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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18201
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 TomS Verfasst am: 12. März 2021 19:29 Titel: |
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Stimmt, hat ich überlesen, sorry.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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A.T.
Anmeldungsdatum: 06.02.2010
Beiträge: 343
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| A.T. Verfasst am: 12. März 2021 19:59 Titel: |
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| manuel459 hat Folgendes geschrieben: | | Was die Lokalität angeht: Ich denke auch in einem "kleinen" Fahrstuhl, wird man diesen Effekt beobachten können - so idealisiert (als Inertialsystem) darf man diesen wohl nicht betrachten. Oder? Rein mit theoretischen Argumenten zu argumentieren, die nur eine Näherung darstellen (Lokalität) greift hier doch zu kurz? |
Die Äquivalenz gilt für ein homogenes G-Feld. Die gesamte Physik besteht aus solchen Idealisierungen, die im Realfall nur eine Näherung sind. |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 12. März 2021 21:04 Titel: |
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| manuel459 hat Folgendes geschrieben: |
ich finde dieses Experiment veranschaulicht sehr gut, dass meine Überlegung falsch war. Es erscheint mir so sehr schlüssig zu sein, dass man das Vorzeichen der Geschwindigkeit im Bezugssystem Erde aus dem Fahrstuhl erkennen kann.
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Mal folgendes Gedankenexperiment:
du schiesst eine sehr lange Rakete im inhomogenen(!) Erdschwerefeld senkrecht nacht oben. In der Rakete befinden sich eine Kugel im Schwerpunkt der Rakete und zwei andere im gleichen senkrechten Abstand drüber und drunter. Kurz nach der starken Beschleunigunghsphase bewegt sich die Rakete mit einer Startgeschwindigkeit. Jetzt werden die drei Kugeln mit dieser Geschwindigkeit ebenfalls gelöst.
Wie bewegen sich die Kugeln beim (antriebslosen) Aufstieg und anschliessendem Fall für den ("schwerefreien") Schwerpunktsbeobachter in der Rakete? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18201
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| TomS Verfasst am: 13. März 2021 07:41 Titel: |
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Es lohnt sich m.M.n., nochmal das Problem der gekoppelten Teilchen zu vertiefen - u.a. weil ich in meiner Rechnung evtl. einen Vorzeichenfehler habe ;-)
Man betrachte zunächst zwei frei fallende Teilchen identischer Masse m, deren gemeinsamer Schwerpunkt sich am Radius R bezogen auf den Erdmittelpunkt befindet und die zueinander den Abstand x haben.
Nun drückt man die kinetische Energie durch die Schwerpunkts- und Relativkoordinaten R, x aus.
)
 = \frac{(2m)}{2}\dot{R}^2 + \frac{(m/2)}{2}\dot{x}^2)
Der Schwerpunkt R beschreibt also die Bewegung des Gesamtsystems mit Masse 2m, die Koordinate x die Relativbewegung eines Körpers mit reduzierter Masse m/2.
Für die potentielle Energie unter dem Einfluss der Gravitation sowie zusätzlicher harmonischer Kopplung erhält man
 + \frac{(m/2)}{2}\omega_0^2 (r_+ - r_-)^2 \simeq - \frac{G(2m)M}{R} + \frac{(m/2)}{2}\left(\omega_0^2 - \frac{2GM}{R^3}\right)x^2)
Der letzte Term entspricht der Betrachtung von index_razor und stammt aus der Taylorentwicklung der 1/r Terme in x/R bis zur zweiten Ordnung. D.h. die Fequenz ändert sich unter dem Einfluss des nicht-homogenen Gravitationspotentials gemäß
Man kann demnach die Änderung der Schwingungsfrequenz direkt als Funktion von R berechnen. Dabei ist interessant, dass sie unabhängig von der Masse m ist. Damit hat dieser Effekt nichts mit einer gravitativen Anziehung zwischen den Objekten zu tun, man kann ihn auch für sehr kleine Massen betrachten. Ich könnte mir vorstellen, dass eine experimentelle Untersuchung z.B. für Vibrationsspektren zweiatomiger Moleküle möglich ist.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 14. März 2021 15:44 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Es lohnt sich m.M.n., nochmal das Problem der gekoppelten Teilchen zu vertiefen - u.a. weil ich in meiner Rechnung evtl. einen Vorzeichenfehler habe ;-) |
Ja, da scheint irgendwo ein Vorzeichenfehler zu sein. Wenn du in  die Feder wegläßt, bekämst du ja eine imaginäre Frequenz für die relative Schwingung zweier Testteilchen.
