Ergodizität des harmonischen lin. gekoppelten Oszillators

Fermipasta · Anmeldungsdatum: 19.10.2018 Beiträge: 3

Meine Frage:
Der Hamiltonien von einem System gekoppelter harmonischer Oszillatoren ist gegeben, mit p1 und p2 bzw q1 und q2 als generalisierte Impulse bzw. Ortskoordinaten des jeweiligen Oszillators. Es gibt einen Kopplungsterm:

Nun soll man durch geeignete Koordinatentransformation zeigen, dass dieses System nicht ergodisch ist.

Meine Ideen:
Durch Hauptachsentransformation komme ich auf ein neues Ergebnis, nun weiß ich nicht recht weiter. Soll ich expliziet die Ergodenhypothese ausrechen oder gibt es einen "Trick" wie man nun sieht, dass das System nicht ergodisch ist?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Was genau müsstest du denn beweisen?

Ich kenne Ergodizität für stochastische Systeme, aber das hier ja nicht gegeben.

Ich würde hier ansetzen, dass man zunächst den Phasenraum in Untermannigfaltigkeiten M_E zu jeweils einer festen Gesamtenergie E zerlegt; dann betrachtet man das System im Grenzfall beliebig großer Zeiten; zuletzt betrachtet man Phasenraumbereiche N innerhalb jeder dieser Untermannigfaltigkeit M_E; die Wahrscheinlichkeit, das System in einem beliebigen Bereich anzutreffen ist proportional zu dessen Volumen V(N).

Habt Ihr dazu eine formale Definition für nicht-stochastische Systeme?

Gefühlt würde ich versuchen zu zeigen, dass jede Untermannigfaltigkeit M_E in nicht-zusammenhängende Bereiche N1, N2, ... zerfällt, so dass eine Schar von Phasenraumtrajektorien existiert, die z.B. in N1 verbleiben und N2 nie erreichen.

Fermipasta · Anmeldungsdatum: 19.10.2018 Beiträge: 3

Beweisen sollen wir, dass das System von linear gekoppelten harm. Osz. nicht ergodisch ist. Also, dass Trajektorien existieren, die für t gegen unendlich nicht durch ein Gebiet der Hyperfläche laufen. Mir ist nur nicht klar, wie man überhaupt ansetzen soll..
Eine Idee von mir war es zu zeigen, dass das Ensenble- und Zeitmittel nicht gleich ist, also damit das System nicht ergodisch ist. Das sieht nach recht viel Arbeit aus, deswegen wollte ich fragen ob das in die richtige Richtung geht (Außerdem bin ich bei der Definition von der Verteilungsfunktion unsicher).

Von Zerlegung des Phasenraums haben wir nicht geredet. Wir sind nicht auf UMF's eingegangen. Vielleicht machen wir das noch, weil wir erst die erste Vorlesung über statistische Mechanik hatten. Generell fand ich die uns gegebenen Definitionen von Ergodizität recht undurchsichtig... Kannst du mir ggf. eine gute Quelle zum lesen geben?

Zusätzlich habe ich noch zwei Fragen wenn ich schonmal hier bin:
Beim Beispiel vom normalen 1-Dimensionalen harm. Osz (ist ja ein ergodisches System) wurde uns in der Vorlesung gesagt:
"Allgemein ist das System ist auf eine 6N-1 Dim. Hyperfläche eingeschränkt."
Beim harm. Oszillator ist es ja eine Ellipsen form im Phasenraum zu sehen. Jetzt meine zwei Fragen:

a) Eigentlich bewegen wir uns nur auf dem Rand der Ellipse, nicht im inneren, da dort die Zustände < E sind (Energieerhaltung ist gegeben)
stimmt das?
b) wie hängen der Satz "6N-1 dim. Hyperfläche" und die Ellipsenform des 1D Osz. zusammen? Ich meine N ist in dem Beispiel 1, d.h. die Hyperfläche ist 5 Dimensional? Ich glaube ich verstehe den Satz nicht.

Schonmal Danke im Voraus an jeden, der sich solch einen Textschwall durchließst!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Mit Ellipse ist immer die Kurve gemeint, nicht die Fläche.

Die Einschränkung auf 6N-1 besagt lediglich, dass eine zusätzliche Bedingung gilt, hier also E = const.

Speziell mit der Ellipse hat das nichts zu tun. Betrachte ein Pendel: dies führt zunächst auf eine Ellipse. Sobald sich das Pendel jedoch überschlagen darf, führt das auf eine Wellenlinie im Phasenraum (q entspricht der Winkelkoordinate).

Ich kann dir leider keine gute Quelle nennen.

Fermipasta · Anmeldungsdatum: 19.10.2018 Beiträge: 3

ahh ok vielen Dank.
Und was ist das N in dem Fall des 1D Oszillators? Die Hyperfläche ist ja nur die Ellipse also eindimensional. Ich verstehe nicht wie man vernünftig von 6N-1 dim. auf die Dimension der Ellipse kommt. Ich glaube etwas verstehe ich dabei nicht.