Lorentzinvarianz

MrPSI · Gast

Guten Abend.
Ich bins wieder mal mit einer Frage zur SRT, speziell die Lorentzinvarianz. Und wiederum geht es um das Dokument hier , und zwar um die Seite 51-52.

Da wird kurz erklärt, was Invarianz bedeutet und wie die "Lorentzanalogie" dazu aussieht. Aber da ist nicht erklärt wie man auf die Formel

kommt, keine Ueberlegungen, nix.
Ich habe schon versucht, die Gleichung anhand der "Lichtkugelgleichungen" herzuleiten bzw. sie mir bildlich vorzustellen, hat aber nicht gefruchtet.

Kann mir bitte jemand eine Erklärung, Herleitung o.Ä. für die oben gezeigte Formel geben.
Ich weiss auch gar nicht, was diese Formel überhaupt aussagt oder was dieser "Abstand" sein soll. unglücklich

Kurzum, ich würde gerne wissen in welchem Zusammenhang und wie man auf die Gleichung

kommt.

Bin jedem, der mir Denkanstösse, Hinweise oder andere hilfreiche Antworten gibt, sehr verbunden. smile

mfg MrPSI

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Das ist die Minkowski Metrik. Ich denke, man kann die direkt aus Einstein's Postulaten herleiten, nach dem Motto: "Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen IS gleich.", oder so... jedenfalls ist für Licht diese Metrik immer null und für zeitartige "Ereignis-Entfernungen" immer negativ, für raumartige positiv. Dummer weise ist es bei den Termen Deiner Gleichung gerade umgekehrt, also wäre das genau das negative der Minkowski-Metrik. Vielleicht kann es aber auch so rum definieren, keine Ahnung.

Gruß
Marco

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Man nennt einen Ausdruck dann lorentzinvariant, wenn er nach Anwenden der Lorentztransformation in den neuen Koordinaten wieder genauso aussieht wie vor der Transformation in den alten Koordinaten.

Dass der Ausdruck

lorentzinvariant ist, kannst du also einfach nachprüfen, indem du die Lorentztransformation auf ihn anwendest (also das t_1, t_2, x_1 und x_2 durch die Ausdrücke mit gestrichenen Koordinaten gemäß der Lorentztransformation ersetzt). Dann wirst du sehen, dass als Resultat

herauskommt.

Ich würde sagen, darauf, welche Ausdrücke lorentzinvariant sind und welche nicht, kommt man einfach durch Ausprobieren und Nachrechnen mit den Gleichungen der Lorentztransformation.

In einem Koordinatensystem für die Raumzeit, dessen Achsen (x,y,z,ict) sind (Minkowski-Darstellung), entspricht das Negative dieses Ausdrucks übrigens dem Quadrat eines Abstandes.

MrPSI · Gast

Also der Ausdruck

ist gleich dem Quadrat eines Abstandes.

Aber wo bleiben da die y- und z-Koordinaten? Und was für eine Rolle hat der Term

?

Braucht man eigentlich die Minkowski-Metrik zur Herleitung oder gibt es auch andere Möglichkeiten? Denn als Schüler einer 11. Schulstufe habe ich von normierten Räumen und Metrik keine Ahnung.

Grüsse, MrPSI

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

MrPSI · Gast

So weit, so gut. Aber wieso verwendest du die Schreibweise ct bei (x , ... , ict) anstelle von (x, ... , t) ? Und wieso fügst du auch noch die imaginäre Zahl i an?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ohne das c hätte ein Abstand in Zeitrichtung nicht die Einheit eines Abstandes, und ohne das i würde das Vorzeichen vor

nicht zu unserem lorentzinvarianten Ausdruck passen.

hat die Einheit eines Abstandes, und wegen

sorgt das i für das richtige Vorzeichen.

MrPSI · Gast

Aber gibt es für den Einsatz der imaginären Zahl nicht einen physikalischen Grund? Ich meine, man kann doch nicht einfach ein i reinsetzen, nur um das richtige Vorzeichen zu haben, wenn es dann physikalisch keinen Bezug hat.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Der physikalische Grund ist ja gerade, dass man sein Koordinatensystem so basteln möchte, dass es zur Lorentztransformation passt:

Minkowskis Koordinatensystem ist so gestaltet, dass Abstandsquadrate wie unser Ausdruck oben lorentzinvariant sind. Also ist das ein praktisches und gut geeignetes Koordinatensystem, um Probleme zu beschreiben, bei denen verschiedene Bezugssysteme und die Lorentztransformation eine Rolle spielen.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo MrPSI!

