Zentralkraftfeld + Drehimpulserhaltung

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

Hey Leute,

ich hab ein kleines Problem bei einer Schlussfolgerung, dass ALLE Komponenten des Drehimpulses erhalten bleiben.

Mithilfe der Lagrangefunktion lässt sich für ein Zentralkraftfeld mit Hilfe von Kugelkoordinaten zeigen, dass die Z-Komponente des Drehimpulses konstant ist.

Daraus kann ich doch folgern, dass die Bewegung auf einer Ebene stattfindet, da sonst die z-Komponente des Drehimpulses nicht konstant wäre, und kann deswegen mein Koordinatensystem so legen, dass die z-Komponente mit der Drehachse zusammenfällt, wodurch dann die x und die y Komponente des Drehimpulses Null sind... oder ?

Der Nolting schreibt an dieser Stelle " da die z-richtung durch nichts ausgezeichnet ist, muß sogar der volle Drehimpuls konstant sein " : das versteh ich ehrlich gesagt begrifflich nicht so ganz, da mir nicht so klar ist, wie ein ausgezeichnetes Koordinatensystem , im Gegensatz zum hier betrachteten Fall aussehen würde ?

goa · Anmeldungsdatum: 09.05.2006 Beiträge: 75

Hi Bastue,

die einfachste Erklärung für die Erhaltung des Drehimpulses im Zentralkraftfeld ist meiner Meinung nach die Abwesenheit eines Drehmomentes.
Es gilt:

Da im Zentralkraftfeld F immer parallel zu r ist, ist das Kreuzprodukt null und die zeitliche Änderung von L auch null, d.h. L bleibt erhalten.
Zu deinem letzten Absatz: Ein Beispiel für Körper die ein magnetisches Moment haben wäre zum Beispiel das Anlegen eines äusseren Magnetfeldes. In diesem Fall wäre die ausgezeichnete Richtung die parallel zum Magnetfeld.

Gruss, Goa

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

Hey Goa,

das mit der Abwesenheit war mir schon klar, das kann man ja ganz schnell durch die Betragsdefinition des Kreuzproduktes / der Parallelität von r und F zeigen , das geht damit sicher fixer und einfacher.

Mir gehts eher darum, wie man das mit Lagrange zeigt.
Weiß mitlerweile aber auch nicht mehr warum Nolting das genauso macht, wie es im Nolting 2 steht.

Der Punkt, dass der verallgemeinerter Impuls des einen Winkels konstant ist , ist mir noch klar.

Aber er setzt dann diesen verallgemeinerten Impuls des Winkels gleich der z-Komponente des Drehimpulses. Mir ist auch nicht so ganz klar, warum da gar nix mehr aus der Definition des Drehimpulses mit drin steht... weder vom Vektorprodukt , noch von der Betragsdefinition .

goa · Anmeldungsdatum: 09.05.2006 Beiträge: 75

Ah ok. Der Gedankengang ist der folgende:
a) Ich kann zeigen dass die z-Komponente von L konstant ist.
b) Da es keine Vorzugsrichtung gibt kann ich mein Koordinatensystem so legen wie ich will. Keine Vorzugsrichtung heiss in diesem Fall dass mein Potential

genau gleich aussieht, unabhängig davon wie ich mein Koordinatensystem lege.
c) Ich kann mir also erstmal ein Koordinatensystem überlegen in dem die Z-Achse parallel zum Drehimpuls ist -->

d) Jetzt nehm ich ein anderes Koordinatensystem in dem der Drehimpuls parallel zur x-Achse ist. Dieses neue Koordinatensystem ist genaugenommen das gleiche wie vorher, ausser dass ich die Bezeichnungen einmal rotiert habe. D.h. was vorher meine z-Achse war ist jetzt meine x-Achse und so weiter. Da mein Potential im neuen Koordinatensystem genau gleich aussieht wie im alten, kann ich genau das gleiche Argument wie in a) anwenden und zeigen dass .

. Da aber

weiss ich dass auch

gilt usw...

