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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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 index_razor Verfasst am: 13. Mai 2022 18:23 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Vergleiche mal
Einkauf = (2, 0, 3)
mit
Einkauf = 2 Milch und 0 Kartoffeln und 3 Salami)
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ist für mich das gleiche, wenn man implizit vereinbart hat, dass der erste Wert in der Klammer für Milch, der zweite für Kartoffeln und der dritte für Salami steht.
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Ja, wenn. Du kannst auch vereinbaren, daß "x=(2,0,3)" und dann bedeutet "Einkauf=x" auch dasselbe und ist von allen Varianten am wenigsten "geschwätzig". Man kauft aber nicht immer dasselbe ein, und man betrachtet nicht immer dasselbe System von Vektoren. Also benötigt man flexiblere Konventionen.
| Zitat: |
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Es geht um mehrere Dinge: das Gleichsetzen von Vektor mit n-Tupel der Komponenten
… ist streng genommen falsch
… unterschlägt, bzgl. welcher Basis die Komponenten gelten
… suggeriert evtl. fälschlicherweise Ungleichheit oder Gleichheit
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Davon scheint mir nur die Aussage:
"… unterschlägt, bzgl. welcher Basis die Komponenten gelten" konkret.
Ja, die Basis wird implizit vorausgesetzt.
Das kann ich auch am Anfang einmal hinschreiben und muss es dann nicht mitschleppen.
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Keiner will dir verbieten irgendwelche Vereinbarungen zu treffen und dich danach daran zu halten. Es will dir auch keiner das Rechnen mit Komponententupeln verbieten. Es geht nur darum den abstrakten Vektor von seinem Komponententupel zu unterscheiden.
| Zitat: |
Die beiden anderen Aussagen sind ohne weitere Information unbegründete Behauptungen, die genauso für eine Zerlegung in Basisvektoren gelten könnte.
Das kann ich nicht entscheiden, wenn nicht gesagt wird, warum das "strenggenommen falsch" ist.
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Das ist nicht schwer: Für verschiedene Basen gilt
Es gilt aber im allgemeinen  \neq (a', b')) .
Beispiele kannst du dir beliebig viele konstruieren, z.B. a=1, b=0 und  , also  = (1/2, 1/2) \neq (1, 0))
Also gibt es doch wohl einen Unterschied. Zu demselben Vektor gehören verschiedene Komponententupel. Also kann der Vektor nicht dasselbe sein.
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 13. Mai 2022 18:39 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Ja, und? Trotzdem ist der Vektor nicht gleich dem Koordinatentupel. Deswegen wolltest du doch ein Gleichheitszeichen mit Punkt drüber zwischen Vektor und Tupel schreiben. Ich wollte dir nur zeigen, daß du keine seltsamen Gleichheitszeichen benötigst, sondern dasselbe auch weniger obskur ausdrücken kannst.
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Wir haben
1.) Einkauf = (2,0,3)
und
2.) Einkauf = 2*êMilch+0*êKartoffeln+3*êSalami
Wenn 1.) nur eine andere Schreibweise für 2.) ist, warum darf ich bei 1.) kein Gleichheitszeichen setzen, aber bei zwei?
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Dein Tupel benötigt für dieselbe Information überflüssige Nullen. |
Das könnte man einer Darstellung von Zahlen in einem Stellenwertsystem gegenüber einer additiven Zahlschrift auch vorwerfen.
Dennoch hat sich die indisch-arabische Darstellung von Zahlen gegenüber der römischen durchgesetzt.
Andererseits ist die Kennzeichnung der imaginären Komponente von komplexen Zahlen mit dem Präfix "i" (z = a +ib) wahrscheinlich in vielen Fällen praktischer als die Darstellung als 2-Tupel (z = (a,b)) |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 13. Mai 2022 19:07 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Vergleiche mal
Einkauf = (2, 0, 3)
mit
Einkauf = 2 Milch und 0 Kartoffeln und 3 Salami)
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ist für mich das gleiche, wenn man implizit vereinbart hat, dass der erste Wert in der Klammer für Milch, der zweite für Kartoffeln und der dritte für Salami steht.
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Ja, wenn. Du kannst auch vereinbaren, daß "x=(2,0,3)" und dann bedeutet "Einkauf=x" auch dasselbe und ist von allen Varianten am wenigsten "geschwätzig". Man kauft aber nicht immer dasselbe ein, und man betrachtet nicht immer dasselbe System von Vektoren. Also benötigt man flexiblere Konventionen.
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Hmm....
Wenn ich für jede Kombination von Milch, Kartoffeln und Salami ein eigenes Zeichen verwende und die Anzahlen im Bereich zischen 0 und 9 liegen, brauche ich schon 1.000 Zeichen für verschiedene Einkäufe nur dieser Produkte.
Dagegen werde ich wohl normalerweise weniger als 1.000 verschiedene Dinge einkaufen.
IMO muss man das am konkreten Fall entscheiden. Der Einkauf war ja nur eine Metapher und solche sollte man nicht überstrapazieren.
Kein Mensch schreibt einen Einkaufszettel als Zeilen- oder Spaltenvektor in einer Basis aller möglichen Einkäufe.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Keiner will dir verbieten irgendwelche Vereinbarungen zu treffen und dich danach daran zu halten. Es will dir auch keiner das Rechnen mit Komponententupeln verbieten. Es geht nur darum den abstrakten Vektor von seinem Komponententupel zu unterscheiden.
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Hab ich ja verstanden, aber dann müsste man IMO den abstrakten Vektor auch von einer Zerlegung in Basisvektoren unterscheiden.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
Die beiden anderen Aussagen sind ohne weitere Information unbegründete Behauptungen, die genauso für eine Zerlegung in Basisvektoren gelten könnte.
Das kann ich nicht entscheiden, wenn nicht gesagt wird, warum das "strenggenommen falsch" ist.
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Das ist nicht schwer: Für verschiedene Basen gilt
Es gilt aber im allgemeinen .
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ja, das ist klar, wenn man einfach die (implizite) Basis wechselt, ohne das explizit anzugeben.
“There are 10 types of people in the world:
those who understand binary and those who don’t.”
ich könnte doch auch schreiben:
 = (a', b')')
wobei der ' an der Klammer kennzeichnet, dass sich das Komponententupel auf die gestrichene Basis bezieht?
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Also gibt es doch wohl einen Unterschied. Zu demselben Vektor gehören verschiedene Komponententupel. Also kann der Vektor nicht dasselbe sein. |
Das kann ich doch auch von einer Zerlegung in explizit angegebene Vektoren sagen? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Mai 2022 19:14 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Ja, und? Trotzdem ist der Vektor nicht gleich dem Koordinatentupel. Deswegen wolltest du doch ein Gleichheitszeichen mit Punkt drüber zwischen Vektor und Tupel schreiben. Ich wollte dir nur zeigen, daß du keine seltsamen Gleichheitszeichen benötigst, sondern dasselbe auch weniger obskur ausdrücken kannst.