Hier meine Überlegung: Ich betrachte zwei Teilchen der Masse m an den Punkten
die mittels einer Feder (Konstante  ) aneinander gekoppelt sind und sich im Gravitationsfeld der Erde  bewegen.
Ihre Bewegungsgleichungen sind
 + \omega_0^2(\vec{n} -\vec{n}_0))
 - \omega_0^2(\vec{n} -\vec{n}_0),)
wobei  und  die momentane Ruhelage des Oszillators bei Abwesenheit anderer Kräfte ist. Außerdem  . (Ich verzichte auf die nichtlineare Kennlinie der Feder. Die spielt ohnehin keine große theoretische Rolle.)
Daraus folgt
\cdot \vec{n} - 2\omega_0^2(\vec{n}-\vec{n}_0).)
Der Gezeitenterm \cdot \vec{n}) hat die allgemeine Form
\cdot \vec{n} = -\frac{GM}{r^3}\left(\vec{n} - \frac{3}{r^2}(\vec{r}\cdot \vec{n})\vec{r}\right),)
wobei  und  . Die Rückstellkraft hat also im allgemeinen nicht die entgegengesetzte Richtung wie die Auslenkung  und die Stärke hängt von der Orientierung von ab. Das ganze ist also kein harmonischer Oszillator mehr. Wenn man aber annimmt, daß momentan  , dann folgt aber
,)
mit  . Bezeichnen wir die momentane Ruhelage dieses Systems mit  und  dann folgt
\vec{\xi}) .
Der Term  ergibt sich aus der Definition ( )
\vec{n}_0.)
Man kann das System so stabilisieren, daß zu allen Zeiten orthogonal zur Bahnebene der Schwerpunktsbewegung liegt, also  . Dann ändert zumindest nicht die Richtung, und dies stellt auch sicher, daß  bleibt. Man ist versucht, aus  zu folgern, daß dann auch konstant ist. Aber in dieser Näherung bleibt vom Gezeiteneinfluß auf den Oszillator nichts mehr übrig. Am schönsten wäre es natürlich wenn trotzdem einfach verschwinden würde und nur noch
\vec{\xi}=0.)
übrigbliebe. Mehr fällt mir dazu im Augenblick aber nicht ein. Bei zwei frei fallenden Testteilchen existiert das Problem natürlich nicht und es gilt einfach
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18201
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| TomS Verfasst am: 14. März 2021 15:58 Titel: |
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Der quadratische Term der Taylorreihe von 1/r um r=R führt zu einem positiven Vorzeichen für x^2, zusammen mit dem Minus im Potential V(r) ~ - 1/r insgs. zu einem negativen, d.h. ~ - x^2.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 14. März 2021 18:09 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Der quadratische Term der Taylorreihe von 1/r um r=R führt zu einem positiven Vorzeichen für x^2, zusammen mit dem Minus im Potential V(r) ~ - 1/r insgs. zu einem negativen, d.h. ~ - x^2. |
Und deswegen schwingen zwei freie Testteilchen mit imaginärer Frequenz? Die Taylorentwicklung ergibt schon irgendwie keinen Sinn für mich. Du scheinst zwei Teilchen entlang des Ortsvektors zum Erdmittelpunkt zu betrachten, so daß x ihr radialer Abstand ist. Denn ansonsten könntest du das Potential nicht einfach nach dem Abstand x entwickeln.
Im allgemeinen lautet die Taylorentwicklung ja
(\vec{R}\cdot \vec{x})\right) + ... )
etc. Setzt du  , folgt bis zum quadratischen Term
was das korrekte Vorzeichen im quadratischen Term hat.
Setzt du stattdessen, so wie ich,  , sieht es so aus als stünde wieder das falsche Vorzeichen da. Aber in diesem Fall ist schon der Ansatz falsch. Der ganze Ausdruck ergibt keinen Sinn für negatives x, und x und beschreibt in diesem Fall keinen oszillierenden Freiheitsgrad. Entwickeln müßtest du dann stattdessen die Funktion
Das ergibt eine Oszillatorgleichung für den Vektor  (mit reeller Frequenz), aber nicht für seine Länge  .
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 14. März 2021 18:46, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18201
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| TomS Verfasst am: 14. März 2021 18:41 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Der quadratische Term der Taylorreihe von 1/r um r=R führt zu einem positiven Vorzeichen für x^2, zusammen mit dem Minus im Potential V(r) ~ - 1/r insgs. zu einem negativen, d.h. ~ - x^2. |
Und deswegen schwingen zwei freie Testteilchen mit imaginärer Frequenz? Die Taylorentwicklung ergibt schon irgendwie keinen Sinn für mich. Du scheinst zwei Teilchen entlang des Ortsvektors zum Erdmittelpunkt zu betrachten, so daß x ihr radialer Abstand ist. Denn ansonsten könntest du das Potential nicht einfach nach dem Abstand x entwickeln. |
Erstens sind bei Teilchen nicht frei, sondern fallen im Potential -1/R. Zweitens ist die Taylorentwicklung nur über einen Zeitraum gültig über den x/R genügend klein bleibt. Damit entfällt m.E. auch dein Problem mit der „imaginären Frequenz“.