Übrigens: Geh ich recht in der Annahme dass es gerade um das Wasserstoffatom geht?

Gruss Goa

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

Huhu,

nein, das sollte nicht speziell für ein Wasserstoffatom sein , im Nolting stehts halt unter "Kepler-Problem" , ich versuch so ein bisschen nachzuvollziehen warum er das so gemacht hat , da im Fließbach / Keuypers, das halt auch so gemacht wurde wie du das gesagt hattest, also mit der Definition des Kreuzproduktes.

Weißt du hierzu auch noch was ?

p_phi ist ja nun der allgemeine Impuls , und der Rest danach einfach, die Ableitung der ursprünglichen Lagrangefunktion.
Ist das so offensichtlich, dass das die Z-Komponente des Drehimpulses ist ? Drehimpuls ist doch noch immer was mit rxp , und hier hätten wir doch bs jetzt einfach nur den verallgemeinerten Impuls ?

goa · Anmeldungsdatum: 09.05.2006 Beiträge: 75

So gemachts wird es vermutlich weil an der Uni klassische Mechanik hauptsächlich Hinführung auf die Quantenmechanik ist.
Und in der Quantenmechanik rechnet man nicht mehr mit Kräften sondern mit Potentialen die dann im Hamiltonoperator auftauchen.

Und übrigens, das ist ein schönes Beispiel für das Noether-Theorem: Zu jeder Invarianz gehört eine Erhaltungsgrösse. In diesem Fall bedeutet die Rotationsinvarianz die Erhaltung des Drehimpulses.

Und zu dieser Frage:

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

hmmmmh.. dann hab ich diesbezüglich gerade irgendwie ein Brett vorm Kopf smile

, müsste dann ja trigometrisch irgendwie zu erklären sein.

goa · Anmeldungsdatum: 09.05.2006 Beiträge: 75

Keine Ahnung ob du's bemerkt hast aber das mit dem trivial war ironisch gemeint. Das war die Standardausrede unserer Profs wenn sie irgendwas nicht auf Anhieb erklären konnten smile

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

Ich hab nochmal ein wenig gegoogled...

Wiki " Bei einer Drehbewegung um einen festen Punkt ist die generalisierte Koordinate der Drehwinkel und der generalisierte Impuls ist dann der Drehimpuls. "

Warum das jetzt so ist find ich gerade weder im Nolting noch im Fließbach.

Ist das vielleicht denn die Antwort auf meine Frage was ich da gefunden hab ? Bin mir noch unsicher, da Mrs. Nolting ja vorerst nur auf die z-Kompon|ente geschlossen hat

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich blicke ehrlich gesagt bei Eurer bisherigen Diskussion nicht so ganz durch, aber...:
Du führst quasi generalisierte Koordinaten ein, das wären einmal der Winkel Phi und einmal der Abstand r vom Mittelpunkt des Potentials. Huch! geschockt

Das sind ja genau die beiden Polarkoordinaten! So ein "Zufall"!
So, auf dieses Koordinaten kannst Du jetzt das Lagrange-Zeug anwenden, weil das besondere bei LG ist, dass es auch auf krumlinige Koordinaten anwendbar ist, so lange die Koordinaten voneinander unabh. sind. Die Lagrangefunktion ist dann in Polarkoordinaten:

Jetzt hast Du die LG-Gleichung für die generalisierte Variable Phi:

Jetzt bilden wir mal spaßeshalber die beiden Ableitungen in der Lagrangegleichung:

und:

weil es ja gar nicht von Phi direkt abhängt, sondern nur von der zeitlichen Ableitung von Phi.
Nach der Lagrange-Gleichung für Phi muß dann aber auch der erste Summand 0 sein, wenn der zweite 0 ist und das ganze auch 0 werden soll.
Also ist die Ableitung von L nach Phi-Punkt konstant. Das war aber:

Also muß auch die Hälfte davon konstant sein.
Das ganze geht aber nur, wenn das Potential wirklich nur von r abhängt und nicht von Phi oder Phi-Punkt, weil so die LG-Gleichung für Phi vom Potential unbeeindruckt bleibt.

