Eigenfunktion, Stromdichte

cookie97 · Anmeldungsdatum: 13.01.2021 Beiträge: 10

Meine Frage:
Hallo, habe folgende Aufgabe zu QM:

seien die normierten Eigenfunktionen des Hamiltonoperators des harmonischen Oszillators und

die zugehörigen Eigenwerte, siehe hierbei folgende Gleichung

Hierbei muss ich für die Wellenfunktion

die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte

und den Strom

bestimmen .

und

sind zwei reelle Zahlen, die die Bedingung

Meine Ideen:
erfüllen sollen. Ich habe hier etwas Schwierigkeiten, weil die Funktion sehr komplex ist. Weiß jemand, was die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Stromdichte wäre? Ab da komme ich weiter mit dem Plotten.
Weitere Frage: Diskutieren Sie kurz das Verhalten der Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Zeit.

Ich hatte hierbei überlegt, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte

räumlich (und zeitlich) konstant ist. D.h. der genaue Aufenthaltsort des Teilchens ist unbestimmt oder mit anderen Worten, die Unschärfe

des Ortes ist unendlich. Da

endlich ist, verschwindet die Unschärfe

des Impulses

D.h. neben der Energie

nimmt auch der Impuls

einen scharfen Wert an. Auch beim Impuls sind die Werte beliebig und nicht diskret. Liege ich richtig mit meiner Überlegung?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18119

Zunächst bietet es sich an, zu dimensionslosen Variablen überzugehen*)

Die Funktionen sind nicht sehr kompliziert.

Die nullte Eigenfunktion ist gegeben, die erste erfordert einmaliges Ableiten.

Die Stromdichte erfordert eine weitere Ableitung, auch das ist überschaubar.

Zur Zeitabhängigkeit: dies musst du explizit berechnen; mit deiner Überlegung bist du auf dem falschen Weg.

Zuvor solltest du dir das mal für die nullte Eigenfunktionen einzeln anschauen: wie sieht die Orts- und die Zeitabhängigkeit aus? wie die Dichte und die Stromdichte?

Du solltest erst mal diese Funktionen plotten.

*) D.h. man führt eine dimensionslose Größe

mit einer zunächst beliebigen Länge L ein und substituiert überall

Alle anderen dimensionsbehafteten Größen packt man zusammen mit diesem L möglichst in Konstanten zusammen.

Da der Operator eine Wellenfunktion in eine Wellenfunktion überführt ist er selbst dimensionslos. Ebenso ist der Exponent dimensionslos.