Ja, ich betrachte zwei Teilchen entlang des Ortsvektors zum Erdmittelpunkt, wobei x ihr radialer Abstand ist.
Damit ist
Die Taylorentwicklung ist sicher gültig für starke Kopplung mit großen Frequenzen, so dass der Schwerpunkt R über wenige Schwingungen als konstant angenommen werden kann.
Das negative Vorzeichen des Korrekturterms ist richtig.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 14. März 2021 19:40 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Der quadratische Term der Taylorreihe von 1/r um r=R führt zu einem positiven Vorzeichen für x^2, zusammen mit dem Minus im Potential V(r) ~ - 1/r insgs. zu einem negativen, d.h. ~ - x^2. |
Und deswegen schwingen zwei freie Testteilchen mit imaginärer Frequenz? Die Taylorentwicklung ergibt schon irgendwie keinen Sinn für mich. Du scheinst zwei Teilchen entlang des Ortsvektors zum Erdmittelpunkt zu betrachten, so daß x ihr radialer Abstand ist. Denn ansonsten könntest du das Potential nicht einfach nach dem Abstand x entwickeln. |
Erstens sind bei Teilchen nicht frei, sondern fallen im Potential -1/R. Zweitens ist die Taylorentwicklung nur über einen Zeitraum gültig über den x/R genügend klein bleibt. Damit entfällt m.E. auch dein Problem mit der „imaginären Frequenz“.
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Ich meinte auch "frei fallend", also  . Dein Ergebnis ergibt doch in diesem Fall keinen Sinn. Zwei solcher Testteilchen mit positivem Anfangs- entfernen sich exponentiell voneinander, egal wie groß ihr Anfangsabstand war. Das kann doch nicht richtig sein.
| Zitat: |
Ja, ich betrachte zwei Teilchen entlang des Ortsvektors zum Erdmittelpunkt, wobei x ihr radialer Abstand ist.
Damit ist
Die Taylorentwicklung ist sicher gültig für starke Kopplung mit großen Frequenzen, so dass der Schwerpunkt R über wenige Schwingungen als konstant angenommen werden kann.
Das negative Vorzeichen des Korrekturterms ist richtig. |
Ja, aber die Differenz dieser beiden Terme ist trotzdem nicht das korrekte Potential für den Abstand x. Ich verstehe auch gar nicht, wie du darauf kommst, daß es das wäre oder warum dich nicht stört, daß  negativ wird, wenn man die Feder entfernt. Wundert dich gar nicht, daß sich das Vorzeichen umkehrt, wenn du die allgemeine Formel
(\vec{R}\cdot \vec{x})\right))
für den quadratischen Term verwendest? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18201
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| TomS Verfasst am: 14. März 2021 20:08 Titel: |
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Sorry, aber ich habe das doch vorgerechnet.
Es gibt drei Terme, -1/r je Teilchen, sowie den quadratischen Term ~x². Das ist exakt.
Aus der Taylorentwicklung von 1/r folgt ein Korrekturterm, der ebenfalls von der Form ~x² ist. Solange dieser im Zuge der Zeitentwicklung klein bleibt, ist an der Näherung ja wohl nichts auszusetzen.
Was soll mich nun stören?
1) Wenn die ursprünglicher Kopplung der Teilchen stark genug ist, so dass der insgesamt resultierende Term ~x² weiterhin ein positives Vorzeichen hat, dann liegt eine Schwingung vor.
2) Wenn die Kopplung zu schwach oder Null ist, dann liegt eben keine Schwingung mehr vor.
In beiden Fällen muss ich prüfen, über welchen Zeitraum R ~ const. eine vernünftige Näherung ist.
Mich interessieren nur Schwingungen, d.h. es bleibt (1). Wenn die Kopplung stark genug ist, dann ist x(t) der "schnelle" und R(t) der "langsame" Freiheitsgrad; alles gut.
EDIT:
Je mehr ich darüber nachdenke, desto logischer erscheint mir das. Radial werden sich die beiden Körper im Zuge des Falls voneinander entfernen, tangential werden sie sich annähern. Genau das sagt uns der quadratische Korrturterm, einmal mit negativem und einmal mit positivem Vorzeichen.