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Wir haben
1.) Einkauf = (2,0,3)
und
2.) Einkauf = 2*êMilch+0*êKartoffeln+3*êSalami
Wenn 1.) nur eine andere Schreibweise für 2.) ist, warum darf ich bei 1.) kein Gleichheitszeichen setzen, aber bei zwei?
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Ich kehre mal zum schrägen Wurf zurück, weil mir das Beispiel mit dem Einkauf nicht gefällt, also
1) )
2) 
1) ist keine andere Schreibweise für 2). Das ist doch genau die Behauptung.
Gleichheitsszeichen kannst du meinetwegen an beide setzen, allerdings nicht gleichzeitig in derselben Rechnung. Eine andere Basiszerlegung desselben Vektors in 2) ergibt nämlich ein anderes Tripel in 1). Wenn du für beides dieselbe Bezeichnung verwendest, ist das formal nicht korrekt. Du benötigst dann eben ein
1') v' = (irgendwelche anderen Komponenten).
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Dein Tupel benötigt für dieselbe Information überflüssige Nullen. |
Das könnte man einer Darstellung von Zahlen in einem Stellenwertsystem gegenüber einer additiven Zahlschrift auch vorwerfen.
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Nein, kann man nicht, denn die Nullen sind nicht überflüssig. Und es ist auch kein Vorwurf. Ich vergleiche lediglich die Eigenschaften von Tupeln und Linearkombinationen von Vektoren. Dabei kommt nun mal raus, was rauskommt.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 13. Mai 2022 19:27 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Dein Tupel benötigt für dieselbe Information überflüssige Nullen. |
Das könnte man einer Darstellung von Zahlen in einem Stellenwertsystem gegenüber einer additiven Zahlschrift auch vorwerfen.
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Nein, kann man nicht, denn die Nullen sind nicht überflüssig.
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Wieso?
Man kann doch 1001 = 1*Tausend + 0* Hundert + 0*Zehn + 1*Eins auch MI schreiben (1*Tausend + 1*Eins) und die Nullen, die nix beitragen, weglassen.
Nur zum Rechnen ist das unpraktisch, weil man im Stellenwertsystem die Komponenten schon bezüglich des Wertes sortiert hat.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Und es ist auch kein Vorwurf. Ich vergleiche lediglich die Eigenschaften von Tupeln und Linearkombinationen von Vektoren.
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Da gilt IMO das gleiche: je nach konkreter Anwendung, kann die Tupeldarstellung das Rechnen und die Übersicht erleichtern oder eventuell auch erschweren. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Mai 2022 19:30 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Vergleiche mal
Einkauf = (2, 0, 3)
mit
Einkauf = 2 Milch und 0 Kartoffeln und 3 Salami)
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ist für mich das gleiche, wenn man implizit vereinbart hat, dass der erste Wert in der Klammer für Milch, der zweite für Kartoffeln und der dritte für Salami steht.
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Ja, wenn. Du kannst auch vereinbaren, daß "x=(2,0,3)" und dann bedeutet "Einkauf=x" auch dasselbe und ist von allen Varianten am wenigsten "geschwätzig". Man kauft aber nicht immer dasselbe ein, und man betrachtet nicht immer dasselbe System von Vektoren. Also benötigt man flexiblere Konventionen.
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Hmm....
Wenn ich für jede Kombination von Milch, Kartoffeln und Salami ein eigenes Zeichen verwende und die Anzahlen im Bereich zischen 0 und 9 liegen, brauche ich schon 1.000 Zeichen für verschiedene Einkäufe nur dieser Produkte.
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Wenn du einfach annehmen darfst, daß alle Mengen sich immer nur auf Milch, Kartoffeln und Salami beziehen, dann darf ich auch annehmen, daß es immer dieselben Mengen sind. Also reicht ein x. Auf welcher Basis legst du fest, daß deine Konvention flexibel genug ist, meine aber nicht? Ich will ja gerade darauf hinaus, daß deine im allgemeinen auch nicht flexibel genug ist. Vielleicht will man manchmal eine Einkaufsliste mit  formulieren. Schon bedeuten alle Tupel etwas anderes.
| Zitat: |
Dagegen werde ich wohl normalerweise weniger als 1.000 verschiedene Dinge einkaufen.
IMO muss man das am konkreten Fall entscheiden. Der Einkauf war ja nur eine Metapher und solche sollte man nicht überstrapazieren.
Kein Mensch schreibt einen Einkaufszettel als Zeilen- oder Spaltenvektor in einer Basis aller möglichen Einkäufe.
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Ja, wie gesagt, mir gefällt das Beispiel auch nicht. Aber in typischeren Beispielen passiert es noch öfter, daß man die Basis wechselt.
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Keiner will dir verbieten irgendwelche Vereinbarungen zu treffen und dich danach daran zu halten. Es will dir auch keiner das Rechnen mit Komponententupeln verbieten. Es geht nur darum den abstrakten Vektor von seinem Komponententupel zu unterscheiden.
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Hab ich ja verstanden, aber dann müsste man IMO den abstrakten Vektor auch von einer Zerlegung in Basisvektoren unterscheiden.
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Was willst du denn da untrscheiden? Für jeden Vektor v, und jede Basis  gibt es eine eindeutige Zerlegung, so daß
Das gehört zu den Grundregeln des Vektorraums.
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Also gibt es doch wohl einen Unterschied. Zu demselben Vektor gehören verschiedene Komponententupel. Also kann der Vektor nicht dasselbe sein. |
Das kann ich doch auch von einer Zerlegung in explizit angegebene Vektoren sagen? |
Nein, kann man nicht. Eine Zerlegung bzgl. einer Basis ist eindeutig. Wenn du darauf hinauswillst, daß ich denselben Vektor nach verschiedenen Basen zerlegen kann, dann ist das genau was ich behaupte und der Grund warum man im allgemeinen den Vektor von seinem Komponententupel unterscheiden muß.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Mai 2022 19:43 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Dein Tupel benötigt für dieselbe Information überflüssige Nullen. |
Das könnte man einer Darstellung von Zahlen in einem Stellenwertsystem gegenüber einer additiven Zahlschrift auch vorwerfen.
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Nein, kann man nicht, denn die Nullen sind nicht überflüssig.
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Wieso?
Man kann doch 1001 = 1*Tausend + 0* Hundert + 0*Zehn + 1*Eins auch MI schreiben (1*Tausend + 1*Eins) und die Nullen, die nix beitragen, weglassen.
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Ja, du kannst die Nullen aus der Zerlegung auf der rechten Seite weglassen, nicht aus dem Tupel auf der linken Seite. Das ist also tatsächlich genau wie bei Vektoren, nicht anders. Aber es ist immer noch eine reine Feststellung, kein Vorwurf. Ich weiß nicht worauf du hinauswillst.
P.S: Übrigens ist  nicht analog zu "MI", sondern zu  .
| Zitat: |
Nur zum Rechnen ist das unpraktisch, weil man im Stellenwertsystem die Komponenten schon bezüglich des Wertes sortiert hat.
