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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 297
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 Corbi Verfasst am: 16. Jan 2021 02:30 Titel: Zeitableitung bei variabler Lichtgeschwindigkeit |
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Mal angenommen die Lichtgeschwindigkeit wäre ein Skalarfeld das in der Raumzeit vom Ort/Zeit abhängt.
Wie würde man dann diese Ableitung anwenden?
)
mit t) .
Meine Ideen:
=\frac{1}{c(x^{\mu})}\frac{\partial}{\partial t}f(t))
Zum Kontext: ich lese gerade eine Arbeit von Joao Magueijo zum Thema variable Lichtgeschwindigkeit in der Kosmologie. Darin schreibt er, dass die Lorentz-Invarianz automatisch verletzt wäre, da c im Operator der partiellen Ableitung auftaucht. Ich kann das Argument grade nicht ganz nachvollziehen. Könnte man nicht immernoch lokale Lorentzinvarianz erhalten. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 16. Jan 2021 10:30 Titel: |
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Zunächst muss man definieren, was mit „variabler Lichtgeschwindigkeit“ gemeint ist, denn die „Lichtgeschwindigkeit“ bzw. die Konstante c (oder nach geeigneter Reskalierung die Konstante 1) tritt in verschiedenen Kontexten auf.
geometrisch
Der Abstand zweier infinitesimal benachbarter Ereignisse ist definiert durch
In einem geeigneten Koordinatensystem kann man lokal immer ein mitbewegtes Koordinatensystem einführen, in dem
^2 - (dx^i)^2 )
gilt.
Hier ist implizit diese Konstante enthalten. Wenn man diese Beziehung im mitbewegten Koordinatensystem ändert und damit die lokale Lorentzinvarianz deformiert oder bricht, dann würde dies die Geometrie der Raumzeit selbst ändern.
In diesem Kontext einer rein geometrischen Struktur ist „Lichtgeschwindigkeit“ ein irreführender Begriff, es handelt sich zunächst um eine fundamentale Größe, die in allen Gleichungen auftritt, auch - aber nicht nur - für Wellenphänomene. Die ART selbst würde modifiziert werden.
Wie man diese Deformation genau durchführt ist nochmal eine ganz andere Frage.
Ein möglicher Ansatz wäre die explizite Brechung der Lorentzinvarianz mittels eines lokal ausgezeichneten Bezugsystems, definiert durch ein Vierervektorfeld u:
Ein etwas weniger künstlicher Ansatz wäre, dass man dieses u aus anderen Felder konstruiert, z.b. direkt als Vektorfelder A oder aus Skalarfeldern
und anschließend mittels weiterer Kopplungsterme dafür sorgt, dass ein nicht verschwindender Erwartungswert im Vakuum resultieren kann. Damit wäre die lokale Lorentzinvarianz fundamental erhalten, jedoch für bestimmte Lösungen spontan gebrochen (ähnlich wie im Falle der Goldstone-Bosonen, nur dass man hier eine vektorielle Größe und demnach eine Anistropie erhält).
rein für Licht
Man könnte natürlich auch die Geometrie der Raumzeit belassen und lediglich die Einstein-Maxwell-Gleichungen modifizieren. Damit bliebe der rein gravitative Sektor unangetastet, eine modifizierte Lichtgeschwindigkeit würde sich lediglich in einer Abweichung der Lichtgeschwindigkeit von der Propagation schwacher Gravitationswellen unterscheiden, und ggf. eine nicht-lineare Dispersionsrelation und demnach eine frequenzabhängige Lichtgeschwindigkeit induzieren.
In diesem Kontext reden wir tatsächlich von Lichtgeschwindigkeit als Geschwindigkeit für elektromagnetische Wellenphänomene.
Eine recht einfache Modifikation wäre die Einführung einer Photonenmasse.
Denkbar wäre auch eine Kopplung des elektromagnetischen Feldes an weitere Felder, was zu ähnlichen Effekten führen würde. Z.B. könnte man aus der Metrik g im gravitativen Sektor eine andere „Metrik“ G
konstruieren und dieses G im elektromagnetischen Sektor zur Kontraktion der Indizes in
verwenden.
