Interferenz von zwei Lautsprechern

Gast

Hallo!

Ich habe da mal eine Aufgabe und zu dieser auch den Lösungsweg. Das Problem ist nur, dass ich den Lösungsweg teilweise nicht ganz nachvollziehen kann. Kann mir dass bitte mal einer erklären, wie ich zu der Lösung komme? Aber hier erst mal die Aufgabe:

L_1 und L_2 (beides Lautsprecher) haben eine Entfernung von 0,75 m voneinander und senden Schallwellen mit 1000 Hz aus. Das Mikrofon M kann auf der x-Achse hin- und hergeschoben werden.
Berechne die Stellen, an denen Lautstärkeminima auftreten (c = 340 m/s)
(siehe auch Skizze im Anhang)

nun zu dem Lösungsansatz:

Das Lautstärkeminimum ergibt sich in M, wenn der Gangunterschied
[DELTA] s = L_2M – x = (2k-1) * ([LAMBDA]/2) beträgt.
[DELTA] s = WURZEL(0,75² + x²) – x = (2k-1) * ([LAMBDA]/2) | + x
WURZEL(0,75² + x²) = (2k-1) * ([LAMBDA]/2) + x | ²
0,75² + x² = [(2k-1) * ([LAMBDA]/2) + x]²
(bis zu dieser Stelle ist mir der Lösungsweg vollkommen klar, nur verstehe ich nun nicht, wie ich auf folgende Gleichung durch umformen der letzten Gleichung komme)
x = (0,5625 – (2k-1)² * 0,0289) / (0,34 * (2k-1))

laut dieser Gleichung folgt dann für:
k = 1 x = 1,57 m
k = 2 x = 0,30 m
k = 3 x = 0 --> entfällt!

Noch eine Anmerkung: Diese Aufg. ist ein Teil einer Komplexaufgabe. Ich habe aber nicht unbedingt den Eindruck, dass sich die vorhergehende Teilaufgabe zu dieser Aufgabe bezieht. Falls das nur sein kann, weil man vielleicht nicht anders auf eine Lösung kommen kann, dann kann ich ja noch später auch diese mal posten. Sagt halt einfach bescheid!

SK-Genius · Gast

ofensichtlich wurde für [LAMBDA] der zahlenwert eingesetzt und bei
0,75² + x² = [(2k-1) * ([LAMBDA]/2) + x]²
die eckige klammer mit den quadrat aufgelöst wodurch man zur form kommt:
0,75² + x² = [(2k-1) * ([LAMBDA]/2)]² + (2k-1) * ([LAMBDA]/2)*x + x²
das x² hebt sich auf:
0,75² = [(2k-1) * ([LAMBDA]/2)]² + (2k-1) * ([LAMBDA]/2)*x
die eckige klammer noch auf die andere seite und dann auch noch auflösen:
0,75² - (2k-1)² * ([LAMBDA]/2)² = (2k-1) * ([LAMBDA]/2)*x
und jezt noch das x solo stellen:
[0,75² - (2k-1)² * ([LAMBDA]/2)²] / [(2k-1) * ([LAMBDA]/2)] = x
jetzt noch das ganze in deine reihenfolge:
x = [0,75² - (2k-1)² * ([LAMBDA]/2)²] / [([LAMBDA]/2) * (2k-1)]
wenn du jetzt das [LAMBDA] ersetzt müsse es mit deinem:
x = [0,5625 – (2k-1)² * 0,0289] / [0,34 * (2k-1)]
überein stimmen.

zu den rest:
du musst versuchen die formel in die form bringen:
0 = (2k-1)² +p*(2k-1) + q
dann kanst du über die lösungsgleichung dein (2k-1) ausrechnen:
(2k-1)_1,2 = -p/2 +/- wurzel((p/2)²+q)
wenn due willst kanst du das (2k-1) wie in der schule gelehrnt durch ein z ersetzen (substituieren wurde es glaub genannt)

ausgehend von der formel:
x = [0,5625 – (2k-1)² * 0,0289] / [0,34 * (2k-1)] | *[0,34 * (2k-1)]
x*[0,34 * (2k-1)] = 0,5625 – (2k-1)² * 0,0289 | - x*[0,34 * (2k-1)]
0 = 0,5625 – (2k-1)² * 0,0289 - x*[0,34 * (2k-1)]
0 = -0,0289*(2k-1)² - x*(2k-1) - 0,34*x + 0,5625 | / (-0,0289)
0 = (2k-1)² + (x/0,0289)*(2k-1) + (0,34/0,0289)*x - 0,5625/0,0289
damit ergibt sich für:
p = (x/0,0289)
q = (0,34/0,0289)*x - 0,5625/0,0289
an der stelle hör ich mal auf, und leichtsinsfehler kann ich auch nicht ausschliesen ;-).

Gast

Hallo SK-Genius!

Viel dank für deine schnelle Hilfe! Ich habe erkannt, warum ich nie auf die Endgleichung gekommen bin. Nämlich, weil ich die rechte Seite der Gleichung nicht als binomische Formel gelöst hatte. (Blöder Anfängerfehler von mir Gott

)

Dein Ansatz hat leider nur den kleinen „Leichtsinnsfehler“, dass du die binomisch Formel so aufgelöst hast: (a + b)² = a² + ab + b². Richtig müsste es aber heißen: (a + b)² = a² + 2ab + b².
Du hast also nur einmal den Faktor „2“ des Mittelglieds der bino. Formel vergessen . Sonst war alles ok und man kommt dann auch auf die korrekte Endgleichung von
x = (0,5625 – (2k-1)² * 0,0289) / (0,34 * (2k-1))
wenn man vorher für [LAMBDA] = c / f = 340 (m/s) / 1000 Hz = 0,34 m einsetzt.

Also hier noch mal alles komplett:

0,75² + x² = [(2k-1) * ([LAMBDA]/2) + x]²
0,75² + x² = {(2k-1) * ([LAMBDA]/2)}² + 2 * [{(2k-1)*[LAMBDA]*x}/2] + x²
0,75² = [{(2k-1) * ([LAMBDA]/2)}² + (2k-1)*[LAMBDA]*x | -{(2k-1) * ([LAMBDA]/2)}² 0,75² - (2k-1)² * {[LAMBDA]/2}² = (2k-1)*[LAMBDA]*x
x = [0,75² - (2k-1)² * {[LAMBDA]/2}²] / [ [LAMBDA]*(2k-1)]
für [LAMBDA] = 0,34 m eingesetzt ergibt:
x = (0,5625 – (2k-1)² * 0,0289) / (0,34 * (2k-1))

nun kann man für k = 1;2;3 einsetzen und erhält die dementsprechenden x-Werte:
wenn k=1, dann x = 1,57 m
wenn k=2, dann x = 0,30 m
wenn k=3, dann x = 0 m --> entfällt!

Das war’s eigentlich schon.
Was wolltest du mir eigentlich damit erklären:

SK-Genius · Anmeldungsdatum: 29.10.2004 Beiträge: 67 Wohnort: Dresden

leichtsinnsfehler sind bei mir leider an der tagesordnung :(
das zählt leider auch für's lesen, oder besser gesagt für's verlesen. deshalb auch der komische teil mit dem k, ich dachte du sollst es ausrechnen statt dafür einfach nur werde einzusetzen. in der regel muss ich ein text 3 mal lesen bevor er (hofentlich) fehlerfrei in mein kopf gelangt. deinen post hab ich nur 2 mal gelesen ;) .