Hilft Dir das vielleicht weiter?

Gruß
Marco

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

Hey Marco ,

"Also ist die Ableitung von L nach Phi-Punkt konstant.", das war mir noch völlig klar . Ich versteh nur nicht, warum man daraus folgert, dass die z-Komponente des Drehimpuls konstant ist, und nicht sofort der komplette Drehimpuls.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

OK, ich habe mir gerade nochmal Deinen ursprünglichen Post durch gelesen. Da steht das mit z ja auch schon drin...
Dabei ist mir aber erstmal aufgefallen, dass es nicht stimmt, dass die Bewegung nur in der x-y-Ebene sein muß, nur weil die z-Komponente des Drehimpulses konstant ist. Der Drehimpuls-Vektor kann ja beliebig im Raum liegen und trotzdem bleibt z immer konstant, weil ja der ganze Vektor konstant ist. Nur wenn alle Komponenten außer der z-Komponente = 0 wären, dann wäre die Bewegung in einer Ebene parallel zur x-y-Ebene, aber das ist ja was ganz anderes.

Ich habe den Nolting leider nicht da. Die Herleitung, die ich Dir gezeigt habe, geht natürlich schon mal davon aus, dass sich das ganze in einer Ebene abspielt und deshalb nur mit 2D-Polarkoordinaten gearbeitet werden muß.
Ich vermute aber mal, dass die Herleitung im Nolting dann eher so gedacht ist, dass die z-Richtung wirklich beliebig gewählt ist, also nicht senkrecht auf der Ebene stehen muß, in der die Bewegung statt findet. Wenn er wirklich beliebig ist, läßt sich die Herleitung dann sicher auch auf x und y übertragen und dann ist die Aussage vom Nolting klar. Er zeigt es oBdA für die z-Koordinate und hat es dann aus Symmetriegründen gleich für alle gezeigt. Kannst Du kurz diese Herleitung hier rein schreiben, dann kann man vielleicht sehen, ob das ganze nicht so gemeint ist.

Gruß
Marco

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

So ich tipp jetzt mal den kurzen Artikel ab

( ich meinte übrigens aber auch eher, dass bei konstanter z-komponente, die gesamte Bewegung auf einer Ebene stattfindet)

" Wir betrachten die Bewegung eines Teilchens der Masse m im Zentralkraftfeld

Die Lagrangefunktionlautet

Allein aus der unmittelbaren Beobachtung, dass die Koordinate \varphi zyklisch ist, ergeben sich wichtige physkalische Folgerungen

... ich versteh halt diesen letzten Schluss auf L_z nicht.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Irgendwie kann die partielle Ableitung nicht stimmen.
Ich bekomme da:

raus.

Und dem Drehmoment entspricht das auch nicht, was Du als Formel hast.
Dafür brauche ich ja den Abstand von der z-Achse. Der ist doch

und damit ist dann der Drehimpuls:

oder? Also irgendwie ist da der Wurm drin. Ich rechne jetzt schon seit einer Ewigkeit rum und irgendwie paßt überhaupt nichts zusammen. Entweder bin ich gerade zu blöd ein paar Ableitungen zu machen und etwas mit sin/cos Funktionen rum zu rechnen, oder... ich weiß auch nicht...

Gruß
Marco

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

Hey ,

also ich weiß nicht mehr genau , wie die Geschwindigkeit in Kugelkoordinaten berechnet wurden, aber seine Ableitung funktioniert ja nur wenn das phi°^2 nicht ins Argument vom Sinus gehört, war mir aber auch nicht mehr ganz sicher, deswegen hab ich hier erst im Nachhinein die Klammern rausgenommen, aber anders gehts halt nicht.