Damit würde das elektromagnetische an die neuen Felder B, phi koppeln.
Ich kann mich mal umsehen, es werden diverse Theorien in diese Richtung untersucht.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 16. Jan 2021 12:23 Titel: Re: Zeitableitung bei variabler Lichtgeschwindigkeit |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | Meine Ideen:
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Was ist hier aus der  -Abhängigkeit von c geworden? Nach der Kettenregel
.)
| Zitat: |
Zum Kontext: ich lese gerade eine Arbeit von Joao Magueijo zum Thema variable Lichtgeschwindigkeit in der Kosmologie. Darin schreibt er, dass die Lorentz-Invarianz automatisch verletzt wäre, da c im Operator der partiellen Ableitung auftaucht. |
Die Begründung klingt suspekt. Wie lautet das genaue Zitat? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 16. Jan 2021 14:09 Titel: Re: Zeitableitung bei variabler Lichtgeschwindigkeit |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | Meine Ideen:
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Das glaube ich nicht.
Die variable Lichtgeschwindigkeit resultiert aus den Charakteristiken der jeweiligen Differentialgleichungen. In den von mir genannten Fällen gilt immer
=\frac{\partial}{\partial t}f(t))
Die variable Lichtgeschwindigkeit stammt nicht aus der trivialen Skalierung der Koordinaten; so einfach ist das nicht.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 297
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| Corbi Verfasst am: 16. Jan 2021 18:39 Titel: |
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danke schonmal für eure Antworten.
Ich gehe dann spätestens morgen weiter darauf ein. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 16. Jan 2021 18:51 Titel: |
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Welches Paper liest du denn?
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 297
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 17. Jan 2021 23:19 Titel: |
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)
und c ist eine Funktion dieser Koordinaten
)
D.h. z.B. die inhomogenen Maxwell-Gleichungen
werden zu
= j^\nu)
mit
 = \partial_\mu \, F^{\mu\nu} + ( \partial_\mu \, \ln c) \, F^{\mu\nu})
(was das bringen soll, weiß ich nicht; hab nur den Anhang gelesen)
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 297
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| Corbi Verfasst am: 18. Jan 2021 20:16 Titel: |
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[quote="TomS"] | Corbi hat Folgendes geschrieben: | Meine Ideen:
Die variable Lichtgeschwindigkeit resultiert aus den Charakteristiken der jeweiligen Differentialgleichungen. In den von mir genannten Fällen gilt immer
Die variable Lichtgeschwindigkeit stammt nicht aus der trivialen Skalierung der Koordinaten; so einfach ist das nicht. |
Ok ich sehe, dass mein Ansatz falsch wahr aber kann man in den Theorien mit variabler lichtgeschwindigkeit einfach  setzen und das c ignorieren. Klar in der Standard-ART kann man immer Einheiten wählen sodass c=1. Aber wenn c ein Feld ist, kann man das nur lokal an einem Punkt tun.
So wie ich es kenne konstruiert man die Lorentztransformationen so, dass e.m.-Kugelwellen in einem Bezugssystem auch Kugelwellen im anderen Bezugssystem sind. Das kann man dann abstrakter durch die Invarianz von
^2 -\vec{r}^2=x_{\mu}x^{\mu} ) ausdrücken. Hier kommen also die 4er-Vektoren ins Spiel.
Wenn man jetzt von einer Positionsabhängigen Lichtgeschwindigkeit ausgeht müsste man mit x_0 konsequenterweise dann auch immer t) meinen.
Ich würde übrigens wenn man schon Theorien mit variabler Lichtgeschwindigkeit diskutiert davon ausgehen, dass davon sowohl die geometrischen Eigenschaften der Raumzeit als auch die geschwindigkeit elektromagnetischer Wellen beeinflusst werden müssten. Wenn man es nur als geometrische Eigenschaft der Raumzeit ansieht, die nicht mit der geschwindigkeit elektromagnetischer Wellen zusammenhängt, wäre es für mich nur eine mathematische Spielerei, die man nicht direkt experimentell überprüfen kann. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 18. Jan 2021 21:13 Titel: |
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c in den Koordinaten dient nur als Faktor, damit die Einheiten passen. Dass man diesen Faktor gleich der Vakuumlichtgeschwindigkeit setzt ist praktisch; mehr nicht. In der ART sind ohnehin beliebige Koordinatentransformationen möglich, ohne dass sich die Physik ändert.
