
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| jmd Verfasst am: 30. Mai 2022 20:42 Titel: |
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Man kann sich noch fragen
Wie groß ist der Erwartungswert vom Betrag des Impulses?
Denn der Erwartungswert vom Impuls müsste bei jedem Energieniveau des harmonischen Oszillators Null sein
Während der Mittelwert vom Betrag des Impulses immer größer wird
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18127
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| TomS Verfasst am: 30. Mai 2022 21:30 Titel: |
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Man betrachtet üblicherweise die Momente
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
Wohnort: bayern
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| frage1 Verfasst am: 31. Mai 2022 23:25 Titel: |
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Muss ich das ganze so berechnen? Also einfach für y diesen gesamten Ausdruck einsetzen und dann integrieren?
@Jmd, damit ich deine Frage beantworten kann, muss ich zuerst wissen, was der Erwartungswert in diesem Kontext aussagen soll. Ich versteh´ generell die Theorie dahinter nicht ganz. Was soll ich unter erwartungswert genau verstehen und was heißt das jetzt, wenn der erwartungswert 0 ist? Wann ist dieser nicht 0? Ich hab noch Verständnisprobleme
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5891
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| Myon Verfasst am: 01. Jun 2022 08:14 Titel: |
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Nein, das ist noch nicht ganz richtig.
=-\frac{m\omega}{\hbar}x\exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2\right))
PS: Zum Erwartungswert: Wenn man einen quantenmechanischen Oszillator hat und eine Messung des Impulses vornimmt, so haben die möglichen Messerergebnisse eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung (der genaue Wert kann nicht vorhergesagt werden). Der Erwartungswert des Impulses, also der gewichtete Mittelwert der möglichen Messwerte, ist hier gleich 0. Da das Potential symmetrisch um 0 ist, wäre es auch etwas seltsam, wenn es anders wäre.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18127
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| TomS Verfasst am: 01. Jun 2022 09:07 Titel: |
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Außerdem sieht man das sehr leicht, wenn man Erzeuger und Vernichter einführt.
Ort x und Impuls p folgen aus deren Linearkombinationen.
Da Erzeuger bzw. Vernichter jedoch den n-ten in den (n+1)-ten bzw. den (n-1)-ten Zustande überführen, verschwinden deren Erwartungswerte.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5891
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| Myon Verfasst am: 01. Jun 2022 14:22 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Außerdem sieht man das sehr leicht, wenn man Erzeuger und Vernichter einführt.
Ort x und Impuls p folgen aus deren Linearkombinationen.
Da Erzeuger bzw. Vernichter jedoch den n-ten in den (n+1)-ten bzw. den (n-1)-ten Zustande überführen, verschwinden deren Erwartungswerte. |
Vielen, vielen Dank für die Anmerkung. Ja, was man "leicht sieht", ist halt sehr, sehr relativ;-)
Ich habe meine eingescannte Vorlesungsmitschrift hervorgenommen und gesehen, dass erstens nicht gerade sehr präzis war, was ich oben geschrieben habe, und weiter, dass ich vor der algebraischen Lösung des HO vorhergehende Kapitel nochmals anschauen möchte. Heute komme ich nicht mehr dazu, aber ich hoffe, dass mir die Aussage zu den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auch noch klar wird. Werde mich allenfalls nochmals mit Fragen melden.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5891
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| Myon Verfasst am: 09. Jun 2022 17:36 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Da Erzeuger bzw. Vernichter jedoch den n-ten in den (n+1)-ten bzw. den (n-1)-ten Zustande überführen, verschwinden deren Erwartungswerte. |
Ich glaube, dass ich das Argument mit den Erzeugern und Vernichtern halbwegs verstanden habe. Ich fasse für mich selber kurz zusammen:
Man definiert Operatoren
,\quad\hat{b}^\dagger:=\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}\left(\sqrt{m\omega}\hat{x}-\frac{i}{\sqrt{m\omega}}\hat{p}\right))
Mit  und  können  und  und somit auch  dargestellt werden:
)
Man kann kann nun zeigen:
- ist hermitesch und hat Eigenwerte n=0, 1, 2,...
-Die Operatoren  führen Eigenzustände  in  bzw.  über (die  seien normiert):
Für die darstellenden Matrizen bezüglich der folgt daraus:
Die Diagonalelemente sind also gleich 0. Da  Linearkombinationen von und sind, sind auch deren Matrixdiagonalelemente gleich 0.
Damit folgt für alle Eigenzustände des Hamilton-Operators:
Oder kurz gesagt: wenn  , dann gilt
Für beliebige Zustände, also Linearkombinationen von , kann man dies aber nicht folgern.
Ist das einigermassen korrekt und war es so gemeint?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18127
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| TomS Verfasst am: 09. Jun 2022 17:48 Titel: |
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Genau so 
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5891
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| Myon Verfasst am: 09. Jun 2022 17:54 Titel: |
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Besten Dank!!
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