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Deswegen ist es nicht unpraktisch die Zerlegung zu benutzen. Beim Wechsel der Basis ist das sogar manchmal praktisch. Genau wie bei Basiswechseln im Vektorraum. (Auch zum Kopfrechnen finde ich solche Zerlegungen praktisch. Große Zahlen kann ich im Kopf besser multiplizieren, wenn ich eine davon zerlege und das Distributivgesetz benutze.)
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Und es ist auch kein Vorwurf. Ich vergleiche lediglich die Eigenschaften von Tupeln und Linearkombinationen von Vektoren.
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Da gilt IMO das gleiche: je nach konkreter Anwendung, kann die Tupeldarstellung das Rechnen und die Übersicht erleichtern oder eventuell auch erschweren. |
Habe ich etwas anderes behauptet? Ich habe nur deiner Meinung widersprochen: "Eben, man braucht aber mehr Zeichen und ist IMO nicht so aufgeräumt." Das stimmt eben gerade in deinem eigenen Anwendungsfall nicht. Für einen schrägen Wurf benötigt man nur zwei Richtungen: in die eine wirkt die Kraft, und die andere steht senkrecht dazu. Damit ist die Zerlegung immer recht simpel, während Komponententripel im Vergleich dazu redundant oder kompliziert sind.
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Zuletzt bearbeitet von index_razor am 13. Mai 2022 19:55, insgesamt einmal bearbeitet |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 13. Mai 2022 19:54 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
Hab ich ja verstanden, aber dann müsste man IMO den abstrakten Vektor auch von einer Zerlegung in Basisvektoren unterscheiden.
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Was willst du denn da untrscheiden? Für jeden Vektor v, und jede Basis gibt es eine eindeutige Zerlegung, so daß
Das gehört zu den Grundregeln des Vektorraums.
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und gibt es nicht auch für jeden Vektor v und jede Basis ein eindeutiges Tupel, das diese Basis darstellt?
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Also gibt es doch wohl einen Unterschied. Zu demselben Vektor gehören verschiedene Komponententupel. Also kann der Vektor nicht dasselbe sein. |
Das kann ich doch auch von einer Zerlegung in explizit angegebene Vektoren sagen? |
Nein, kann man nicht. Eine Zerlegung bzgl. einer Basis ist eindeutig.
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Ich spreche nicht von einer Zerlegung bzgl. einer Basis, sondern von Zerlegungen in verschiedene Basisvektoren.
Oder gibt es zu jedem Vektor verschiedene Komponententupel bzgl. der gleichen Basis?
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Wenn du darauf hinauswillst, daß ich denselben Vektor nach verschiedenen Basen zerlegen kann, dann ist das genau was ich behaupte und der Grund warum man im allgemeinen den Vektor von seinem Komponententupel unterscheiden muß. |
Genau darauf will ich hinaus.
Wenn man einen Vektor im allgemeinen von seinem Komponententupel unterscheiden muss, dann muss man IMO auch einen Vektor im allgemeinen von seiner Zerlegung bzgl. einer bestimmten Basis unterscheiden.
Daher verstehe ich nicht, warum man einmal ein Gleichheitszeichen setzen darf und einmal nicht. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Mai 2022 20:08 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
Hab ich ja verstanden, aber dann müsste man IMO den abstrakten Vektor auch von einer Zerlegung in Basisvektoren unterscheiden.
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Was willst du denn da untrscheiden? Für jeden Vektor v, und jede Basis gibt es eine eindeutige Zerlegung, so daß
Das gehört zu den Grundregeln des Vektorraums.
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und gibt es nicht auch für jeden Vektor v und jede Basis ein eindeutiges Tupel, das diese Basis darstellt?
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Ja, natürlich. Genau das zeigt, daß ein Vektor etwas anderes ist als das Tupel und folglich beides nicht gleichgesetzt werden sollte. Erst zusammen mit einer Basis wird das Tupel zum Vektor.
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Also gibt es doch wohl einen Unterschied. Zu demselben Vektor gehören verschiedene Komponententupel. Also kann der Vektor nicht dasselbe sein. |
Das kann ich doch auch von einer Zerlegung in explizit angegebene Vektoren sagen? |
Nein, kann man nicht. Eine Zerlegung bzgl. einer Basis ist eindeutig.
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Ich spreche nicht von einer Zerlegung bzgl. einer Basis, sondern von Zerlegungen in verschiedene Basisvektoren.
Oder gibt es zu jedem Vektor verschiedene Komponententupel bzgl. der gleichen Basis?
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Nein, natürlich nicht.
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Wenn du darauf hinauswillst, daß ich denselben Vektor nach verschiedenen Basen zerlegen kann, dann ist das genau was ich behaupte und der Grund warum man im allgemeinen den Vektor von seinem Komponententupel unterscheiden muß. |
Genau darauf will ich hinaus.
Wenn man einen Vektor im allgemeinen von seinem Komponententupel unterscheiden muss, dann muss man IMO auch einen Vektor im allgemeinen von seiner Zerlegung bzgl. einer bestimmten Basis unterscheiden.
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Das folgt einfach nicht. Unterscheidest du auch 10 und 7+3? Inwiefern unterscheidest du das? Jedenfalls kannst du schreiben 10 = 7+3 (normales Gleichheitszeichen). Genauso kannst du schreiben  . Du kannst aber nicht ohne weiteres für dasselbe ) schreiben. Dazu benötigst du weitere explizite Voraussetzungen, nämlich , e_2=(0,1)) , m.a.W. du rechnest die ganze Zeit im  mit seiner kanonischen Basis. Das will dir hier niemand verbieten. Aber es gibt andere Basen als die kanonische und andere zweidimensionale Vektorräume als den . Deswegen kann man nicht einfach behaupten, daß alle zweidimensionalen Vektoren Zahlenpaare sind. Sie sind lediglich isomorph zu Zahlenpaaren.
| Zitat: | | Daher verstehe ich nicht, warum man einmal ein Gleichheitszeichen setzen darf und einmal nicht. |
Was habe ich denn weiter oben geschrieben?
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Gleichheitsszeichen kannst du meinetwegen an beide setzen, allerdings nicht gleichzeitig in derselben Rechnung. Eine andere Basiszerlegung desselben Vektors in 2) ergibt nämlich ein anderes Tripel in 1). Wenn du für beides dieselbe Bezeichnung verwendest, ist das formal nicht korrekt. Du benötigst dann eben ein
1') v' = (irgendwelche anderen Komponenten).
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Ist das nicht klar genug?
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Zuletzt bearbeitet von index_razor am 13. Mai 2022 22:33, insgesamt einmal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Mai 2022 20:16 Titel: |
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Konkretes Beispiel. Sei  = a + bx + cx^2) ein beliebiges Polynom 2. Grades. Die Menge aller dieser Polynome bildet einen dreidimensionalen Vektorraum, und eine Basis ist ) . Also hat P die Komponenten (a,b,c) bzgl. dieser Basis. Ist deswegen
 = (a,b,c)) ?
Nein, das ergibt keinen Sinn. P ist ein Polynom in x, kein Tripel.
