Gekoppeltes Fadenpendel

Science_Joggl · Anmeldungsdatum: 15.02.2018 Beiträge: 30

Meine Frage:
Hallo,

im Rahmen der Prüfungsvorbereitung sitze ich an folgender Aufgabe und komme in einem Punkt nicht weiter:

Stellen Sie zu folgendem System die Lagrangefunktion auf: Zwei Fadenpendel der Länge

mit je Masse

, die über eine Feder der Federkonstante

auf halber Höhe (bei

) miteinander verbunden sind. Das System befinde sich im Schwerefeld der Erde und die Bewegung sei reibungsfrei. Der Aufhängepunkt des ersten Pendels sei

, der des zweiten

Probleme habe ich beim Aufstellen der potentiellen Energie.

Meine Ideen:
Die potentielle Energie setzt sich meiner Meinung nach aus der potentiellen Energie des Erdschwerefelds für jedes Pendel und der potentiellen Energie die die Feder auf das Pendel ausübt zusammen.

Als Nullpunkt der potentiellen Energie des Schwerefelds der Erde wähle ich die Aufhängung des Pendels. Somit:

wobei:

und damit:

Als Nullpunkt der potentiellen Energie der Feder wähle ich die Ruhelage, wobei diese gegeben sei bei einer Federlänge, die dem Abstand der Aufhängungen entspricht.

Meine Überlegung:
Lenkt man die erste Masse aus, ändert sich die Länge der Feder um

Lenkt man die zweite Masse in dieselbe Richtung aus, verringert sich die Längenänderung der Feder wieder um

Insgesamt ist also die Längenänderung der Feder gegeben durch:

Die potentielle Energie der Feder Ergibt sich somit durch:

Als Lösung der Aufgabe habe ich gegeben:

Leider steht dort nicht, wie man darauf kommt, deswegen jetzt meine Frage an Euch: Was mache ich falsch? Woher kommen die Cosinus Terme und der 1/4 Vorfaktor anstelle meines 1/8?

Vielen Dank smile

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

Wenn der Abstand der Aufhängepunkte x2-x1 nicht gross ist gegenüber der „Faden“länge l (ich nehme an, es handelt sich eher um Stangen?), kann für nicht kleine Auslenkungen auch der vertikale Unterschied für die Änderung der Federlänge relevant sein. Steht denn nichts zum Abstand x2-x1?

Science_Joggl · Anmeldungsdatum: 15.02.2018 Beiträge: 30

Danke für die Antwort. Leider steht nichts dabei zum Abstand der Aufhängepunkte. Angenommen der Abstand wäre nicht klein gegenüber der Fadenlänge anzunehmen, warum kann dann der vertikale Abstand eine Rolle spielen? Inwiefern ändert das die Federlänge?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

Für die Federlänge bzw. deren Änderung im Vergleich zur entspannten Feder ist doch neben der horizontalen Auslenkung der Massen auch die vertikale Auslenkung relevant. Macht man eine Näherung für kleine Auslenkungen, gilt dies nicht mehr, da für kleine Winkel x gilt cos(x)=1.
Wie man auf die gegebene Funktion Uk kommen soll, wenn x2-x1 nicht gegeben ist, sehe ich auch nicht.

Science_Joggl · Anmeldungsdatum: 15.02.2018 Beiträge: 30

Okey vielen Dank dann versuche ich es in der Richtung mal. Vielleicht hilft es weiter einfach einen Abstand

einzuführen... mal sehen smile