Ich bilde mir jedenfalls ein , dass zwischen dem Theta und dem Phi ein minimal größerer Abstand ist, bzw. ich weiß ehrlich gesagt nicht genau, wie da die gebräuchliche Regelung ist sowas hinzuschreiben, im Nolting steht es jedenfalls ohne Klammern

Mich verwirrt allerdings deine AUssage, dass da das Drehmoment drin stehen müsste. Ich dachte jetzt mithilfe von Wikipedia wo stand ( ich weiß jetzt nicht wieso , hab keinen Beweis dazu im Nolting oder Fließbach gefunden) , dass der generalisierte Impuls in meinem Fall schon der Drehimpuls ist.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Ja, bei mir kommt direkt der Drehimpuls raus. Ich rechne ja eigentlich nicht mit Kugelkoordinaten (3D) sondern mit 2d-Polarkoordinaten, weil ich davon ausgehe, dass so wie so alles in einer Ebene sich abspielt. Eigentlich müßte man jetzt das mit den Kugelkoordinaten doch in den spezielleren Polarkoordinatenfall umwandeln können, wenn man für Theta einfach Pi/2 einsetzt. Aber irgendwie geht das eine dann auch nicht in das andere über...
Ich muß mir das jetzt nochmal in Ruhe anschauen. Irgendwas geht da richtig durcheinander! traurig

Gruß
Marco

PS: Mein Drehimpuls ist natürlich mit Polarkoordinaten immer in z-Richtung, weil sich ja alles in einer x-y-Ebene abspielt. Dann muß logischerweise der Drehimpuls-Vektor auch senkrecht drauf stehen.

nochmal PS: Ich seh' gerade... Da stimmen die Klammern nicht richtig! Ich muß es nochmal rechnen. Melde mich gleich wieder.

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

hab zufällig die Seite gescannt im Internet gefunden ...

http://img440.imageshack.us/img440/6112/dsc057957gk.jpg

aber das nützt nicht viel denk ich , nur zur Vermeidung von Unklarheiten beim Abtippen

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Ja, ich hab's auch gerade raus...
Also die LG-Funktion sieht ja so aus:

Dann ist die Ableitung nach Phi-Punkt:

Und das ist der Drehimpuls in z-Richtung. Das kannst Du Dir klar machen, wenn Du von m*(R x v) ausgehst. Dieses r ist ja der Abstand zur Rotationsachse (hier also z-Achse), und der ist in Kugelkoordinaten einfach r*sin(theta). Aber v kannst Du nochmal durch R*phi-Punkt ausdrücken, so dass Du R² hast und dann stimmt das alles.

Gruß
Marco

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Vielleicht nochmal was zu dem Gedankengang (habe die Seite jetzt allerdings nicht komplett durch gelesen...):
Man macht allgemein in Kugelkoordinaten die LG-Funktion, egal wie gerade die Bahnkurve liegt. Dann betrachtet man die Ableitung nach der generalisierten Variablen Phi und Phi-Punkt, weil man ja weiß, dass eben nach der LG-Gleichung in jeder Koordinate null rauss kommen muss, wenn man

rechnet.
Weil L nicht direkt von Phi abhängt, muß also die Zeitableitung auch null sein und damit

eben konstant.
Wenn man das aber ausrechnet, kommt -- oh Wunder -- gerade der Drehimpuls entlang der z-Achse raus (ist Dir dieser Punkt klar?). Da man aber nichts über die Lager der ganzen Anordnung im Koordinatensystem voraus gesetzt hat, muß der Drehimpuls dann auch in allen anderen Richtungen erhalten sein. Man könnte ja auch das ganze um 90° gedreht sich anschauen und die Kugelkoordinaten um die x- oder y-Achse "aufbauen". Ist ja nur die Frage, wie man die beiden Winkel festlegt, was man aber im Prinzip nicht nur mit der z-Achse als ausgezeichnete Achse machen kann.
Das ist alles!

Gruß
Marco

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

Hey, danke erstmal.