EDIT 2:
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | ... ich betrachte zwei Teilchen entlang des Ortsvektors zum Erdmittelpunkt, wobei x ihr radialer Abstand ist.
Damit ist
Die Taylorentwicklung ist sicher gültig für starke Kopplung mit großen Frequenzen, so dass der Schwerpunkt R über wenige Schwingungen als konstant angenommen werden kann.
Das negative Vorzeichen des Korrekturterms ist richtig. |
Ja, aber die Differenz dieser beiden Terme ist trotzdem nicht das korrekte Potential für den Abstand x. |
Das kann doch nicht sein. Wenn du zuerst bestätigst, dass das negative Vorzeichen korrekt ist, dann kannst du doch nicht anschließend sagen, dass es nicht korrekt ist.
Wo wäre denn der Fehler in meiner Rechnung?
Betrachten wir einen kleinen, sonst beliebigen Abstandsvektor zwischen den beiden Teilchen, d.h.
Für das Potential benötige ich nur den Betrag, also
In meinem Fall ist
woraus sofort meine obige Rechnung folgt.
In deinem Fall ist für sehr kleine x
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 15. März 2021 07:52, insgesamt 6-mal bearbeitet |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 985
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| Frankx Verfasst am: 14. März 2021 21:38 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | Mal folgendes Gedankenexperiment:
du schiesst eine sehr lange Rakete im inhomogenen(!) Erdschwerefeld senkrecht nacht oben. In der Rakete befinden sich eine Kugel im Schwerpunkt der Rakete und zwei andere im gleichen senkrechten Abstand drüber und drunter. Kurz nach der starken Beschleunigunghsphase bewegt sich die Rakete mit einer Startgeschwindigkeit. Jetzt werden die drei Kugeln mit dieser Geschwindigkeit ebenfalls gelöst.
Wie bewegen sich die Kugeln beim (antriebslosen) Aufstieg und anschliessendem Fall für den ("schwerefreien") Schwerpunktsbeobachter in der Rakete? |
Ich würde sagen, die Kugel im Schwerpunkt bleibt im Schwerpunkt, die anderen beiden entfernen sich jeweils von ihr. Das passiert beim antriebslosen Aufstieg und auch beim darauf folgendem Fall.
Nach meinem Verständnis ist die Geschwindigkeit, mit der sich die beiden von der Schwerpunktkugel entfernen nicht konstant, sondern wird beschleunigt.
Die Größe der momentanen Beschleunigung ist abhängig von der aktuellen Position der mittleren Schwerpunktkugel im G-Feld.
Durch Messung der momentanen Beschleunigung sollte die momentane Position der mittleren Kugel im G-Feld ermittelt werden können. Durch mehrere Messungen im Abstand t sollte auch die Bewegungsrichtung ermittelt werden können.
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 985
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| Frankx Verfasst am: 14. März 2021 21:49 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | (Ich verzichte auf die nichtlineare Kennlinie der Feder. Die spielt ohnehin keine große theoretische Rolle.) |
Ich kann eure Rechnungen leider nicht nachvollziehen, das übersteigt meine aktuellen mathematisch-physikalischen Fähigkeiten.
Aber soweit ich das kenne, ist die Eigenfrequenz eines Feder-Masse-Schwingers bei festgelegten Massen von der Steifigkeit der Feder abhängig.
Wenn sich die Steifigkeit (bei konstanten Massen) nicht ändert, ändert sich auch nicht die Eigenfrequenz.
Durch Verwendung einer nichtlinearen Feder erreiche ich, dass bei Änderung der (mittleren) entgegengesetzten Beschleunigung der beiden Massen bezüglich des gemeinsamen Schwerpunktes sich die Federsteifigkeit und damit die Eigenfrequenz des Systems ändert. Das war die Grundidee für das Experiment.
Vielleicht könnt ihr ja euer Prinzip noch mal erklären, so dass es auch der Laie versteht.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18201
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| TomS Verfasst am: 14. März 2021 23:32 Titel: |
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| Frankx hat Folgendes geschrieben: | Aber soweit ich das kenne, ist die Eigenfrequenz eines Feder-Masse-Schwingers bei festgelegten Massen von der Steifigkeit der Feder abhängig.
Wenn sich die Steifigkeit (bei konstanten Massen) nicht ändert, ändert sich auch nicht die Eigenfrequenz.
Vielleicht könnt ihr ja euer Prinzip noch mal erklären, so dass es auch der Laie versteht. |
Gerne.
Ausgangspunkt der Diskussion ist das Äquivalenzprinzip, das postuliert, dass ein homogenes Gravitationsfeld lokal nicht von einer Beschleunigung unterscheidbar ist. Wir sprechen über Effekte eines inhomogenen Gravitationsfeldes, für das das Äquivalenzprinzip nicht mehr streng gilt. Es geht also um eine Längenskala, unterhalb derer Effekte der Verletzung des Äquivalenzprinzips vernachlässigt werden können, und oberhalb der diese Effekte zunehmend wichtig werden.