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Zuletzt bearbeitet von index_razor am 13. Mai 2022 20:17, insgesamt einmal bearbeitet |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 13. Mai 2022 20:17 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Habe ich etwas anderes behauptet? Ich habe nur deiner Meinung widersprochen: "Eben, man braucht aber mehr Zeichen und ist IMO nicht so aufgeräumt." Das stimmt eben gerade in deinem eigenen Anwendungsfall nicht. |
diese Aussage bezog sich auf dieses konkrete Beispiel, bzw. Deinen Alternativvorschlag:
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Dann darf ich beim schrägen Wurf auch nicht schreiben
\\ v_0\sin(\alpha) \end{pmatrix}\ \ ?)
sondern müsste das Gleichheitszeichen mit dem Punkt drüber verwenden, dass ich auf die Schnelle nicht gefunden habe?
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Wie wär's mit \vec{e}_x + \sin(\alpha)\vec{e}_z)) ? |
da sehe ich in Deinem Alternativvorschlag eindeutig die zusätzlichen Symbole (Zeichen)
 und  |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 13. Mai 2022 20:28 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: | | Daher verstehe ich nicht, warum man einmal ein Gleichheitszeichen setzen darf und einmal nicht. |
Was habe ich denn weiter oben geschrieben?
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Gleichheitsszeichen kannst du meinetwegen an beide setzen, allerdings nicht gleichzeitig in derselben Rechnung. Eine andere Basiszerlegung desselben Vektors in 2) ergibt nämlich ein anderes Tripel in 1). Wenn du für beides dieselbe Bezeichnung verwendest, ist das formal nicht korrekt. Du benötigst dann eben ein
1') v' = (irgendwelche anderen Komponenten).
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Ist das nicht klar genug? |
Doch, ich kann das Gleichheitszeichen setzen, darf aber in einer Rechnung nicht verschiedene Komponententupel verwenden, die sich auf verschiedene Basen beziehen, ohne die jeweils verwendeten Basen explizit anzugeben.
In der Schreibweise als Superposition von Produkten der Komponenten mit Basisvektoren ist die Basis schon explizit durch die verwendeten Basisvektoren angegeben.
so korrekt? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Mai 2022 20:29 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Habe ich etwas anderes behauptet? Ich habe nur deiner Meinung widersprochen: "Eben, man braucht aber mehr Zeichen und ist IMO nicht so aufgeräumt." Das stimmt eben gerade in deinem eigenen Anwendungsfall nicht. |
diese Aussage bezog sich auf dieses konkrete Beispiel, bzw. Deinen Alternativvorschlag:
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Dann darf ich beim schrägen Wurf auch nicht schreiben
sondern müsste das Gleichheitszeichen mit dem Punkt drüber verwenden, dass ich auf die Schnelle nicht gefunden habe?
|
Wie wär's mit ? |
da sehe ich in Deinem Alternativvorschlag eindeutig die zusätzlichen Symbole (Zeichen)
und |
Ja, diese Zeichen werden benötigt, um Information auszudrücken, die du in Komponentenschreibweise entweder komplizierter ausdrücken mußt oder einfach implizit voraussetzen mußt. Du hast z.B. einfach die zweite irrelevante Komponente orthogonal zur Kraft null gesetzt und weggelassen. Das ist so, als hättest du "11" geschrieben und 1001 gemeint, mit der Begründung: "Ist doch klar, 100er und 10er gibt es eben in meinem Problem nicht."
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Mai 2022 20:35 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: | | Daher verstehe ich nicht, warum man einmal ein Gleichheitszeichen setzen darf und einmal nicht. |
Was habe ich denn weiter oben geschrieben?
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Gleichheitsszeichen kannst du meinetwegen an beide setzen, allerdings nicht gleichzeitig in derselben Rechnung. Eine andere Basiszerlegung desselben Vektors in 2) ergibt nämlich ein anderes Tripel in 1). Wenn du für beides dieselbe Bezeichnung verwendest, ist das formal nicht korrekt. Du benötigst dann eben ein
1') v' = (irgendwelche anderen Komponenten).
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Ist das nicht klar genug? |
Doch, ich kann das Gleichheitszeichen setzen, darf aber in einer Rechnung nicht verschiedene Komponententupel verwenden, die sich auf verschiedene Basen beziehen, ohne die jeweils verwendeten Basen explizit anzugeben.
In der Schreibweise als Superposition von Produkten der Komponenten mit Basisvektoren ist die Basis schon explizit durch die verwendeten Basisvektoren angegeben.
so korrekt? |
Ja, das ist schon korrekt. Aber es ist nicht der einzige relevante Punkt. Das wesentliche war der Unterschied zwischen Vektor und Komponenten. Der verschwindet nicht, selbst wenn du die ganze Zeit bei einer Basis bleibst oder dazuschreibst auf welche Basis du dich beziehst. Siehe dieses Beispiel um diesen Punkt klarer zu machen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18199
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| TomS Verfasst am: 13. Mai 2022 21:32 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Hier ging es aber ums Lernen, und da sollte man erst sauber verstanden haben, was gemeint ist, und erst dann verkürzen. |
Das war doch mein Punkt: Man sollte erst mal verstanden haben, was ein Skalarprodukt … ist. Das mal in einer konkreten Basis auszuschreiben, hat IMO nix mit seitenlangen Rechnungen zu tun. |
Genau anders herum.
1. die Kets sind eine Notation, das hat noch nichts mit Verständnis zu tun
2. für ein Skalarprodukt zwischen zwei Einheitsvektoren  gilt
Das ist die wesentliche Bedeutung, die Verwendung von Komponenten verstellt nur den Blick darauf und täuscht Verständnis vor.
Ist übrigens kein Vorwurf an dich sondern an die Lehrer u.a.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 13. Mai 2022 22:26 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Hier ging es aber ums Lernen, und da sollte man erst sauber verstanden haben, was gemeint ist, und erst dann verkürzen. |
Das war doch mein Punkt: Man sollte erst mal verstanden haben, was ein Skalarprodukt … ist. Das mal in einer konkreten Basis auszuschreiben, hat IMO nix mit seitenlangen Rechnungen zu tun. |
Genau anders herum.
1. die Kets sind eine Notation, das hat noch nichts mit Verständnis zu tun
2. für ein Skalarprodukt zwischen zwei Einheitsvektoren gilt
Das ist die wesentliche Bedeutung,
|
Was folgt daraus für 
Und was ist die wesentliche Bedeutung von
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18199
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| TomS Verfasst am: 14. Mai 2022 08:08 Titel: |
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Für normierte Zustandsvektoren folgt damit
Das Gebilde |a><b| ist ein Operator auf dem Raum der Kets, denn
 \, |c\rangle = |a\rangle \, (\langle b|c\rangle ) = e^{i\theta_{a,c}} \, \cos\phi_{b,c} \, |a\rangle)
bildet einen Ket auf einen Ket ab.
