Drehpendel mit einer Spiralfeder mit Kreisscheibe

ph5 · Anmeldungsdatum: 27.06.2018 Beiträge: 63

Guten Tag,

Aufgabenstellung:

Ein Drehpendel besteht aus einer Drehachse verbunden mit einer (masselosen) Spiralfeder mit Torsionskonstante 𝐷𝑇 und einer zentrisch auf der Drehachse sitzenden Kreisscheibe mit Radius 𝑅 und Masse 𝑀. Die Auslenkung aus der Ruhelage wird durch den Drehwinkel 𝜑(𝑡) beschrieben, die Winkelgeschwindigkeit sei 𝜔(𝑡). Es gelten die Anfangsbedingungen 𝜑(𝑡 = 0) = 0 und 𝜔(𝑡 = 0) = 𝜔0.

a) Geben Sie eine Bewegungsgleichung für dieses Pendel an! Benutzen Sie dabei die oben genannten Größen!

b) Skizzieren Sie qualitativ den zeitlichen Verlauf von Drehwinkel, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung und sämtlichen vorkommenden Energieformen! Beachten Sie dabei die oben spezifizierten Anfangsbedingungen!

c) Nun werde direkt am Rand der Scheibe (Radius 𝑅) ein punktförmiges Massenelement der Masse Δ𝑚 angebracht. Die Schwingungszeit des Systems verändert sich dabei von 𝑇1 auf 𝑇2. Leiten Sie einen Ausdruck für das Verhältnis 𝑇2⁄𝑇1 her. Wird die Schwingungsperiode 𝑇2 durch das zusätzliche Massenelement größer oder kleiner?

d) Es soll nun zusätzlich ein bremsendes Drehmoment auf die Scheibe wirken, die sich proportional zur Winkelgeschwindigkeit verhält (Proportionalitätskonstante 𝛽).

i. Stellen Sie für diesen Fall eine Bewegungsgleichung für ein Drehpendel auf!

ii. Skizzieren Sie die Auslenkung des Federpendels als Funktion der Zeit für
schwache Dämpfung!

iii. Durch welche Funktion wird bei sehr schwacher Dämpfung die Abnahme der Maximalauslenkung beschrieben? Geben Sie einen entsprechenden Ausdruck unter Benutzung der oben genannten Größen an!

Ansatz:

a)

c)

Wenn ich

nach

löse.
Bekomme ich für

Also wird die Periodendauer größer. Verstehe ich das richtig? Je größer die Periodendauer wird, desto langsamer schwingt das Drehpendel und umgekehrt.

d)

i.

iii.

Viele Grüße ph5

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

Zu a) richtig, einfach das Trägheitsmoment noch durch die gegebenen Grössen M und R ausdrücken.

Zu b) Es muss

sein, da

ist und somit bei t=0 keine Kraft wirkt (Auslenkung ist =0).

Zu c) Der Ausdruck für T ist noch nicht ganz richtig, da das Trägheitsmoment der Scheibe nicht MR^2 ist. Dann noch einen Ausdruck für T2/T1 hinschreiben.

Zu d) i) statt r war wohl

gemeint.

ii) Die Grösse

noch durch die gegebenen Grössen

ausdrücken. Wie es scheint, soll auch nicht eine Gleichung für

angegeben werden, sondern nur für den zeitlichen Verlauf der Amplitude.

ph5 · Anmeldungsdatum: 27.06.2018 Beiträge: 63

a)

c)

Nehme ich jetzt an, dass die Scheibe sehr dünn ist?

Oder hat die Scheibe eine Höhe und damit

d)

ii) weiß ich immer noch nicht unglücklich

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

Die Gleichung bei a) kann noch nicht ganz stimmen, denn das Massenträgheitsmoment einer Scheibe mit Masse M und Radius R ist bezogen auf eine Achse durch den Mittelpunkt

Wird am Rand noch eine Zusatzmasse

befestigt, steigt das Trägheitsmoment auf

Die Bewegungsgleichung bei a) wäre also mit den gegebenen Grössen einfach

In c) einfach die Trägheitsmomente in die Gleichung für T einsetzen.

d) richtig, die Amplitude nimmt ab gemäss

Das Skizzieren von

sollte nicht so schwierig sein. Einfach eine harmonische Schwingung, deren Amplitude exponentiell abnimmt. In diesem Abschnitt findest Du sonst eine Darstellung.

ph5 · Anmeldungsdatum: 27.06.2018 Beiträge: 63

Oh man, vielen Dank für deine Antworten. smile