Das Gravitationsfeld der Erde ist auch innerhalb eines kleinen Raumbereiches nicht strikt homogen, da
1) die Feldlinien radial verlaufen, d.h. mit abnehmenden Radius leicht aufeinander zu laufen
2) die Feldstärke mit abnehmenden Radius leicht zunimmt.
index_razor betrachtet (1), Ich betrachte (2). Die letzten Beiträge drehen sich um einen vermeintlichen Vorzeichenfehler in einer Näherung. Ich bin inzwischen der Meinung, dass meine Rechnung keinen Fehler enthält, sondern dass sich die Diskussion lediglich um die Gültigkeit einer Näherung dreht.
Nun zu deiner Idee der Feder: die haben wir beide aufgegriffen, jedoch etwas allgemeiner; es muss keine Feder sein, eine entsprechende lineare Kraft bzw. ein quadratisches Potential reicht aus.
Deine Idee ist - soweit ich das verstanden habe - dass die Federhärte mit dem Abstand der beiden Körper variiert. Die Aussage von index_razor und mir ist, dass Kopplung der beiden Körper automatisch variiert, wenn sich der Radius R ändert, auf dem sich die beiden Körper befinden, ohne dass ich dazu eine echte Feder benötige oder gar deren Härte variieren müsste.
index_razor betrachtet zuletzt eine beliebige Lage der Körper, zuvor hatte er eine Konstellation diskutiert, bei der die Verbindung beider Körper tangential zur Erdoberfläche verläuft. Ich haben eine Konstellation durchgerechnet, bei der die Verbindung beider Körper radial verläuft. Meine Idee ist einfach: beide Körper seien eng beieinander und fallen im -1/r Potential, außerdem seien beide durch ein quadratisches Potential gekoppelt (Ursache irrelevant). Aus diesem quadratischen Potential resultiert eine harmonische Schwingung der beiden Körper gegeneinander, sie oszillieren “bzgl. des gemeinsamen Schwerpunkts”, der in meiner Näherung als Masse 2m im Gravitationsfeld fällt.
Zur Gültigkeit meiner Näherung: ich betrachte die Oszillation für festes R. Andererseits halte ich den gemeinsamen Schwerpunkt der Körper nicht künstlich fest, sondern er fällt im Gravitationsfeld. D.h. beide Körper müssen genügend schnell oszillieren, so dass sie - während das System fällt und sich somit R ändert - genügend häufig schwingen, während sich die Frequenz nur unwesentlich ändert. Man spricht von einer adiabatischen Näherung (sie gilt z.B. auch, wenn du den Flug einer Gewehrkugel betrachtest; die Corioliskraft ist irrelevant, weil die Kugel schnell genug ist).
Woher stammt nun die Änderung der Frequenz, die du über eine variable Federhärte erreichen wolltest? Sie stammt alleine aus der Inhomogenität des Gravitationsfeldes. Da das Gravitationsfeld der Erde nicht strikt homogen ist,
1) nimmt die Frequenz der Oszillationen mit abnehmenden Radius leicht ab.
omega_0 beschreibt die irgendwie vorgegebene Kopplung, der zweite Term die Änderung dieser Frequenz mit Änderung des Radius.
Wie gesagt, die o.g. Probleme, die index_razor anführt, bedeuten lediglich, dass man den Gültigkeitsbereich der Näherung genau prüfen muss; das ist klar.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 15. März 2021 08:34 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Im allgemeinen lautet die Taylorentwicklung ja
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Huch, hier hatte ich selbst einen Vorzeichenfehler vor dem quadratischen Term. Korrekt wäre
^2 - x^2 \right) + ... )
Damit lautet die Taylorentwicklung in radialer Richtung wieder
und das Potential von TomS ist korrekt. Die Bewegung ist tatsächlich im allgemeinen keine Schwingung. Mein Einwand mit den exponentiell auseinanderdriftenden Teilchen bezog sich auf die Situation, daß der Schwerpunkt näherungsweise eine Kreisbahn beschreibt, also R=const. Aber die ganze Gleichung soll ohnehin nur für kurze Zeiten gelten selbst bei R=const., wie TomS auch bereits klargestellt hat.
