Poisson-Klammer ---> Kommutator

IronPhoenix · Anmeldungsdatum: 05.01.2017 Beiträge: 23

In der klassischen Mechanik ist eine Groesse genau dann erhalten, wenn ihre Poisson-Klammer mit der Hamilton-Funktion verschwindet (beide Argumente nicht explizit zeitabhaengig). Das laesst sich einfach rechnen, ist also kein Problem.

Mir ist aber nicht klar, warum die folgende quantenmechanische Analogie gilt:
Verschwindet der Kommutator eines Operators mit dem Hamiltonian (beide wieder nicht explizit zeitabhaengig), so ist die entsprechende Groesse erhalten.

Wie kann das gezeigt werden?
Insbesondere wie kommt man mit der kanonischen (auch: ersten) Quantisierung von der Poisson-Klammer zum Kommutator?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5888

Dass der Erwartungswert erhalten bleibt, wenn ein Operator mit dem Hamilton-Operator vertauscht, sieht man wie folgt:

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18116

In der QM gilt zunächst die Schrödingergleichung für die Zeitabhängigkeit der Zustände; Operatoren sind zeitunabhängig.

Die Transformation von diesem sogenannten Schrödinger- ins Heisenbergbild führt auf zeitunabhängige Zustände und zeitabhängige Operatoren; letztere ist durch die Heisenbergschen Bewegungsgleichung gegeben. Die Form der Transformation garantiert, dass Operatoren, die mit dem Hamiltonian vertauschen, zeitunabhängig bleiben.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_picture

IronPhoenix · Anmeldungsdatum: 05.01.2017 Beiträge: 23

Hmm ... das sieht eigentlich gut aus, aber mit ist ein technisches Detail nicht klar.
Warum darf man von der totalen zur partiellen Ableitung gehen?

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Man geht eigentlich nicht von der totalen zur partiellen Ableitung über. Man definiert den Operator

über die Beziehung

Die rechte Seite wertet man über die Produktregel aus. Dabei kommt von vornherein nur eine Ableitung

von

nach t vor.

Weitere Zeitableitungen kommen erst nach Bildtransformationen ins Spiel

mit unitärem zeitabhängigen

. Ein bißchen rumrechnen ergibt dann die Bewegungsgleichungen für

wobei

der Generator der Bildtransformation ist. Hier bedeutet nun eigentlich

im neuen Bild dasselbe wie

im alten Bild, d.h es handelt sich um eine gewöhnliche Ableitung nach der Zeit. (Die Zeitabhängigkeiten sind aber natürlich in beiden Fällen verschieden.) Die unterschiedlichen Bezeichnungen sind wohl eher traditionell begründet. Und wichtig ist eigentlich nur, daß man

und

nicht durcheinander bringt.

(

definiert übrigens, wegen

das Heisenbergbild mit der Bewegungsgleichung

und

das Schrödinger-Bild mit

)

IronPhoenix · Anmeldungsdatum: 05.01.2017 Beiträge: 23

Hehe. Ich war wohl etwas eingerostet, aber damit ist die Frage erledigt. Vielen Dank! Thumbs up!