(Ausgedrückt in Komponenten liefert dies Spaltenvektoren und Matrizen, das ist aber nicht unbedingt notwendig)
Das Gebilde
mit
^2 = |a\rangle\langle a|)
ist der Projektor auf |a>
(kann man mit einer Diagonalmatrix darstellen, die an exakt einer Stelle eine Eins aufweist, sonst Nullen; liefert aber keinen zusätzlichen Erkenntnisgewinb)
Das liefert für einen beliebigen Zustand psi die Wahrscheinlichkeit
 = |\langle a|\psi\rangle|^2 = \langle \psi| E_a |\psi\rangle = \left| e^{i\theta_{a,\psi}} \, \cos\phi_{a,\psi} \right|^2 = cos^2\phi_{a,\psi} )
dass der Zustand psi einen a-Anteil aufweist (als Erwartungswert des Projektors)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 14. Mai 2022 10:24 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Für normierte Zustandsvektoren folgt damit
|
Hmm..
"normierte Zustandsvektoren übersetze ich mit "mit der Länge 1"
Die obige Gleichung lese ich so (ich bitte um Korrektur), dass das Skalarprodukt zweier solcher Vektoren, die in einer Ebene des Zustandsraums (?) im Winkel  zueinander stehen, eine komplexe Zahl darstellt, die in der komplexen Zahlenebene wieder als ein Vektor dargestellt werden kann, mit der Länge
 und einer Richtung, die durch  bestimmt ist.
Die Länge ist 1 für einen Winkel von 0° also parallele Zustandsvektoren und wird 0 für Zustandsvektoren, die im Winkel von 90° zueinander stehen.
Man könnte das auch als die Projektion des einen Vektors auf den anderen verstehen.
Bei 0° ist das Skalarprodukt rein reel, also in der komplexen Zahlenebene parallel zur reellen Achse. Mit steigendem Winkel nimmt der Realteil ab und der Imaginärteil zu.
D.h. das Skalarprodukt zweier normierter Vektoren im Zustandsraum ist eine komplexe Zahl bzw. ein Vektor in einem entsprechenden reellen 2-D-Vektorraum dessen Ansatz im Ursprung liegt und der mit steigendem Winkel immer kürzer wird und mehr in die Ebene hinein gedreht wird.
Das sind zumindest die Bilder, die bei mir im Kopf entstehen, wenn ich mir die Gleichung anschaue.
Allerdings weiß nun auch nicht, welche Bedeutung das nun bezüglich der QT hat. Eventuell stehen die Bilder in meinem Kopf und meine Vorurteile gegenüber diesen Symbolen auch dem Verständnis im Wege und jemand, der da unvoreingenommener an die Sache ranginge, hätte das nun schon verstanden. 
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Das Gebilde |a><b| ist ein Operator auf dem Raum der Kets, denn
offensichtlich bildet es einen Ket auf einen Ket ab.
|
Okay wenn man das Gebilde von links an ein Ket |a> wirken lässt, entsteht offensichtlich zunächst wieder ein Skalarprodukt <b|a> das mit dem "übrigen"
ket |a> multipliziert wird.
Wieso steht da nun der Winkel zwischen |a> und |c> im Exponenten?
Passiert das bei der Vertauschung?
Und was bedeutet ein Produkt zwischen einem Vektor im Zustandsraum und einer komplexen Zahl?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Das Gebilde |a><a| mit
^2 = |a\rangle\langle a|)
ist der Projektor auf |a>
 \, |c\rangle = |a\rangle \, (\langle a|c\rangle ) = e^{i\theta_{a,c}} \, \cos\phi_{a,c} \, |a\rangle)
Das liefert für einen beliebigen Zustand psi die Wahrscheinlichkeit
 = |\langle a|\psi\rangle|^2 = \left| e^{i\theta_{a,\psi}} \, \cos\phi_{a,\psi} \right|^2 = cos^2\phi_{a,\psi} )
dass der Zustand psi einen a-Anteil aufweist. |
Das ist einsichtig.
Die Bedeutung der Vektoren erschließt sich also erst, wenn man das Betragsquadrat bildet und damit die komplexe Zahl auf eine reelle abbildet? |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 14. Mai 2022 11:06 Titel: |
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| Zitat: | | auch nicht mehr relevant, nachdem sich terminus hier verabschiedet hat. |
ich habe mich nicht verabschiedet, ich überfliege durchaus noch den ein oder anderen Post, aber ich lese nichts mehr von TomS' Erklärungen, weil sie deswegen unverständlich sind, weil er ständig unverständliche Formeln und Terme mit einem noch weit unverständlicheren Schwall von Formeln und Termen "beantwortet", die aber nichts erklären und nichts herunterbrechen auf die Verständnis-Ebene des Fragestellers, und er Fragen zu anderen Darstellungen und Begründungen (n-Tupel, Funktionen als Abbildungen von Mengen auf Mengen) einfach überbügelt.
Stattdessen wäre es sinnvoll, erst einmal (in diesem speziellen Falle) ganz unten bei der LA und ihren Rechenregeln für Zeilen- und Spaltenvektoren und Matrizen im R³ anzufangen, dann das Ganze auf den C³ zu erweitern, und dann mit einfachen Rechenbeispielen konkrete Aufgaben durchzurechnen.
Hier wäre immer darauf hinzuweisen, welche Operatoren mit welchen Termen zu welchen Ergebnissen führen (Skalar aus welcher Grundmenge, anderer Vektor, aus welchem Vektorraum, oder eine Matrize mit welchem Format auch immer).
Wenn hier die zugrundeliegende LA komplett begriffen wurde und auf eine Vielzahl von Fällen angewendet werden kann, DANN und (ERST DANN) kann man anfangen, die Bra-Kets einzuführen, mit ähnlichen Methoden, wie Aruna das Summensymbol erklärt hat, und für den Anfang IMMER noch JEDEN Operator klar unterscheidbar dazwischenzuschreiben (Inneres, äußeres, Skalar- oder Matrizenprodukt).
Und IMMER noch darauf hinzuweisen, was für ein Element aus welcher Menge nun das Rechenergebnis bei jedem Einzelterm nun ist (Skalar aus welcher Grundmenge, anderer Vektor, aus welchem Vektorraum, oder eine Matrize mit welchem Format auch immer), damit man den Bogen zum Rechnen mit n-Tupeln nicht verliert.
Wenn das alles klar verstanden wurde, kann man langsam (!) anfangen, mal einen Operator wegzulassen wie bei <a|b>, vorher nicht.
Aber jetzt bin ich erst mal wieder raus, so lange zumindest, wie hier nur Formeltohuwabohu steht.
PS,
und damit ich hier auch etwas antworten kann, soweit Formeln erforderlich sind, bräuchte ich erst mal einen anderen Forumseditor mit erweiterten Formatier-Features.
my2ct.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 14. Mai 2022 11:52 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Das Gebilde |a><b| ist ein Operator auf dem Raum der Kets, denn
offensichtlich bildet es einen Ket auf einen Ket ab.
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Okay wenn man das Gebilde von links an ein Ket |a> wirken lässt, entsteht offensichtlich zunächst wieder ein Skalarprodukt <b|a> das mit dem "übrigen"
ket |a> multipliziert wird.