Damit erscheint mir jetzt allerdings zweifelhaft, daß der Fall  hier nützlich ist. Denn die Frequenzen  sind ja sehr klein. Man muß also über eine längere Zeit beobachten, damit man überhaupt eine Gezeitenwirkung erkennt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18201
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| TomS Verfasst am: 15. März 2021 08:42 Titel: |
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| Frankx hat Folgendes geschrieben: | | Qubit hat Folgendes geschrieben: | Mal folgendes Gedankenexperiment:
du schiesst eine sehr lange Rakete im inhomogenen(!) Erdschwerefeld senkrecht nacht oben. In der Rakete befinden sich eine Kugel im Schwerpunkt der Rakete und zwei andere im gleichen senkrechten Abstand drüber und drunter. Kurz nach der starken Beschleunigunghsphase bewegt sich die Rakete mit einer Startgeschwindigkeit. Jetzt werden die drei Kugeln mit dieser Geschwindigkeit ebenfalls gelöst.
Wie bewegen sich die Kugeln beim (antriebslosen) Aufstieg und anschliessendem Fall für den ("schwerefreien") Schwerpunktsbeobachter in der Rakete? |
Ich würde sagen, die Kugel im Schwerpunkt bleibt im Schwerpunkt, die anderen beiden entfernen sich jeweils von ihr. |
Ja, das ist richtig.
Betrachten wir die Energie
)
Dabei ziehe ich die Masse m als gemeinsamen Faktor heraus. phi(r) ist das vom Radius r abhängige Gravitationspotential.
Aufgrund der Energieerhaltung gilt
)
}})
Nun integriert man diese Gleichung für mehrere Körper i = 1,2...
}}^{r^{(i)}} \frac{dr}{\sqrt{\epsilon_0 - \phi(r)}})
Setzt man
} = R + x^{(i)})
mit dem Schwerpunkt R(t) und dem vertikalen Abstand zum Schwerpunkt x(t) je Körper i, so folgt ein Integral mit x-abhängigen Grenzen. Dieses kann man wie folgt aufteilen:
}}^{r^{(i)}} = \int_{R_0}^{R} - \int_{R_0}^{R_0 + x_0^{(i)}} + \int_{R}^{R+x^{(i)}})
Der erste Term liefert gerade die Bewegung des Schwerpunktes R(t). Der entspricht einer kleinen, t-unabhängigen Korrektur der Anfangsbedingungen für t=0, da die Körper i = 1,2... nicht exakt im Schwerpunkt sitzen. Der dritte Term liefert wiederum eine kleine, t-abhängige Korrektur, die die unterschiedliche Zeitentwicklung der Abweichung der i-ten Bahn vom Schwerpunkt beschreibt.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 15. März 2021 08:57, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18201
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| TomS Verfasst am: 15. März 2021 08:51 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Huch, hier hatte ich selbst einen Vorzeichenfehler vor dem quadratischen Term.
... Denn die Frequenzen sind ja sehr klein. Man muß also über eine längere Zeit beobachten, damit man überhaupt eine Gezeitenwirkung erkennt. |
Danke, jetzt bin ich beruhigt ;-)
Zum zweiten Satz: meine Idee ist eine andere. Man betrachtet eine genügend große Grundfrequenz, so dass genügend viele Schwingungen über einen Zeitraum stattfinden, über den sich jedoch der Korrekturterm nur sehr wenig ändert; ein Beispiel wären Molekülschwingungen.
Das Problem dabei ist, dass die Änderung der R-abhängige Korrektur über den Zeitraum einer einzelnen Messung klein sein muss, über mehrere Messungen für verschiedene Radien jedoch so groß, dass sie im Rahmen der Messgenauigkeit bestimmt werden kann. Für Molekülschwingungen klappt das dann wahrscheinlich doch nicht.
Ein besseres Setup wären evtl. auf unterschiedlichen, jeweils festen Bahnhöhen kreisende Satelliten. Da ist R = const. und man kann so lange messen wie man will. Allerdings bleibt das Problem, dass man ein System konstruieren muss, dessen Grundschwingung so beschaffen ist, dass die Korrektur messtechnisch erfassbar ist.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 15. März 2021 09:10 Titel: |
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| Frankx hat Folgendes geschrieben: |
Aber soweit ich das kenne, ist die Eigenfrequenz eines Feder-Masse-Schwingers bei festgelegten Massen von der Steifigkeit der Feder abhängig.
Wenn sich die Steifigkeit (bei konstanten Massen) nicht ändert, ändert sich auch nicht die Eigenfrequenz.
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Das ist richtig, aber die Gezeitenkraft selbst wirkt in bestimmten Situationen ebenfalls wie eine Feder auf die Relativbewegung. Und dies allein modifiziert die Eigenfrequenz des Systems.
| Zitat: |
Durch Verwendung einer nichtlinearen Feder erreiche ich, dass bei Änderung der (mittleren) entgegengesetzten Beschleunigung der beiden Massen bezüglich des gemeinsamen Schwerpunktes sich die Federsteifigkeit und damit die Eigenfrequenz des Systems ändert. Das war die Grundidee für das Experiment.
