Logistische Differentialgleichung

H wie lustig · Anmeldungsdatum: 12.01.2021 Beiträge: 1

Meine Frage:
Die Logistische Differentialgleichung ist durch:

gegeben.

Die Aufgabe dazu lautet wie folgt:
Lösen Sie die Gleichung

Ich bin mir allerdings unsicher, ob ich nun von der zuvor genannten Gl. auf die in der Aufgabe erwähnte Gleichung kommen soll(, oder ob ich sie aus dem "Stegreif" herleiten soll, wobei ich bei dieser Variante leicht den Kopf schüttel).

Hätte jemand vielleicht einen Ansatz? Oder eine Idee, wie ich auf ihn komme?

Meine Ideen:

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Deine zweite Differentialgleichung

beschreibt einen Prozess mit exponentiellem Wachstum.

Deine erste Differentialgleichung

beschreibt einen Prozess mit beschränktem exponentiellem Wachstum.

Während im zweiten Fall angenommen wird, dass eine gewisse Ressource unendlich ist, ist diese Ressource im ersten Fall endlich und wird verbraucht. L entspricht dabei der Sättigung: bei P = L wäre dP/dt = 0, d.h. ausgehend von P < L kann P > L nicht bzw. P = L nur asymptotisch erreicht werden.

Beispiel Pandemie: Im zweiten Fall sind unendlich viele Menschen und demnach auch unendlich viele nicht Infizierte vorhanden; die Zahl der Infizierten wächst unbegrenzt. Im ersten Fall sind nur endlich viele Menschen vorhanden, einmal Infizierte sterben oder werden immun; dadurch sind nur endlich viele nicht-Infizierte vorhanden - deren Zahl außerdem mit der Zeit abnimmt - und nur diese können noch infiziert werden.

Deine zweite Differentialgleichung geht aus der ersten hervor für den Spezialfall

d.h. zu Beginn der Epidemie wirkt sich die Begrenzung nicht aus, das Wachstum erfolgt in sehr guter Näherung immer exponentiell.

Beide Differentialgleichungen können mittels Trennung der Variablen integriert werden.