Die variable Lichtgeschwindigkeit wird anders eingeführt - siehe die Maxwellgleichungen.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 297
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| Corbi Verfasst am: 19. Jan 2021 00:36 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | c in den Koordinaten dient nur als Faktor, damit die Einheiten passen. Dass man diesen Faktor gleich der Vakuumlichtgeschwindigkeit setzt ist praktisch; mehr nicht. In der ART sind ohnehin beliebige Koordinatentransformationen möglich, ohne dass sich die Physik ändert.
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hm leuchtet mir nicht so ganz ein. Z.b. beschreibt man mit Nullgeodäten ja Lichtwege. Damit =dx_{\mu}dx^{\mu}=0) eine Lichtfront beschreiben kann muss bei 
c schon die Lichtgeschwindigkeit am jeweiligen Ort repräsentieren.
| Zitat: | | In der ART sind ohnehin beliebige Koordinatentransformationen möglich, ohne dass sich die Physik ändert. |
Kann man beim Ortsvektor t,x,y,z)) das c(x) tatsächlich global durch eine Koordinatentransformation wegtransformieren? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 19. Jan 2021 00:44 Titel: |
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Ja.
Setze
)
mit
 )
Da die ART invariant unter Koordinatentransformationen ist, ändert diese Transformation nichts an der Physik.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 297
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| Corbi Verfasst am: 19. Jan 2021 01:21 Titel: |
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Eine Koordinatentransformation muss ja schon von der Form:
sein. Einfach zwei Vektoren hinzuschreiben ist kein Beweis, dass diese Koordinatentransformation exisitiert. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 19. Jan 2021 01:51 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | Eine Koordinatentransformation muss ja schon von der Form:
sein. Einfach zwei Vektoren hinzuschreiben ist kein Beweis, dass diese Koordinatentransformation exisitiert. |
Vielleicht lernt man ja daraus...
PS: Als ob Koordinaten in der ART irgendwas aussagen würden... das ist doch genau der Punkt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 19. Jan 2021 06:50 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Einfach zwei Vektoren hinzuschreiben ist kein Beweis, dass diese Koordinatentransformation exisitiert. |
Wenn diese Transformation gewisse Bedingungen erfüllt - siehe nachfolgend - dann ist das ein Beweis.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/General_covariance
... general covariance, also known as diffeomorphism covariance or general invariance, consists of the invariance of the form of physical laws under arbitrary differentiable coordinate transformations. The essential idea is that coordinates do not exist a priori in nature, but are only artifices used in describing nature, and hence should play no role in the formulation of fundamental physical laws.
... physicals law expressed in a generally covariant fashion take the same mathematical form in all coordinate systems ...
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 19. Jan 2021 16:47, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 19. Jan 2021 12:44 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | Eine Koordinatentransformation muss ja schon von der Form:
sein.
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Wie kommst du denn darauf? Eine Koordinatentransformation ist eine glatte Abbildung von  nach  und umgekehrt, aber abgesehen davon völlig beliebig.
Du scheinst hier eher an das Differential dieser Abbildung, d.h. das Transformationsgesetz für Vektorkomponenten oder an lineare Transformationen, zu denken.
| Zitat: |
Einfach zwei Vektoren hinzuschreiben ist kein Beweis, dass diese Koordinatentransformation exisitiert. |
So wie ich das verstanden habe, startest du doch mit einem globalen Koordinatensystem ) . Dann führst du irgendein Feld ) ein. Wie geht es dann weiter? Willst du wissen ob dein  eine global gültige Zeitkoordinate ist? Das hängt natürlich von c ab. |
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