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Das würde m.E. auch funktionieren. Die Gezeitenwirkung zeigt sich aber auch anhand von frei fallenden Teilchen. Für die Rechnung selbst benötigt man also keine Feder. Ich sehe es so, daß die nichtlineare Kennlinie nur den Effekt der R-Abhängigkeit der Eigenfrequenz verstärkt. Die Gezeitenkraft selbst bewirkt allerdings auch schon ein R-Abhängigkeit.
| Zitat: |
Vielleicht könnt ihr ja euer Prinzip noch mal erklären, so dass es auch der Laie versteht.
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Es geht ja um die Auswirkungen der Gezeitenkraft. Diese beobachtet man im Prinzip in Form einer relativen Beschleunigung von Teilchen im Gravitationsfeld. Am einfachsten geht das wenn man die Feder erstmal wegläßt und die Teilchen im Gravitationsfeld frei fallen läßt.
Die relative Beschleunigung der beiden Teilchen ist einfach die Beschleunigung ihres relativen Ortsvektors  , und die Gezeitenkraft ist folglich nach dem 2. Newtonschen Axiom die Differenz der Gravitationskräfte an diesen beiden Orten. Für kleine Abstände kann man diese Differenz linear in nähern.
Das Ergebnis ist
\vec{r}}{r^2}\right))
Das liefert die Gleichung für die relative Beschleunigung
\vec{r}}{r^2}\right))
Um die Sache zu vereinfachen haben wir im wesenltichen zwei Fälle betrachtet.
1)  . Dann verschwindet der zweite Term in der Gezeitenkraft proportional zu  und die Gleichung ist
die eines harmonischenOszillators mit Frequenz  .
2)  . In diesem Fall kann man alles nach dem Einheitsvektor in radialer Richtung entwickeln und erhält eine Gleichung für die radiale Komponente  (=Abstand der Teilchen)
Über diese Bewegung sind keine so allgemeinen Aussagen möglich. Denn entweder ändert sich der Abstand R oder der radiale Einheitsvektor  mit der Zeit. TomS sagt, für kurze Zeiten können wir das aber ignorieren und erhalten
Damit haben wir also prinzipiell beobachtbare Effekte der Gezeiten auf die Realtivbewegung abgeleitet. Sind die Teilchen nicht frei fallend, sondern mit einer Feder gekoppelt, kommt einfach nur noch der Effekt der Federkraft auf die Relativbewegung hinzu, d.h. aus 1) wird
\vec{n})
und aus 2)
 n_r \vec{e}_r )
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 15. März 2021 09:27, insgesamt einmal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 15. März 2021 09:25 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | Huch, hier hatte ich selbst einen Vorzeichenfehler vor dem quadratischen Term.
... Denn die Frequenzen sind ja sehr klein. Man muß also über eine längere Zeit beobachten, damit man überhaupt eine Gezeitenwirkung erkennt. |
Danke, jetzt bin ich beruhigt ;-)
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Tja, im Nachhinein hätte mich wohl mehr wundern sollen, daß es anscheinend einen Unterschied macht, ob ich erst die Taylorreihe entwickle und dann das Inkrement in radialer Richtung lege oder umgekehrt. Aber naja...
| Zitat: |
Zum zweiten Satz: meine Idee ist eine andere. Man betrachtet eine genügend große Grundfrequenz, so dass genügend viele Schwingungen über einen Zeitraum stattfinden, über den sich jedoch der Korrekturterm nur sehr wenig ändert; ein Beispiel wären Molekülschwingungen.
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Der Korrekturterm ist aber ja nicht das einzige, was sich ändern kann. Wenn du den Schwerpunkt auf eine Kreisbahn setzt, dann ändert er sich gar nicht, sondern nur die Ausrichtung des Systems. In der Situation gilt dann irgendwann ebenfalls nicht mehr  .
Oder betrachtest du nur ein System, das in radiale Richtung nach unten fällt?
| Zitat: |
Ein besseres Setup wären evtl. auf unterschiedlichen, jeweils festen Bahnhöhen kreisende Satelliten. Da ist R = const. und man kann so lange messen wie man will.
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Das kann man zwar tun, allerdings beschreibt dann x auf jeden Fall keine Schwingung mehr. Dein Potential erfordert ja, daß zu allen Zeiten  . Für längere Zeiten mußt du dann berücksichtigen, daß sich ändert. Ich hatte dich auch so verstanden, daß du selbst bei R=const. die Gültigkeit deiner Gleichung zeitlich einschränkst.