Nein, dafür gibt es keinen physikalischen Grund, würde ich sagen. Ich habe das sogar ohne dieses i gelernt.
Fakt ist, dass der sogenannte "Viererabstand" s so definiert ist:

Man kann leicht nachrechnen, dass diese Größe unter Lorentztransformation invariant ist. Das c^2 würde ich mir eher als eine Art Eichung der Größe Zeit vorstellen, so dass sie zu den anderen Größen paßt. Wenn wir als Einheit für die Zeit einfach definieren würden: eine Zeiteinheit ist genau die Zeit, die ein Lichtstrahl braucht, um einen Meter zurück zu legen, oder wenn wir umgekerht nicht in Meter als Längeneinheit sondern Lichtsekunden nehmen würden, dann könnte man sich das c sparen. Die Frage ist also eher, ob unsere SI-Einheit in dieser Hinsicht überhaupt sinnvoll sind. Um das zu korrigieren, muß man eben noch eine Konstante rein bringen, die man c nennt.
Man kann dieses Minus im Viererabstand (der der Minkowskimetrik entspricht) entweder dadurch bekommen, indem man bei der Zeitkoordinate ein i dazuschreibt, das beim Quadrat dann zu einem Minus wird. Es ist aber auch möglich (und so habe ich das gelernt), nicht das normale Skalarprodukt zu verwenden, sondern als "Rechenregel" immer die erste Koordinate negativ zu nehmen. Oder man definiert dazu extra noch eine Matrix, deren 0,0 Komponente -1 ist, alle anderen Komponenten in der Diagonale 1 und alle außerhalb der Diagonalen 0. Wenn man bei jedem Skalarprodukt das ganze noch mit dieser Matrix multipliziert stimmts auch wieder.
Egal wie man es macht, letztendlich ist es einfach mehr oder weniger ein Rechentrick, um irgendwie auf das Minus zu kommen. Physikalisch steckt immer nur dahinter, dass genau dieser Term unter Lorentztransformation invariant ist, also immer den selben Wert ergibt.
Es gibt übrigens auch noch andere 4-Vektoren, die sich so transformieren. Wenn man Stöße ausrechnen will, braucht man oft den Impuls-4-Vektor. Bei dem ist die erste Komponente die Energie und die anderen Komponenten die Impuls-Komponenten. Der Betrag des Vektors (mit der Vorschrift von oben ausgerechnet, also mit dem Minus in der ersten Komponente) ergibt dann immer die Ruhemasse des Teilchens, egal in welchem IS man das ausrechnet. Ist oft sehr praktisch, wenn man weiß, dass die Ruhemasse eines Photons null ist und so weiter... Geschwindigkeits-Vierervektor gibt's z. B. auch noch. Und alle transformieren sich invariant unter Lorentztransformation.

Man kann das ganze aber auch anders herum sehen. Vielleicht will man ja die Lorentztransformation aus den Postulaten Einsteins herleiten. Dann kommt man (so weit ich mich erinnern kann...) über die Tatsache, dass das Licht in jedem IS die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit hat, zuerst auf die Minkowski-Metrik und kann von da aus die Lorentztransformation herleiten. Es gibt sicher noch andere Möglichkeit, das her zu leiten, aber so weit ich mich erinnern kann, habe ich diese Variante mal irgendwo gesehen/gehört... Wenn man die Transformation erst mal hat, ist die Metrik natürlich einfach zu zeigen. Einfach zwei Punkte im Minkowskiraum nehmen (also Ereignisse mit Raumkoordinaten und Zeit), dann mit der Lorentztransformierten diese Metrik ausrechnen und sehen, dass genau das selbe raus kommt, wie wenn man sie gleich untransformiert ausgerechnet hätte.
Also nochmal: Eigentlich hat nur der Betrag (oder das Betrags-Quadrat) eines solchen Vierervektors eine physikalische Bedeutung. Bei diesem Quadrat ist die Rechenvorschrift wichtig mit dem Minus in der ersten Komponente. Wie man jetzt aber die Vektoren definiert, ob man lieber ein i drin hat und dann ein normales Skalarprodukt verwendet, oder ob man kein i hat, dafür aber mit einem speziellen Skalarprodukt rechnen muß, das ist physikalisch unwichtig.

Gruß
Marco

MrPSI · Gast