Ich versuch deine Antwort gerade nachzuvollziehen aber mache scheinbar noch einen Denkfehler, oder es iat zu spät, oder Noltine nervt immer mehr ...oder ...

wie kommst du denn zu dem zweiten sin .. ist ja schließlich sin^2 ...

weil wenn man einen beliebigen Vektor des Drehimpulses hat und den auf Z-Achse projezieren möchte wär das doch mit dem cosinus

.. oder folgt das jetzt bei dir daraus, dass du das in ebenen Koordinaten machst?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!
Also:

(ob das noch alles stimmt... grübelnd

)
mit:

Das hat mit Projektion nicht so viel zu tun. Das ist nur der Abstand von der z-Achse, wenn Du das in Kugelkoordinaten machst. Bei Theta = 0 bist Du ja ganz oben auf der Kugel und der Abstand ist dann 0. Bei Pi/2 ist er gerade r (quasi auf dem Äquator). Entspricht also dem Sinus. Nicht mit den Breiten-/Längengraden verwechseln, der Breitengrad ist nämlich genau anders definiert als bei den Kugelkoordinaten das Theta. (Warum, das weiß nur der Himmel... unglücklich

)

Gruß
Marco

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

ah okay danke schön,

das war irgendwie doch einfacher als ich gedacht hatte !!

.... irgendwann ... wenn ich den Nolting auf der Straße treffe !!!

dann gnade ihm Gott...

haha smile

...

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Ich kenne viele, die auf den Nolting ziemlich schwören. Ich selber hab' aber Mechanik aus dem Kuypers gelernt damals. Und der gefällt mir eigentlich besser. Aber wie immer... das ist wahrscheinlich alles so wie so Geschmackssache.
Den Nolting fand ich immer ganz gut wenn ich Übungszettel machen mußte. Die Aufgaben von den Übungszetteln waren da meistens mit Lösung so ähnlich auch drin. Big Laugh

Aber sonst...

Gruß
Marco

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo alle!

Bastue und ich haben uns über PN noch genauer Gedanken über die Projektion des Drehimpulses auf die z-Achse gemacht. Mathematisch war das noch nicht so ganz richtig/komplett was ich da oben so geschrieben habe. Falls es jemand genauer wissen will, dachte ich, dass eine Zusammenfassung unserer Rechnung vielleicht auch in diesem Thread sinnvoll wäre.
Also, dann mal los:
Wir wollen ja

aus den Vektoren in Kugelkoordinaten bestimmen. Dazu müssen wir eigentlich erstmal

in Kugelkoordinaten ausrechnen:

Dabei haben wir die Vektoren:

Mit

als Einheitsvektor in r-Richtung und:

Mit den entsprechenden Einheitsvektoren in die einzelnen Richtungen. Da Kugelkoordinaten die angenehme Eigenschaft haben, dass die Einheitsvektoren in jedem Punkt jeweils senkrecht aufeinander stehen, kann man das Kreuzprodukt direkt ausrechnen und kommt so auf den Drehimpuls in Kugelkoordinaten:

Jetzt muß das ganze aber noch auf die z-Achse projiziert werden. Dazu muß ich das ganze mit dem Einheitsvektor in z-Richtung skalar multiplizieren. Wenn man sich das ganze anschaut, stellt man fest, dass das hier gilt:

weil der Einheitsvektor in

-Richtung immer senkrecht auf die z-Achse zeigt,
und:

Da habe ich eine Weile überlegen müssen. unglücklich

Vor allem das Minus habe ich nicht gleich gerafft! Wenn man sich eine Kugel vorstellt und mit

anfängt, dann steht der Einheitsvektor in

-Richtung ja quasi waagerecht, also ist die Projektion auf die z-Achse = 0. Wenn man den Winkel dann größer werden läßt, dann wird die Projektion betragsmäßig auch größer, allerdings zeigt der

immer nach unten. Wenn man sich das alles dann noch etwas genauer überlegt, kommt man auf die Formel oben.
So... jetzt kann man alles zusammenbauen:

Hoffentlich stimmt jetzt noch alles! Wenn jemand Fehler sieht, würde ich das gerne noch in diesem Post korrigieren. Also bitte entweder direkt hier posten, oder mir ein PN schreiben!

Gruß
Marco