Wieso steht da nun der Winkel zwischen |a> und |c> im Exponenten?
Passiert das bei der Vertauschung? |
Das ist wohl ein Schreibfehler. Bei der Vertauschung passiert nichts. Das ist ganz normale Vektoralgebra  (mit  ). Nur innerhalb des Skalarprodukts muß man mit der Vertauschung aufpassen  .
Die Zahl  würde man übrigens vermutlich auch eher als "relative Phase" zwischen  und  bezeichnen, nicht unbedingt als "Winkel".
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 14. Mai 2022 11:59 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: |
Wenn hier die zugrundeliegende LA komplett begriffen wurde und auf eine Vielzahl von Fällen angewendet werden kann, DANN und (ERST DANN) kann man anfangen, die Bra-Kets einzuführen,
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das ist aber ganz schön anspruchsvoll
Anspruchsvoller, als zu meiner Zeit mindestens ein Professor der theoretischen Physik, der Kursvorlesungen über Quantentheorie hielt.
| terminus hat Folgendes geschrieben: |
PS,
und damit ich hier auch etwas antworten kann, soweit Formeln erforderlich sind, bräuchte ich erst mal einen anderen Forumseditor mit erweiterten Formatier-Features.
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Was stimmt denn mit dem vorhandenen Formeleditor nicht?
https://www.physikerboard.de/formeleditor.php
Was da nicht drin ist, kann man googeln und dann im Editor prüfen.
Alternativ kannst Du Deine Rechnungen auf ein Blatt schreiben und einscannen oder mit sonst einem Programm erstellen und dann das Ergebnis hier hochladen.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | Funktionen als Abbildungen von Mengen auf Mengen
|
Hast Du Lust, an dieser Stelle mit mir weiter zu machen? :-)
Wie Du sicher bemerkt hast, bin ich zwar weit weniger kompetent als TomS oder index_razor aber damit auch näher an Dir dran.
Erinnerst Du Dich an die Funktionen in der Analysis, die reelle Zahlen auf reele Zahlen abbilden und in einem Diagramm mit y(x)- (bzw. f(x))- und x-Achse dargestellt wurden?
z.b. y= f(x) = x, f(x) = x² oder f(x) = cos (x)?
Oder vielleicht in der Physik Funktionen von der Zeit f(t), die z.B. in Weg/Orts-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit- oder Beschleunigungs-Zeit-Diagrammen darstellt wurden?
x(t), v(t), a(t) ? |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 14. Mai 2022 12:10 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: |
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Das Gebilde |a><b| ist ein Operator auf dem Raum der Kets, denn
offensichtlich bildet es einen Ket auf einen Ket ab.
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Okay wenn man das Gebilde von links an ein Ket |a> wirken lässt, entsteht offensichtlich zunächst wieder ein Skalarprodukt <b|a> das mit dem "übrigen"
ket |a> multipliziert wird.
Wieso steht da nun der Winkel zwischen |a> und |c> im Exponenten?
Passiert das bei der Vertauschung? |
Das ist wohl ein Schreibfehler. Bei der Vertauschung passiert nichts. Das ist ganz normale Vektoralgebra (mit ). Nur innerhalb des Skalarprodukts muß man mit der Vertauschung aufpassen .
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okay, danke
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Die Zahl würde man übrigens vermutlich auch eher als "relative Phase" zwischen und bezeichnen, nicht unbedingt als "Winkel". |
Ich dachte, "Winkel" würde besser zu TomS Ansatz mit den Drehungen passen.
Mit Phase assoziiere ich wieder Wellen bei einem abstrakten Vektor ist mir nicht ganz klar, was ich mir darunter vorstellen soll. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 14. Mai 2022 12:17 Titel: |
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| Zitat: | Erinnerst Du Dich an die Funktionen in der Analysis, die reelle Zahlen auf reele Zahlen abbilden und in einem Diagramm mit y(x)- (bzw. f(x))- und x-Achse dargestellt wurden?
z.b. y= f(x) = x, f(x) = x² oder f(x) = cos (x)?
Oder vielleicht in der Physik Funktionen von der Zeit f(t), die z.B. in Weg/Orts-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit- oder Beschleunigungs-Zeit-Diagrammen darstellt wurden?
x(t), v(t), a(t) ? |
ja, klar.
Aber sorry, ich hatte es schon woanders erklärt:
ich kann kein Latex schreiben und nicht direkt eine Latexformel aus anderen Posts oder Wikipedia hier rein c+p'en.
Ich muss in der Lage sein, mit normalen Buchstaben Formeln ohne Latex zu schreiben, mit [sup]hoch[/sup] und [sub]tief[/sub] gestellten Zeichen und Pfeilen direkt über einem Buchstaben (so wie das Accent-Dach über â), sowie unterschiedlichen Operator-Zeichen für Skalar-, Inneres, Äußeres, Kreuz-, Matrixprodukt und was auch immer es sonst noch gibt und Matrizen oder Spaltenvektoren nebeneinander ohne Einrückungs-Chaos.
Der hiesige Editor ist für mich zu hinderlich, um damit zu schreiben, da brauche ich ja Tage für 1 Zeile.
Editoren wie bei Word oder wenigstens wie bei Programmiersprachen (Geany etc.) wären da schon deutlich besser, inkl. an best. Positionen eingebetteten Grafiken.
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Zuletzt bearbeitet von terminus am 14. Mai 2022 12:31, insgesamt einmal bearbeitet |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 14. Mai 2022 12:29 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Erinnerst Du Dich an die Funktionen in der Analysis, die reelle Zahlen auf reele Zahlen abbilden und in einem Diagramm mit y(x)- (bzw. f(x))- und x-Achse dargestellt wurden?
z.b. y= f(x) = x, f(x) = x² oder f(x) = cos (x)?
Oder vielleicht in der Physik Funktionen von der Zeit f(t), die z.B. in Weg/Orts-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit- oder Beschleunigungs-Zeit-Diagrammen darstellt wurden?
x(t), v(t), a(t) ? |
ja, klar.
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Gut.
Hast Du auch eine Vorstellung, was in diesem Sinn eine Ableitung einer Größe nach einer anderen Größe bedeutet?
Nach dem Ort oder der Zeit? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18199
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| TomS Verfasst am: 14. Mai 2022 12:33 Titel: |
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@Aruna -
Sorry, die Erklärung war zu knapp gefasst.
Zwischen zwei reellen Einheitsvektoren gilt
mit den eingeschlossenen Winkel phi.
Nun benutzten wir in der Quantenmechanik jedoch einen komplexen Hilbertraum, d.h. komplexe Koeffizienten, also für eine Orthonormalbasis, im folgenden nummeriert mit natürlichen Zahlen
mit
Nun berechnen wir den Winkel zwischen diesem psi und einem beliebigen Basisvektor n, d.h.
