Autor |
Nachricht |
Koalalover
Anmeldungsdatum: 05.01.2022 Beiträge: 1
|
Koalalover Verfasst am: 05. Jan 2022 17:57 Titel: Funktionalableitung |
|
|
Meine Frage:
Ich habe folgendes Funktional gegeben:
Wie ist die Funktionalableitung davon?
Also
Meine Ideen:
Ich bin bis jetzt auf folgendes gekommen:
Das Epsilon geht gegen 0.
Weiter komme ich leider nicht. |
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259
|
index_razor Verfasst am: 05. Jan 2022 18:46 Titel: Re: Funktionalableitung |
|
|
Koalalover hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Ich habe folgendes Funktional gegeben:
Wie ist die Funktionalableitung davon?
Also
Meine Ideen:
Ich bin bis jetzt auf folgendes gekommen:
Das Epsilon geht gegen 0.
Weiter komme ich leider nicht. |
Was ist denn mit f(c) gemeint? Die Verkettung von f und c, ? Die Funktionalableitung davon ist nach der Kettenregel einfach .
Den zweiten Term mußt du mittels partieller Integration auf die Form
bringen. Dafür benötigst du allerdings die Annahme, daß die Variation h im Unendlichen verschwindet. Die Funktionalableitung ist per Definition der Term K(c) proportional zu . In diesem Fall müßte das
sein.
Also insgesamt, wenn ich mich nicht irre:
|
|
|
Koalalover1 Gast
|
Koalalover1 Verfasst am: 05. Jan 2022 22:19 Titel: Funktionalableitung |
|
|
Danke dir, ja der erste Teil stimmt ja mit dem überein, was ich mir gedacht hatte...
Aber wie bist du auf die letzte Formel gekommen?
also warum ist
?
Ja das c ist in dem Fall auch eine Funktion die vom dreidimensionalen Raum in die reellen Zahlen geht.
Vielen Dank! |
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259
|
index_razor Verfasst am: 06. Jan 2022 08:23 Titel: Re: Funktionalableitung |
|
|
Koalalover1 hat Folgendes geschrieben: | Danke dir, ja der erste Teil stimmt ja mit dem überein, was ich mir gedacht hatte...
Aber wie bist du auf die letzte Formel gekommen?
also warum ist
?
|
Das war im Text angedeutet: mittels partieller Integration und der Annahme, daß h im Unendlichen verschwindet. Den Ansatz hast du ja schon richtig gemacht. Du variierst und schreibst F an der Stelle als Polynom in , d.h.
Die Funktionalableitung ist (analog zur gewöhnlichen Ableitung) der Term linear in .
Für ergibt dies
Das ist im Prinzip schon die Antwort, d.h. man kann sagen: ist die lineare Abbildung
Oft will man das aber expliziter schreiben, d.h. man sucht nach einer verallgemeinerten Funktion, und bezeichnet sie als
(hier steht noch das Argument x im "Nenner"), so daß gilt
Ich nehme an, dieses ist gesucht. Das erhält man aus (1) eben aus der anfangs genannten Bedingung an h*) mittels partieller Integration oder mittels der Identität
.
____________________
*) Genauer gesagt benötigt man natürlich, daß das Oberflächenintegral von verschwindet. Das heißt vermutlich, daß oder etwas ähnliches gelten muß. |
|
|
|
|