Diese Problem hast du allerdings nicht, wenn du ausrichtest.
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 15. März 2021 12:41, insgesamt einmal bearbeitet |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 985
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| Frankx Verfasst am: 15. März 2021 09:36 Titel: |
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| Zitat: | | Das ist richtig, aber die Gezeitenkraft selbst wirkt in bestimmten Situationen ebenfalls wie eine Feder auf die Relativbewegung. Und dies allein modifiziert die Eigenfrequenz des Systems. |
Ja, ich denke, jetzt hab ich es verstanden.
| Zitat: | | Ich sehe es so, daß die nichtlineare Kennlinie nur den Effekt der R-Abhängigkeit der Eigenfrequenz verstärkt. |
Für eine reale Messung könnte es also von Vorteil sein, eine solche nichtlineare Kopplung zu realisieren.
BTW. Ich habe gerade überlegt, das bei G-Wellen ja noch viel geringere Inhomogenitäten vermessen werden, als sie in unserem Fahrstuhlexperiment zu erwarten sind. Allerdings werden dabei wohl Laufzeitunterschiede für Lichtstrahlen verwendet.
Nur würde eine solche Messvorrichtung dann den geometrischen Rahmen einer Fahrstuhlkabine wahrscheinlich sprengen.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 15. März 2021 12:17 Titel: |
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| Frankx hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: | | Ich sehe es so, daß die nichtlineare Kennlinie nur den Effekt der R-Abhängigkeit der Eigenfrequenz verstärkt. |
Für eine reale Messung könnte es also von Vorteil sein, eine solche nichtlineare Kopplung zu realisieren.
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Ja, ich denke schon.
Bleiben wir mal bei meinem Beispiel eines Oszillators dessen Achse orthogonal zum Abstandsvektor zum Erdmittelpunkt stabilisiert ist. Die Gezeitenkraft hat zwei Effekte: 1) Änderung der Eigenfrequenz und 2) Änderung der Ruhelage  . Beide Effekte resultieren aus dem Kraftterm
}_{\text{Federkraft}} \underbrace{- \omega_r^2\vec{n}}_{\text{Gezeitenkraft}}= -(\omega_0^2 + \omega_r^2)(\vec{n} - \vec{n}_r)) .
Mit einer nichtlinearen Feder, führt die Änderung der Ruhelage zu einer weiteren Frequenzänderung  + ...) , die also die Sensitivität auf die R-Abhängigkeit erhöht.
Also erfüllt die Nichtlinearität m.E. schon ihren praktischen Zweck. Vor allem wenn man hauptsächlich daran interessiert ist, das Vorzeichen der R-Änderung festzustellen, wie der Fragesteller. Aus theoretischer Sicht ist es allerdings in erster Linie eine Komplikation.
| Zitat: |
BTW. Ich habe gerade überlegt, das bei G-Wellen ja noch viel geringere Inhomogenitäten vermessen werden, als sie in unserem Fahrstuhlexperiment zu erwarten sind. Allerdings werden dabei wohl Laufzeitunterschiede für Lichtstrahlen verwendet.
Nur würde eine solche Messvorrichtung dann den geometrischen Rahmen einer Fahrstuhlkabine wahrscheinlich sprengen.
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Ja, ich glaube das Prinzip ist eigentlich dasselbe, d.h. der Effekt macht sich wiederum durch relative Beschleunigung von Testteilchen bemerkbar. Allerdings geht es in diesem Fall nicht um räumliche, sondern zeitliche Änderungen des Gravitationsfeldes. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18201
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| TomS Verfasst am: 15. März 2021 13:16 Titel: |
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index_razor hat das jetzt sehr übersichtlich zusammenfasst.
Was bleibt? Eine Frequenz oder Frequenz der Größenordnung mHz (milli-Herz), d.h. eine Oszillation pro Stunde.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
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| Ich Verfasst am: 15. März 2021 15:28 Titel: |
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Moderne Messgeräte haben eine Genauigkeit von ungefähr 10^-8 m/s². Die Gezeitenbeschleunigung auf "Fahrstuhlgröße", also etwa 2 m, beträgt 30*10^-8 m/s². Man kann also durchaus unterscheiden, ob man z.B. in 400 km oder 1000 km Höhe ist. |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 985
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| Frankx Verfasst am: 15. März 2021 16:13 Titel: |
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| Zitat: | | Moderne Messgeräte haben eine Genauigkeit von ungefähr 10^-8 m/s². |
Welches Wirkprinzip wird da angewendet?
Wenn es z.B. (vereinfacht gesagt) die Federwage ist, dann funktioniert das imho nicht im freien Fall.
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