Der Winkel phi zwischen den beiden Vektoren d.h. Bra und Ket ist durch phi gegeben, d.h. durch den Betrag des Koeffizienten für n:
Wir können eine Phase wegrotieren:
Das wäre jetzt mein nächster Schritt gewesen: wenn wir gleichzeitig mehrere Koeffizienten betrachten müssen, dann können nicht alle Phasen verschwinden d.h. nicht alle Koeffizienten gleichzeitig reell gewählt werden.
Trotzdem gilt für beliebige Vektoren immer
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 14. Mai 2022 12:34, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 14. Mai 2022 12:33 Titel: |
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| Zitat: | Hast Du auch eine Vorstellung, was in diesem Sinn eine Ableitung einer Größe nach einer anderen Größe bedeutet?
Nach dem Ort oder der Zeit? |
ja, hab ich auch schon geschrieben,
aber ich kann nicht jede beliebige Funktion ableiten (z.B. keine e-Funktionen und keine komplexen Funktionen), sondern nur Polynome und einfache trig. Funktionen auf R;
Integrieren zu Stammfunktionen analog, auch nur auf R.
Mit e hoch iphi z.B. auch nicht, und auch nicht, wenn mehrere Variablen in einer Formel vorkommen.
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Zuletzt bearbeitet von terminus am 14. Mai 2022 12:38, insgesamt einmal bearbeitet |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 14. Mai 2022 12:38 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: |
ich kann kein Latex schreiben und nicht direkt eine Latexformel aus anderen Posts oder Wikipedia hier rein c+p'en.
. |
Du kannst doch den kleinen Umweg über die Zitierfunktion der den Formeleditor gehen?
Mach ich auch.
| terminus hat Folgendes geschrieben: |
Der hiesige Editor ist für mich zu hinderlich, um damit zu schreiben, da brauche ich ja Tage für 1 Zeile. |
Das finde ich reichlich übertrieben.
Und hier geht es ja nicht um komplette Rechnungen. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 14. Mai 2022 12:40 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | terminus hat Folgendes geschrieben: |
ich kann kein Latex schreiben und nicht direkt eine Latexformel aus anderen Posts oder Wikipedia hier rein c+p'en.
. |
Du kannst doch den kleinen Umweg über die Zitierfunktion der den Formeleditor gehen?
Mach ich auch.
| terminus hat Folgendes geschrieben: |
Der hiesige Editor ist für mich zu hinderlich, um damit zu schreiben, da brauche ich ja Tage für 1 Zeile. |
Das finde ich reichlich übertrieben.
Und hier geht es ja nicht um komplette Rechnungen. |
wenn ich aus komplizierteren Posts dann aus einer Latex-Formel das ein oder andere umschreiben will, geht es wegen der unverständlich verschachtelten Latexzeichen-Formatierungnen aber nicht mehr und ergibt meist kompletten Unsinn.
Nein, Latex ist für mich ein no-go.
Es muss umfangreiche ASCII- oder utf-8- Zeichenformatierungen geben.
_________________
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Zuletzt bearbeitet von terminus am 14. Mai 2022 12:42, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 14. Mai 2022 12:40 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Hast Du auch eine Vorstellung, was in diesem Sinn eine Ableitung einer Größe nach einer anderen Größe bedeutet?
Nach dem Ort oder der Zeit? |
ja, hab ich auch schon geschrieben,
aber ich kann nicht jede beliebige Funktion ableiten |
Das brauchst Du ja nicht. Es geht (mir) nicht darum, dass Du eine konkrete Funktion ableiten kannst, sondern, dass Du verstehst, was das bedeutet. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 14. Mai 2022 12:44 Titel: |
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klar, Ableitung heißt anschaulich lokale Steigung eines Graphen,
für f(x),
f: R -> R
f': R -> R
also f'(x) die Steigung von f(x) an der Stelle x.
_________________
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Zuletzt bearbeitet von terminus am 14. Mai 2022 12:49, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 14. Mai 2022 12:45 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: |
Nein, Latex ist für mich ein no-go.
Es muss umfangreiche ASCII- oder utf-8- Zeichenformatierungen geben. |
Ganz schön anspruchsvoll.
Ich hab einen analogen Migrationshintergrund und hab früher noch auf Papier geschrieben.
Hab ich hier auch schon gemacht, eingescannt und hochgeladen. |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 14. Mai 2022 13:04 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | klar, Ableitung heißt anschaulich lokale Steigung eines Grafen,
für f(x),
f: R -> R
f': R -> R
also f'(x) an der Stelle x. |
Gut, oder eben die Veränderung einer Größe in Abhängigkeit von einer anderen.
Also z.b. ist die Geschwindigkeit die Änderung des Weges mit der Zeit.
Oder die Beschleunigung die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit. |
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|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 15. Mai 2022 13:30 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Dann darf ich beim schrägen Wurf auch nicht schreiben
sondern müsste das Gleichheitszeichen mit dem Punkt drüber verwenden, dass ich auf die Schnelle nicht gefunden habe?
|
Wie wär's mit ? |
da sehe ich in Deinem Alternativvorschlag eindeutig die zusätzlichen Symbole (Zeichen)
und |
Ja, diese Zeichen werden benötigt, um Information auszudrücken, die du in Komponentenschreibweise entweder komplizierter ausdrücken mußt oder einfach implizit voraussetzen mußt. |
Um das vielleicht noch etwas weiter auszuführen: Was den Wurf "schräg" macht, ist ja die Tatsache, daß zwei verschiedene Richtungen beteiligt sind, sagen wir  (Einheitsvektoren). Die eine davon ist die Richtung der Kraft  . Der Wurf ist "schräg" zu  , also ist  nicht parallel zu  . Es gibt aber -- egal wie im Raum liegt -- auf jeden Fall eine weitere Richtung  orthogonal zu , so daß  für bestimmte Zahlen a, b und mit  . Mit der Definition  des Winkels  ergibt sich dann
\qquad\text{(1)})
Du kannst dies alles nicht kompakter mit Hilfe von Komponententripeln formulieren. Dein Vergleich beruht einfach nur auf der impliziten Festlegung welche Tripel zu den Richtungen gehören und daß diese Richtungen orthogonal sind. Für die komplette geometrische Definition des Problems benötigst du aber natürlich irgendwelche Namen für diese beiden Richtungen. (Ich habe sie jetzt mal absichtlich nicht  genannt.) Es sind zwei der wichtigsten Komponenten in der ganzen Problemstellung. Das gilt natürlich besonders für , die Richtung der Kraft. Daß sie explizit in den Gleichungen auftauchen ist ein Vorteil, kein Nachteil. Ohne sie hat der Winkel nicht mal einen klaren Bezug.
Auch für die Lösung des Problems ist es von Vorteil. Dazu können wir nämlich erstmal komplett ignorieren. Die zu lösende Gleichung ist einfach
Auch hier geht es kaum einfacher. Wozu brauchen wir noch weitere Komponenten (die hier alle null sind)? Die Lösung ist unmittelbar
 = -gt\vec{n}_1 + \vec{v}_0\qquad\text{(2)})
 = -\frac{1}{2}gt^2\vec{n}_1 + \vec{v}_0 t\qquad (\vec{r}(0) = 0)\qquad\text{(3)})
Die Komponententupel hätten an dieser Stelle bereits alles unnötig kompliziert gemacht. Denn die orthogonale Zerlegung des Geschwindigkeits- und Ortsvektors ist hier noch gar nicht von Vorteil. Die Gln. (1) und (2) sind hingegen zusammen mit Gl. (3) ein sehr übersichtlicher Ausgangspunkt zur Berechnung alles möglichen Eigenschaften des Problems, wie Wurfhöhe, Wurfweite in Abhängigkeit von etc. (Dafür benötigen wir dann letztlich und die Orthogonalität zu .)
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 15. Mai 2022 22:32 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Dein Vergleich beruht einfach nur auf der impliziten Festlegung welche Tripel zu den Richtungen gehören und daß diese Richtungen orthogonal sind. Für die komplette geometrische Definition des Problems benötigst du aber natürlich irgendwelche Namen für diese beiden Richtungen. |
Ja natürlich, ich muss vorher festlegen, welche Position im Tupel für was steht.
Dann ist es aber doch nur eine andere Darstellung. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 16. Mai 2022 07:12 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Ja natürlich, ich muss vorher festlegen, welche Position im Tupel für was steht.
Dann ist es aber doch nur eine andere Darstellung. |
Was du sagen möchtest ist vermutlich, daß jede Basis im Vektorraum V einen Isomorphismus von V nach  (oder  ) definiert, z.B.
.)
(Also statt ) , was wie gesagt strenggenommen nicht stimmt, vielleicht eher ) .)
Diesen Isomorphismus nennt man in der Quantenmechanik auch oft "Darstellung", z.B. "Drehimpulsdarstellung". In dieser Teildiskussion ging es eigentlich aber nur um die Feststellung, daß V und verschieden sind.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 18. Mai 2022 11:22 Titel: Re: Wellenfunktion: Schreibweise |
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Hallo terminus, schaust Du hier noch rein?
Falls ja, dann habe ich ein Video gefunden, das in unter 7 Minuten IMO - in Abetracht Deines Vorwissens - ganz gute Antworten auf Deine Eingangsfrage liefert:
| terminus hat Folgendes geschrieben: | hallo,
ich habe gerade diese Schreibweise für die Wellenfunktion gesehen:
|ψ>
Wieso schreibt man die in einen Ket?
Ich dachte, ein Ket wäre ein n-dim Spaltenvektor (p1,...pn), was hat das mit ψ zu tun, so wie sie als Hψ in der Schrödingergleichung vorkommt? |
=> https://www.youtube.com/watch?v=ctXDXABJRtg
Da werden die Produkte auch mal ausgeschrieben und anschaulich erklärt, was eine Projektion ist.
Aus Perspektive von TomS und index_razor geht Frau Hossenfelder wohl ein wenig schlampig mit Gleichheitszeichen um, aber für das Grundverständnis finde ich das nicht schlimm. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18199
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| TomS Verfasst am: 18. Mai 2022 12:09 Titel: Re: Wellenfunktion: Schreibweise |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | Da werden die Produkte auch mal ausgeschrieben und anschaulich erklärt, was eine Projektion ist.
Aus Perspektive von TomS und index_razor geht Frau Hossenfelder wohl ein wenig schlampig mit Gleichheitszeichen um, aber für das Grundverständnis finde ich das nicht schlimm. |
Mein Hauptkritikpunkt ist nicht das Gleichheitszeichen, sondern bereits die Grundidee, die Einführung entlang der Algebra und der Index-Notation durchzuführen; genauso verfehlt ist oft die Grundidee des Zugangs über Wellenfunktionen.
Der Punkt ist nämlich, dass dies entweder tiefes Vorwissen über diese Techniken voraussetzt, oder dass dieses Wissen mühsam erarbeitet werden muss. Der Fokus liegt - wenn auch oft nur implizit - auf dem Rechnen. Dies alles trägt jedoch wenig zum grundlegenden Verständnis der Quantenmechanik bei.
Um eine Superpositon zu erklären, ist ein rein geometrischer Zugang ohne Zeilen- und Spaltenvektoren völlig ausreichend. Das gilt auch für Projektionen und unitäre Transformationen. Um die Verschränkung zu erklären, ist der algebraische Zugang sogar hinderlich.
Daher favorisiere ich immer noch eine symbolischen Notation - kann, muss aber nicht, mittels Bras und Kets erfolgen - für einen geometrischen Zugang. Auf dieser Basis kann man unmittelbar die Bedeutung von Superposition, unitärer Zeitentwicklung, Wahrscheinlichkeiten und Kollaps, Verschränkung, statistischen Gemischen (Dichteoperatoren) visualisieren und erklären - also das, was einen Einsteiger bei der Quantenmechanik meist interessiert. Ja, man kann damit noch nichts ausrechnen, aber das ist auch nicht unbedingt das erste Ziel. Wenn Motivation und etwas Talent vorhanden sind, kann dies im Anschluss erfolgen.
Der technische Zugang zur Quantenmechanik ist vergleichbar der Idee, Autofahren durch Konstruktion bzw. Bau eines Autos, die Computerbenutzung durch Löten und Programmieren und Musik Hören durch Komponieren zu erlernen. Er verstellt den Blick aufs Wesentliche.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 18. Mai 2022 13:59, insgesamt einmal bearbeitet |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 18. Mai 2022 13:53 Titel: |
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@Aruna: sehr schönes Video, danke für den Link!
was mir noch nicht klar ist:
warum ist |a> mal <b| eine Matrix (a,b: Vektoren aus C hoch n) ?
Es kommt ja wohl bei der Dichtematrix vor, die am Schluss erwähnt wird...:
Denn es ergibt ja doch wohl eine n X n Matrix, aber welcher Multiplikation in LA entspricht das?
Es ist ja kein Punktprodukt, denn das wäre eine Summe wie
<a|b> = a* ⋅ b = a1*⋅ b1 + a2*⋅ b2 + ... usw., also eine (komplexe) Zahl.
Es ist aber auch kein Kreuzprodukt, denn das wäre ja wieder ein (verdrehter) Spaltenvektor wie die ursprünglichen 2 Spaltenvektoren der Art
a=
a1
a2
a3
b=
b1
b2
b3
a X b
=
a2⋅b3-a3⋅b2
a3⋅b1-a1⋅b3
a1⋅b2-a2⋅b1
...
usw
...
Also wie heißt dieses Produkt |a> mal <b| aus Spaltenvektor und Zeilenvektor in der LA?
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 828
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| Aruna Verfasst am: 18. Mai 2022 15:54 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: |
Also wie heißt dieses Produkt |a> mal <b| aus Spaltenvektor und Zeilenvektor in der LA? |
Sonnenwind nannte den Namen im anderen Thread: Dyadisches Produkt
https://de.wikipedia.org/wiki/Dyadisches_Produkt |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 18. Mai 2022 16:17 Titel: |
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aaahhh....
Danke!
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